контрольная работа по теории вероятностей и математической статистики

Уральский гуманитарный институт
2 вариант
5 задач по теории вероятностей
2 задачи по математической статистике ...

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Задача № 1.
В урне 4 белых и 6 черных шаров. Из урны наудачу извлечены 2 шара. Найти вероятность того, что они разного цвета.
Задача № 2.
В тире имеется 5 винтовок, вероятности попадания из которых соответственно равны 0,5, 0,6, 0,7, 0,8 и 0,9. Стрелок берет наудачу одну из винтовок. Найти вероятность попадания в цель.
Задача № 3.
Найти вероятность наступления события А ровно 3 раза в 5 независимых испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 1/3.
Задача № 4.
Вероятность выигрыша по лотерейному билету равна 0,2. Куплено 3 билета. Найти закон распределения и математическое ожидание случай¬ной величины Х - числа выигрышных билетов.
Задача № 5.
Случайная величина задана на всей числовой прямой плотностью:
ƒ(x) = 1/(π(1+x^2))
Найти ƒ(x)и mx.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Задача № 1.
Заданы среднее квадратическое отклонение δ нормально распределенной случайной величины X, выборочная средняя , объем выборки n. Найти доверительные интервалы для оценки неизвестного математического ожидания а с заданной надежностью γ =0,95.

δ = 9 = 18,31 n = 49
Задача № 2.
Найти методом произведений: 1) выборочную дисперсию, 2) выборочное среднее квадратическое отклонение по данному распределению выборки.
xi 13.5 14.0 14.5 15.0 15.5 16.0 16.5
ni 4 16 40 25 7 5 3

Решение:По условию: n = 5; k = 3; p = 1/3.Воспользуемся формулой Бернулли , где q = 1 – p.Искомая вероятность равна: P5(3) = C53∙p3∙(1-p)2=52 ∙ 3 ∙(13)3 ∙(23)2= 10 ∙ 22 35=40243=0,165.Ответ: 0,165.Задача № 4.Вероятность выигрыша по лотерейному билету равна 0,2. Куплено 3 билета. Найти закон распределения и математическое ожидание случайной величины Х - числа выигрышных билетов.Решение: Возможным значением случайной величины X являются 0, 1, 2 и 3. Вычислим по формуле Бернулли вероятность каждого из значений случайной величины X.Имеем:PX=0= p0=P30= C3 0p0(1-p)3=3!0!∙3!∙ 0,20 ∙0,83=0,512 ;PX=1= p1=P31= C3 1p1(1-p)2=3!1!∙2!∙ 0,21 ∙0,82=0,384 ;PX=2= p2=P32= C3 2p2(1-p)1=3!2!∙1!∙ 0,22 ∙0,81=0,096 ;PX=3= p3=P33= C3 3p3(1-p)0=3!3!∙0!∙ 0,23 ∙0,80=0,008 Таким образом, получили закон распределенияхi0123pi0,5120,3840,0960,008Математическое ожидание равноmx= xipi=0∙0,512+1∙0,384+2∙0,096+3 ∙0,008=0,6Ответ: 0,6.Задача № 5.Случайная величина задана на всей числовой прямой плотностью: ƒ(x) = 1π(1+x2)Найти  ƒ(x) и mx.Решение:Функция распределения равнаFx=-∞xxdx=-∞x1π1+x2dx=1π-∞x11+x2dx==1πarctg x-∞x=1πarctg x-arctg -∞=1πarctg x+ π2=12+ arctg xπ .Поскольку функция y=ƒ(x) является четной, а функция y=x является нечетной, то функция y=xƒ(x) нечетная. Следовательно, mx=0.МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКАЗадача № 1.Заданы среднее квадратическое отклонение δ нормально распределенной случайной величины X, выборочная средняя , объем выборки n. Найти доверительные интервалы для оценки неизвестного математического ожидания а с заданной надежностью γ =0,95.δ = 9= 18,31n = 49Решение:Доверительный интервал имеет вид x-∆ <a<x+∆ ,где ∆ =1,96∙δ2n=1,96 ∙ 9249=1,96 ∙97 =2,52 .Отсюда 18,31 - 2,52 a 18,31 +2,52 , или 15,79 а 20,83.