Контрольная по теории вероятности

Малое предприятие имеет два цеха - А и В. Каждому уста¬новлен месячный план выпуска продукции. Известно, что цех А свой план выполняет с вероятностью р1= 0,4. Вероятность выполне¬ния плана цехом В при условии, что цех А выполнит свой план, равна р2=0,5. Известно также, что с вероятностью p3=0,4 может сло¬житься ситуация, когда ни один из цехов свой план не выполнит.
Если оба цеха выполнят свои планы в предстоящий ме¬сяц, то предприятие увеличит свой счёт в банке на 5 единиц; ес¬ли оба не выполнят - снимет со счёта 4 единицы; если цех А выполнит, а цех В не выполнит - увеличит счёт только на 2 единицы; если же цех А не выполнит, а цех В выполнит - со¬кратит свой счёт на 1 единицу.
Требуется:
1) определить вероятность выполнения плана цехом В;
2) выяснить, зависит ли выполнение плана цехом ...

Случайная величина Х определяет число проданных в течение дня машин марки А, случайная величина У – число проданных машин марки В. Найдем распределение случайной величины Х: х1 = 0; х2 = 1; х3 = 2.
Для этого используем формулу

Р(х = х1) = р1 = 0,03 + 0,05 + 0,02 = 0,1;

-

РешениеР(Х≥1) - вероятность того, что в день поступит хотя бы одна заявка на обслуживание на очередной день.Минимальный объем nα серии испытаний, при котором вероятность наступления события Х хотя бы один раз будет не менее 0,9, определим из условия Р(Х≥1)≥α, с помощью неравенства:na≥ln(1-α)ln(1-p) , при α=0,9, р=0,5Получим:na≥ln(1-0,9)ln(1-0,5)=ln0,1ln0,5≈-2.3026-0,6931≈3,3Отсюда nα = 4.Минимальное количество магазинов, с которыми база должна заключить договоры, чтобы с вероятностью не менее 0,9 от них поступила хотя бы одна заявка на обслуживание на очередной день равна 4.а) Наиболее вероятное значение m* случайной величины х найдем из условия: Найдем вероятность неудачи q из формулыp+q=1q=1-p=1-0,5=0,5В нашем случае при n = 4 и p = 0,5, q=0,5 принимает вид m*∈4∙0,5-0,5;4∙0,5+0,5m*∈1,5;2,5Отсюда m* = 2. Найдем вероятность поступления заявок m* по формуле Бернулли , используя формулу PХ=m*=C42∙0,52∙0,54-2=4!2!∙(4-2)!∙0,25∙0,25=122∙0,0625=0,375Наиболее вероятное значение числа заявок на обслуживание на очередной день m* = 2 и вероятность Р(Х= 2) поступления такого количества заявок равна 0,375.b) Найдем вероятность поступления не менее n-1=4-1=3 заявок.Воспользуемся формулойPX>3=i=34Pim=PX=3+P(X=4)Вычислим вероятности P(X=3) и P(X=4)P(Х=3)=C43∙0,53∙0,54-3=4!3!∙(4-3)!∙0,125∙0,5=41∙0,0625=0,25P(Х=4)=C44∙0,54∙0,54-4=4!4!∙(4-4)!∙0,0625∙1=11∙0,0625=0,0625В итоге PX>3=0,25+0,0625=0,3125Вероятность поступления не менее 3 заявок 0,3125с) Для случайной величины Х, распределенной по биномиальному закону с параметрами n и p, ее математическое ожидание и дисперсия определяются по формулам mx = np, Dx = npq.Найдем математическое ожидание при n= 4, p=0,5mx=4∙0,5=2 Найдем дисперсию при n= 4, p=0,5Dx=4∙0,5∙0,5=1Ответ:1) минимальное количество магазинов, с которыми база должна заключить договоры, чтобы с вероятностью не менее 0,9 от них поступила хотя бы одна заявка на обслуживание на очередной день равна 4;2) а) наиболее вероятное значение числа заявок на обслуживание на очередной день m* = 2 и вероятность Р(Х= 2) поступления такого количества заявок равна 0,375.b) вероятность поступления не менее 3 заявок 0,3125с) математическое ожидание mx=2 и дисперсия Dx=1 числа заявок на обслуживание на очередной день.Задача №41В автосалоне ежедневно выставляются на продажу автомобили двух марок - А и В. В течение дня продаётся X машин марки А и Y машин марки В, причём независимо от того, сколько их было продано в предыдущие дни. Машина марки А стоит 5 ед., машина марки В - 7 ед.Закон распределения вероятностей системы (X,Y) задан таблицей 2:Таблица 2 - Распределение вероятностей системы (Х; Y) y1x1 0 1200,030,050,0210,060,440,1020,010,210,08Требуется:определить, какая марка машин пользуется в автосалоне наибольшим спросом;выяснить, зависит ли число проданных автомашин марки А от числа проданных автомашин марки В;найти ожидаемую (среднюю) дневную выручку автосалона;оценить (с помощью дисперсии) возможные отклонения дневной выручки относительно среднего значения.Пояснение: считать, что если Р(Х >Y) > P(Y >X), то машины марки А пользуются большим спросом, чем машины марки В.РешениеЧтобы определить какая машина пользуется наибольшим спросом, найдем вероятности Р(X>Y) и P(Y>X).Р(X>Y) = Р (х = 1, у = 0) + Р (х = 2, у = 0) + Р (х = 2, у = 1);Р(X>Y) = 0,06+0,01+0,21=0, 28P(Y>X) = Р(х = 0, у = 1) + Р (х = 0, у = 2) + Р (х = 1, у = 2);P(Y>X) = 0,05 + 0,02 + 0,44 = 0,51.Таким образом Р(X>Y)< P(Y>X), так как 0,28<0,51. Следовательно машины марки В пользуются в автосалоне наибольшим спросом.2) Случайная величина Х определяет число проданных в течение дня машин марки А, случайная величина У – число проданных машин марки В. Найдем распределение случайной величины Х: х1 = 0; х2 = 1; х3 = 2.Для этого используем формулу Р(х = х1) = р1 = 0,03 + 0,05 + 0,02 = 0,1;Р(х = х2) = р2 = 0,06 + 0,44 + 0,1 = 0,6;Р(х = х3) = р3 = 0,01 + 0,21 + 0,08 = 0,3.Занесем результаты в таблицу 3.Таблица 3 - Ряд распределения случайной величины xхi012pi0,10,60,3Составляем распределение случайной величины у: у1 = 0; у2 = 1; у3 = 2по формуле Р(y = y1) = р1 = 0,03 + 0,06 + 0,01 = 0,1;Р(y = y2) = р2 = 0,05 + 0,44 + 0,21 = 0,7;Р(y = y3) = р3 = 0,02 + 0,1 + 0,08 = 0,2.Занесем результаты в таблицу 4.Таблица 4 - Ряд распределения случайной величины yyj012pj0,10,70,2Если pi · pj = pij для всех (i; j), то случайные величины х и у являются независимыми. Например: для i = 2 и j = 2p2 · p2 = 0,3 · 0,2 = 0,06, а p22 = 0,08.Так как p2· p2 ≠ p22, то случайные величины х и у являются зависимыми.Значит число проданных автомашин марки А зависит от числа проданных автомашин марки В.3) Пусть случайная величина Z определяет дневную выручку автосалона. так как по условию задачи машина марки А стоит 5 ед., машина марки В – 7 ед., то величина Z будет иметь вид Z = 5 · х + 7 · у.Найдем математической ожидание mzmz = 5 · mx + 7 · mymx=i=13xipi=0∙0,1+1∙0,6+2∙0,3=0,6+0,6=1,2my=j=13yjpj=0∙0,1+1∙0,7+2∙0,2=0,7+0,4=1,1mz = 5 · 1,2 + 7 · 1,1=6+7,7=13,7Ожидаемая (средняя) дневная выручка автосалона составит 13,7 ед. Найдем дисперсию дневной выручки случайной величины z = аX + bY по формуле D[Z] = D[aX + bY] = a2 ·Dx+ b2 ·Dy+ 2·a·b·KxyНайдем дисперсии Dx и Dy.Dx=i=13xi2∙pi-mx2=02∙0,1+12∙0,6+22∙0,3-1,22=1,8-1.44=0,36Dy=j=13yj2∙pj-my2=02∙0,1+12∙0,7+22∙0,2-1,12=1,5-1.21=0,29Корреляционный момент Кxy системы (X,Y) вычислим по формуле Кxy=M[X·Y] – mx · my. Для нахождения M[X·Y] используем данные таблицы 2 и формулуMX∙Y=i=13j=13xiyj∙pij MX∙Y=0∙0∙0,03+0∙1∙0,05+0∙2∙0,02+1∙0∙0,06+1∙1∙0,44+1∙2∙0,1+2∙0∙0,01+2∙1∙0,21+2∙2∙0,08=0,44+0,2+0,42+0,32=1,38Найдем коэффициент корреляцииКxy=1,38 – 1,2∙1,1= 0,06Найдем дисперсию дневной выручкиDz=52∙0,36+72∙0,29+2∙5∙7∙0,06=9+14,21+4,2=27,41Возможные отклонения дневной выручки относительно среднего значения равны 27,41 ед.Ответ:1) машины марки В пользуются в автосалоне наибольшим спросом;2) число проданных автомашин марки А зависит от числа проданных автомашин марки В;3) ожидаемая (средняя) дневная выручка автосалона составит 13,7ед.;4) возможные отклонения дневной выручки относительно среднего значения равны 27,41 ед.Задача №77Торговая фирма располагает разветвлённой сетью филиалов и есть основания считать, что её суммарная дневная выручка X является нормально распределённой случайной величиной.