Теория вероятностей

Работа прошла проверку 4 из 5. СПб-ГУТ Бонч-Бруевич ...

Для решения задачи используем классическое определение вероятности:

Количество всех равновозможных элементарных исходов равно количеству способов выбрать 4 изделия из 8:

"Теория вероятности"

№ 10. В партии из 8 изделий 5 бракованных. Наудачу взяты 4 изделия.
Найти вероятность того, что среди них:
а) три бракованных;
б) хотя бы одно бракованное;
в) бракованных и не бракованных поровну.

Первый блок пропускает электрический ток если исправлен хотя бы один из участков 1 и 2-3. Участок 2-3 пропускает ток только в том, случае, если исправны оба элемента 2 и 3:p2p3.Таким образом, надёжность этого блока может быть представлена суммой совместных событий:p1+p2p3-p1p2p3.Надёжность второго блока равна p4. Надёжность третьего блока равна p5. Четвертый блок пропускает электрический ток в трёх случаях: если исправен хотя бы один из элементов 6, 7. Используем теорему сложения совместных событий:p6+p7-p6p7.Теперь, зная надёжность четырёх последовательно соединенных блоков, вычислим надёжность цепи в целом. Схема пропускает ток, только если все четыре блока исправны. Определим надёжность схемы, используя теорему умножения вероятностей:p1+p2p3-p1p2p3∙p4∙p5∙p6+p7-p6p7.Ответ: p1+p2p3-p1p2p3∙p4∙p5∙p6+p7-p6p7.30. В трех ящиках лежат детали: в первом – 6 годных, 4 бракованных;во втором – 3 годных, 1 бракованная;в третьем – 9 годных, 1 бракованная.Из случайно выбранного ящика наугад выбирается деталь. а. Найти вероятность того, что она оказалась бракованной.б. Найти вероятность того, что она из третьего ящика, если известно, что она бракованная.Решение:Введем полную группу гипотез:H1- деталь из первого ящика, H2- деталь из второго ящика, H3- деталь из третьего ящика.Найдем вероятности этих гипотез, используя классическое определение вероятности:PH1=6+46+4+3+1+9+1=1024=512;PH2=3+16+4+3+1+9+1=424=212;PH3=9+16+4+3+1+9+1=1024=512.а. Пусть событие A- «наугад взятая деталь оказалась бракованной». Определим условные вероятности этого события:PAH1=46+4=25;PAH2=13+1=14;PAH3=19+1=110.Найдем вероятность события A, используя формулу полной вероятности:PA=PH1∙PAH1+PH2∙PAH2+PH3∙PAH3=512∙25+212∙14+512∙110=14=0,25.б. Известно, что событие A не произошло. Найдем вероятность того, что эта деталь была из третьего ящика, используя формулу Байеса:P(H3A=PH3∙PAH3PA=512∙11014=16≈0,17.Ответ: а. 0,25; б) 0,17.40. Вероятность того, что любая деталь в партии бракованная, равна 0,001. Партия состоит из 5000 деталей.а. Найти вероятность того, что среди них хотя бы одна деталь бракованная.б. Найти вероятность того, что среди них от 2 до 4 бракованных деталей.Решение:Так как вероятность p=0,001 наступления события в каждом испытании постоянна и мала, а число независимых испытаний n=5000 велико, то используем теорему Пуассона:Pnm=λmm!∙e-λ,где λ=n∙p.Находим:λ=5000∙0,001=5.а. Пусть событие A1- «в партии хотя бы одна деталь бракованная». Это событие противоположно событию «ноль деталей бракованных», значитPA1=1-P50000=1-200!∙e-5=1-1∙e-5=1-0,0067≈0,9933;б. Пусть событие A2- «в партии от 2 до 4 бракованных деталей».