Математическая статистика

Работа прошла проверку 4 из 5. СПБ-ГУТ Бонч-Бруевич. ...

Решение:

1. Находим x_(min )=26,x_max=52.

Размах выборочных значений:
R=x_(max )-x_min=52-26=26.

Объём выборки n=150.

1. Сгруппировать выборку и записать статистические ряды абсолютных и относительных частот.
2. Представить выборку графически:построить полигон абсолютных частот; построить полигон относительных частот; нормированную гистограмму.

Вспомогательная таблица.ixinixinixi-x2ni127,625382,875462,3967230,8758247671,9778334,12521716,625734,7317437,375391457,625276,9868540,625261056,258,89785643,875251096,875367,6806747,12519895,375953,7473850,3759453,375961,31∑15060064437,73Выборочная средняя:x=1nxini=1150∙6006=40,04.Выборочная дисперсия:D=1nxi-x2ni=1150∙4437,73=29,58.Выборочное среднее квадратическое отклонение:σ=D=29,58=5,44.Исправленная выборочная дисперсия:s2=nn-1∙D=150150-1∙29,58=29,78.Исправленное среднее квадратическое отклонение:s=s2=29,78=5,46.Мода МО – наиболее часто встречающееся значение признака.Для одномодального интервального ряда моду можно вычислить по формуле:MO=aMO+h∙nMO-nMO-12∙nMO-nMO-1-nMO+1,где МО означает номер модального интервала, MO-1 и MO+1 – номера предшествующего модальному и следующему за ним интервалов, aMO – нижняя граница модального интервала.В нашем случае модальным является интервал [35,75; 39].Вычисляем:MO=35,75+3,25∙39-212∙39-21-26=37,64.Медиана МЕ – значение признака, приходящееся на середину ранжированного ряда наблюдений. Для интервального ряда медиана вычисляется по формуле:ME=aME+h∙n2-sME-1sME.В нашем случае медианным является интервал [39; 42,25].Вычисляем:ME=39+3,25∙1502-7197=39,13.4. Выдвинем гипотезу H0: распределение генеральной совокупности X подчинена нормальному закону с параметрами a=40,04, σ=5,44. По критерию согласия χ2 Пирсона проверим эту гипотезу при уровне значимости α=0,05.Вычислим гипотетические вероятности Pi попадания случайной величины в интервалы [ai;bi] по формуле:Pa<X<b=Фb-MXσ-Фa-MXσ,где Ф(x) – функция Лапласа.Находим:P1=P-∞<u<29,25=Ф29,25-40,045,44-Ф-∞-40,045,44=Ф-1,98-Ф-∞=Ф∞-Ф1,98=0,5-0,4761=0,0239;P2=P29,25<u<32,5=Ф32,5-40,045,44-Ф29,5-40,045,44=Ф-1,39-Ф-1,98=Ф1,98-Ф1,39=0,4761-0,4177=0,0584;P3=P32,5<u<35,75=Ф35,75-40,045,44-Ф32,5-40,045,44=Ф-0,79-Ф-1,39=Ф1,39-Ф0,79=0,4177-0,2852=0,1325;P4=P35,75<u<39=Ф39-40,045,44-Ф35,75-40,045,44=Ф-0,19-Ф-0,79=Ф0,79-Ф0,19=0,2852-0,0753=0,2099;P5=P39<u<42,25=Ф42,25-40,045,44-Ф39-40,045,44=Ф0,41-Ф-0,19=Ф0,41+Ф0,19=0,1591+0,0753=0,2344;P6=P42,25<u<45,5=Ф45,5-40,045,44-Ф42,25-40,045,44=Ф1-Ф0,41=0,3413-0,1591=0,1822;P7=P45,5<u<48,75=Ф48,75-40,045,44-Ф45,4-40,045,44=Ф1,6-Ф1=0,4452-0,3413=0,1039;P8=P48,75<u<+∞=Ф+∞-40,045,44-Ф48,75-40,045,44=Ф+∞-Ф1,6=0,5-0,4452=0,0548;Для определения χнабл2 составляем таблицу:ИнтервалГипоте-тическая вероятностьPiЧастотаniТеоретическая частотаniT=nPini-niT2niT(-∞; 29,25)0,023933,5850,0955(29,25; 32,5)0,058488,760,0659(32,5; 35,75)0,13252119,8750,0637(35,75; 39)0,20993931,4851,7937(39; 42,25)0,23442635,162,3864(42,25; 45,5)0,18222527,330,1986(45,5; 48,75)0,10391915,5850,7483(48,75; +∞)0,054898,220,0740∑11501505,43χнабл2=5,43.Сравним эмпирические и теоретические частоты, используя критерий Пирсона, приняв число степеней свободы k-r-1=5-2-1=2, так как нормальное распределение зависит от двух (r=2) параметров MX и σ.