Прогнозирование оборота розничной торговли в расчете на душу населения по Амурской области

Курсовая работа по прогнозированию социально-экономических процессов. Если необходимо, можно выслать файл excel со всеми расчётами.
Курсовая работа состоит из 5 частей и представляет собой построение следующих моделей на основе данных за 12 лет:
линейная модель;
трендовая модель;
модель авторегрессии;
модель Хольта;
система эконометрических уравнений.
...

ВВЕДЕНИЕ 4
1 Предварительный анализ данных 5
2 Построение моделей и прогноза на их основе 9
2.1 Модель линейной регрессии 9
2.2 Модель линейного тренда 17
2.3 Модель авторегрессии 21
2.4 Модель Хольта 26
2.5 Система одновременных уравнений 28
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 37
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 38

Целью работы является исследование динамики оборота розничной торговли в расчете на душу населения и составление прогноза его значений на 2015 год с помощью регрессионных моделей на основе этой динамики.
Объектом исследования является зависимость оборота розничной торговли на душу населения от индекса потребительских цен и других факторов.
Предметом исследования являются регрессионные модели для построения прогноза оборота розничной торговли.
Методы исследования: методы математической статистики, регрессионный анализ и другие.

Так как выполняется условие (11), то предпосылка о случайном характере остатков подтверждается.Таблица 8 – Среднее значение остатков модели линейной регрессии№εi12763,1023731,4032144,9541446,435-3909,456-5477,757-4014,668-1573,929829,4110-916,0411-504,30125480,83Сумма0,00Вторая предпосылка предполагает, что остатки независимы, друг от друга, то есть среднее значение остатков равно нулю. При анализе средняя величина остатков равна нулю, которая определяется суммой отклонения остатков по формуле (12): (12) QUOTE yi-yi=εi=0 В таблице 8 показаны расчеты предпосылки о среднем значении остатков, равных нулю.Третья предпосылка говорит о наличии гомоскедастичности. Под гомоскедастичностью понимается, что дисперсия каждого отклонения остатков одинакова для всех значений признака Х2. Если данное условие не выполняется, то имеет место гетероскедастичность. Так как остатки подчиняются нормальному закону распределения, то можем использовать тест Спирмена, по формуле (13): QUOTE ρ=1-6d2n(n2-1) (13)где d - отклонение между рангами; n – число наблюдений.Для критерия Спирмена найдем критерий Стьюдента (14). (14)Расчет критерия Спирмена представлен в таблице 9: Таблица 9 – Расчет критерия Спирмена для модели линейной регрессииГодХ2εtРанг Х2Ранг εtd220033867,002763,101,0010,0081,0020044749,003731,402,0011,0081,0020055988,002144,953,009,0036,0020067419,001446,434,008,0016,0020079662,00-3909,455,003,004,00200812297,00-5477,756,001,0025,00200913196,40-4014,667,002,0025,00201014323,39-1573,928,004,0016,00201117789,70829,419,007,004,00201221800,30-916,0410,005,0025,00201324671,10-504,3011,006,0025,00201426698,905480,8312,0012,000,00Сумма338,00Расчетное значение критерия Стьюдента равно 1,8, а табличное 2,306. Так как табличное значение больше расчетного, это подтверждает наличие гомоскедастичности.При построении регрессионных моделей чрезвычайно важно соблюдение четвертой предпосылки МНК – отсутствие автокорреляции остатков, то есть значение остатки ε, распределены независимо друг от друга. Отсутствие автокорреляции остаточных величин обеспечивает состоятельность и эффективность оценок коэффициентов регрессии. Наличие автокорреляции остатков анализируют на основе критерия Дарбина–Уотсона на основе формулы (15): QUOTE d=i=2n(εi-εi-1)2i-1nεi2 (15)Расчет критерия Дарбина-Уотсона показан в таблице 10.Таблица 10 – Расчет критерия Дарбина-Уотсона для модели линейной регрессии№εiεi-1εi2(εi-εi-1)212763,107634695,57937615,6723731,402763,1013923352,332516829,0132144,953731,404600806,84487922,4241446,432144,952092173,3628685492,565-3909,451446,4315283793,142459576,396-5477,75-3909,4530005776,612140633,837-4014,66-5477,7516117513,985957233,438-1573,92-4014,662477217,665775986,359829,41-1573,92687921,363046613,9110-916,04829,41839138,38169535,9311-504,30-916,04254316,0235821807,79125480,83-504,3030039548,73937615,67Сумма--87999247,29123956253,98Для определения наличия автокорреляции остатков строят прямую неопределенности. По специальным таблицам определяют критические значения критерий Дарбина-Уотсона dl и du, равные, соответственно, 0,61 и 1,4. По этим значениям числовой промежуток [0;4] разбивают на 5 отрезков (рисунок 2).Есть ? нет ? есть0 0,64 1,4 2,6 3,36 4Рисунок 2 – Прямая неопределённости для уравнения парной регрессииПо рисунку 2 видно, что наше значение критерия Дарбина-Уотсона, равное 1,4, попадает в интервал «нет», что говорит об отсутствие автокорреляции остатков. Следовательно, предпосылка выполняется.Пятая предпосылка заключается в том, что остатки должны подчиняться нормальному закону распределения.Наиболее простой подход к анализу данной предпосылки является вычисление RS-критерия, который вычисляется по следующей формуле (16): (16) Полученный критерий рассматривается по отношению к табличным значениям, отношение представлено формулой (17): RSн < RS < RSв (17) где RSн - нижняя граница доступного значения; RSв – верхняя граница доступного значения.Данные расчеты представлены в таблице 11, которые подтверждают нормальный закон распределения остатков.Таблица 11 – Расчет RS-критерия для модели линейной регрессии№εiεi212763,107634695,5723731,4013923352,3332144,954600806,8441446,432092173,365-3909,4515283793,146-5477,7530005776,617-4014,6616117513,988-1573,922477217,669829,41687921,3610-916,04839138,3811-504,30254316,02125480,8330039548,73Сумма-87999247,29RS7132,44-RSн2,92-RSв4,09-Данная предпосылка рассматривается при анализе остатков, для того, чтобы полученные оценки были несмещенными. Однако в большинстве случаев остатки не подчиняются нормальному закону распределения. Так как данное нарушение можно исправить только в результате изменения спецификации модели, то часто данную предпосылку метода наименьших квадратов нарушают. В данном случае предпосылка не выполняется.Так как предпосылки МНК выполняются и модель надежная, следовательно, по данной модели можно сделать достаточно надежный прогноз. Для составления прогноза было решено использовать наивную модель. Наивная модель представляет собой простые модели прогнозирования, основанные на предположении, что тенденция изменения показателя базируется на динамике последних уровней. Интервальный прогноз вычисляется по формуле (18): QUOTE Yпр±tт*my (18)где - стандартная ошибка прогноза.Данная стандартная ошибка вычисляется по формуле (19): (19) QUOTE my=σост1+1n+(xпр-x)2(x-x)2 Таким образом, точечный прогноз оборота розничной торговли в расчете на душу населения будет равен 28726,7 рублей.Вывод о качестве построенного прогноза на 2015г. можно сделать на основе доверительного интервала, представленном в таблице 12. Таблица 12 – Доверительный интервал для прогноза оборота розничной торговли на душу населения по парной линейной модели регрессииГодПрогнозное значениеНижнее значение границы интервалаВерхнее значение границы интервала2015161783,81149438,30174129,30Так как относительное расхождение между верхней и нижней границей интервального значения прогноза не превышает 1,5-2 раза, то можно говорить об удовлетворительно качественно построенном прогнозе.Так как предпосылки МНК выполняются, а коэффициент детерминации и критерий Фишера высоки, то можно сделать вывод о том, что модель является надежной.2.2 Модель линейного трендаВ главе 1 определено, что существует тенденция в рядах динамики. Одним из распространенных способов моделирования тенденций временного ряда является построение функции зависимости уровней ряда от времени. Так как зависимость может принимать разные формы, то возможно использовать различные виды функций для её выражения. В формуле (20) представлена функция линейной зависимости, или линейный тренд. =a+bt (20)где t – переменная времени.Найдем параметры уравнения линейного тренда с помощью пакета анализа данных Microsoft Excel, результаты которого представлены на рисунке 3.Рисунок 3 – Вывод итогов по регрессии линейного трендаПроанализируем полученные данные. Коэффициент детерминации равен 0,98, то есть модель является качественной. Коэффициент Фишера равен 201,6 – он явно больше табличного значения, значит, модель является надежной. Табличный критерий Стьюдента для данного уравнения равен 2,306. Расчетные критерии Стьюдента для коэффициента регрессии и свободного члена регрессии больше табличного, следовательно, параметры модели значимы. Кроме того, на основе значений рисунка 3 уравнение модели линейного тренда примет следующий вид (формула 21): = -7366,82+13011,59t (21)В данном случае тип уравнения тренда соответствует стандартному типу уравнения линейной регрессии. В связи с этим, при проверке модели на надежность и адекватность, можно использовать те же показатели. Проверка предпосылок МНК осуществляется, так же как и для линейной регрессии.Для того чтобы проверить, носят ли остатки случайный характер нужно использовать критерий пиков. Пользуясь формулами (9)-(11) можно сделать выводы, которые наглядно представлены в таблице (13)Таблица 13 – Случайный характер остатков модели линейного тренда№εiПики114733,23 28124,64 31161,06п4-3731,53 5-8278,12п6-6621,71п7-12628,29 8-16254,88п9-5504,47 104450,94п119540,36 1215008,77 n5-P6-1,81-P(4)3,36-Так как выполняется условие (11), то предпосылка о случайном характере остатков подтверждается.Проверим, выполняется ли вторая предпосылка МНК, найдем среднее значение остатков. Сумма остатков равна, нулю, следовательно, данная предпосылка выполняется.Проверим наличие автокорреляции остатков, на основе критерия Дарбина-Уотсона используя формулу (15). Расчет критерия Дарбина-Уотсона приведен в таблице 14:Таблица 14 – Расчет критерия Дарбина-Уотсона модели линейного тренда№εtεt-1εt2(εt-εt-1)2114733,23217068088,90 28124,6414733,2366009829,67119702245,4931161,068124,641348050,919433165,464-3731,531161,0613924327,10-4332516,795-8278,12-3731,5368527252,2130890061,116-6621,71-8278,1243846994,2454815271,907-12628,29-6621,71159473801,9383620851,918-16254,88-12628,29264221160,19205271412,939-5504,47-16254,8830299173,8189474481,60104450,94-5504,4719810902,99-24500081,49119540,364450,9491018404,8842463593,691215008,779540,36225263153,82143189011,24Сумма--750027497,051200811140,66Так как критерий Дарбина-Уотсона, равный 1,6, попадает в интервал отсутствия автокорреляции остатков, значит, данная предпосылка выполняется. Далее проверяется наличие гетероскичности остатков. Расчеты представлены в таблице 15:Таблица 15 – Расчет критерия Спирмена модели линейного трендаГодtεtРанг tРанг εtd22003114733,2311081200428124,642616200531161,0631420064-3731,5342420075-8278,1257420086-6621,7165120097-12628,2979420108-16254,888121620119-5504,4794252012104450,94103492013119540,36118920141215008,7712111Сумма214Расчетное значение критерия Стьюдента равно -0,9, а табличное 2,306. Так как табличное значение больше расчетного значения, это также подтверждает наличие гомоскедастичности.Далее проверяется подчинение нормальному закону распределения остатков. Расчет RS-критерия представлен в таблице 16.Таблица 16 – Расчет RS-критерия модели линейного тренда№εtεt2114733,23217068088,9028124,6466009829,6731161,061348050,914-3731,5313924327,105-8278,1268527252,216-6621,7143846994,247-12628,29159473801,938-16254,88264221160,199-5504,4730299173,81104450,9419810902,99119540,3691018404,881215008,77225263153,82Сумма-750027497,05RS9426,35-RSн2,92-RSв4,09-Расчетный RS-критерий не попадает в заданный интервал, однако, выполнение данной предпосылки необязательно.Точечный прогноз на 2015 год равен 161783,82.Рассчитаем интервальное прогнозное значение результативного признака на 2015 год.Стандартная ошибка прогноза в данном случае равна 12345,47. Далее по формуле вычисляется верхняя и нижняя границы доверительного интервала для прогноза оборота розничной торговли на душу населения на 2015 год. Верхняя граница равна 174129,3, нижняя граница равна 149438,3. Так как относительное расхождение между верхней и нижней границей интервальных значений прогноза не превышают 1,5-2 раза, то это говорит о удовлетворительно качественно построенном прогнозе.2.3 Модель авторегрессииЧтобы определить возможность построения модели авторегрессии необходимо найти коэффициент автокорреляции, который рассчитывается по формуле (22): r1=t=2nyt-y1×yt-1-y2t=2nyt-y12×t=2nyt-1-y22 (22) Автокорреляция уровней первого порядка наглядно представлена в таблице 17: Таблица 17 – Расчет коэффициента автокорреляции уровней первого порядка для временного ряда оборота розничной торговли в расчете на душу населения для модели авторегрессииtytyt-1yt-yyt-1-y2(yt-y1) (yt-1-y2)(yt-y1)2(yt-1-y2)212678120378-63831,4-55894,135677986554074447626312415041523282926781-57783,4-49491,128597640283338921316244936897934094832829-49664,4-43443,121575754962466552627188730293844941340948-41199,4-35324,114553317261697390560124779204156408149413-26531,4-26859,1712609525,7703915186721411252,867108664081-19526,4-12191,1238048295381280297148622919,278047171086-10141,4-5186,152594314,510284799426895633,2181042338047113620,64198,957191537,3185520744,417630761,21912720010423336587,627960,910230222251338652474781811928,81014530112720054688,650927,92785175552299084297025936509981116378114530173168,669028,9505074797353536440264764989035Сумма9061247627217082,811236,8285090616963217837436125421434481После проведения всех вычислений было определено, что коэффициент автокорреляции равен 0,997, что свидетельствует об очень тесной зависимости между оборотами розничной торговли в расчете на душу населения текущего и предшествующего периодов. Откуда следует, что построение модели авторегрессии обосновано.При построении некоторых моделей, учитываются переменные за предшествующий период (лаговые переменные). Эти модели являются динамическими и называются моделями авторегрессии. Наличие лаговых значений результативного признака в правой части уравнения (24) приводит к нарушению предпосылки метода наименьших квадратов - автокорреляции остатков. Поэтому, прежде чем оценивать модель на адекватность, необходимо определить автокорреляцию остатков: QUOTE y=a+byt-1 (24)где yt-1 – лаговая переменная.С помощью пакета анализа данных получим оценки параметров модели и оценки ее качества, результаты анализа данных, показанные на рисунке 5.Рисунок 5 - Вывод итогов по модели авторегрессииУравнение авторегрессии имеет вид (25): =4600,9+1,12Yt-1 (25)Проанализируем данные показанные на рисунке 5. Коэффициент детерминации R2 равен 0,99, что означает хорошее качество построенной модели.Так же можно сделать вывод о том, что модель является надежной, потому что критерий Фишера расчетный больше табличного. На основе рисунка 5 видно, что критерий Стьюдента (t) рассчитанный для свободного члена, больше t-табличного, это означает, что свободный член значительно отличается от нуля, то есть является статистически значимым. Сама модель в целом признается надежной, потому что критерий Стьюдента для коэффициента регрессии b больше табличного значения. На основе вышесказанного, дальнейшее построение и прогнозирование модели авторегрессии целесообразно.Проверим выполнение предпосылок МНК. Чтобы проверить, носят ли остатки случайный характер, используется критерий пиков. Пользуясь формулами (10)-(12) выполняются расчеты, представленые в таблице 18:Таблица 18 – Случайный характер остатков модели авторегрессии№εiПики1-677,082-1811,08п3-475,88п4-1117,6554055,496-5392,03п7-3864,27п89370,94п95685,0410-1975,15п11-3798,34n6-P6-1,63-P(4)2,76-Так как выполняется условие (12), предпосылка о случайном характере остатков подтверждается. Далее найдем среднее значение остатков, расчеты которых представлены в таблице 19:Таблица 19 – Среднее значение остатков модели авторегрессииОстатки1-677,082-1811,083-475,884-1117,6554055,496-5392,037-3864,2789370,9495685,0410-1975,1511-3798,34Сумма0,00 Сумма остатков равна, нулю, следовательно, данная предпосылка о случайном характере остатков выполняется.Проверим наличие автокорреляции остатков, на основе критерия Дарбина-Уотсона используя формулу (16). Расчет критерия Дарбина-Уотсона приведен в таблице 19:Таблица 19 – Расчет критерия Дарбина-Уотсона модели авторегрессии№εtεt-1εt2(εt-εt-1)21-677,08458438,211285945,522-1811,08-677,083279996,401782743,753-475,88-1811,08226463,45411863,154-1117,65-475,881249135,7426761373,7454055,49-1117,6516447017,2289255701,026-5392,034055,4929074001,642334064,987-3864,27-5392,0314932556,44175170824,0089370,94-3864,2787814608,5213585922,7095685,049370,9432319637,0958678482,8410-1975,155685,043901225,143324006,2811-3798,34-1975,1514427369,12372590927,98Сумма--204130448,961285945,52 Так как критерий Дарбина-Уотсона равный 1,83 попадает в интервал отсутствия автокорреляции остатков, значит, данная предпосылка выполняется. Далее проверяется наличие гетероскедастичности остатков, расчеты представлены в таблице 20:Таблица 20 – Расчет критерия Спирмена модели авторегрессииyt-1εtРанг tРанг εtd220378-677,081,02126781-1811,082,04432829-475,883,01440948-1117,654,031494134055,495,08964081-5392,036,09971086-3864,277,070804719370,948,01191042335685,049,0101127200-1975,1510,0525Продолжение таблицы 20 – Расчет критерия Спирмена модели авторегрессииyt-1εtРанг tРанг εtd2145301-3798,3411,0625Сумма88Расчетное значение критерия Стьюдента равно 2,04, а табличное 2,306. Так как табличное значение больше расчетного значения, это также подтверждает наличие гомоскедастичности.Проверим подчинение нормальному закону распределения остатков. Расчет RS-критерия представлен в таблице 21.Таблица 21 – Расчет RS-критерия модели авторегрессии№εtεt21-677,08458438,212-1811,083279996,403-475,88226463,454-1117,651249135,7454055,4916447017,226-5392,0329074001,647-3864,2714932556,4489370,9487814608,5295685,0432319637,0910-1975,153901225,1411-3798,3414427369,12Сумма-204130448,96RS4920-RSн2,86-RSв4-Расчетный RS-критерий не попадает в заданный интервал, однако, выполнение данной предпосылки необязательно.Точечный прогноз на 2015 год равен 188307,6.Рассчитаем интервальное прогнозное значение результативного признака на 2015 год.Стандартная ошибка прогноза в данном случае равна 5717,02. Далее по формуле вычисляется верхняя и нижняя границы доверительного интервала для прогноза оборота розничной торговли на 2015 год. Верхняя граница равна 194024,7, нижняя граница равна 182590,6. Так как относительное расхождение между верхней и нижней границей интервальных значений прогноза не превышают 1,5-2 раза, то это говорит о удовлетворительно качественно построенном прогнозе.2.4 Модель ХольтаМодель Хольта относится к моделям экспоненциального сглаживания и представляет собой двух параметрическую модель, которой учитывает линейный тренд, присущий ряду динамики.