Эконометрика, В-1

Задача 1. По территориям региона приводятся данные за 199Х г.(см. таблицу своего варианта).
Требуется:
1. Построить линейное уравнение парной регрессии y от х.
2. Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации.
3. Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции с помощью F-критерия Фишера и t-критерия Стьюдента.
4. Выполнить прогноз заработной платы y при прогнозном значении среднедушевого прожиточного минимума х, составляющем 107% от среднего уровня.
5. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал.
6. На одном графике построить исходные данные и теоретическую прямую.

Задача 2. По 20 предприятиям региона изучается зависимость выработки продукции на одного работника y (тыс. руб.) от ввода в действие ...

Задача 1. По территориям региона приводятся данные за 199Х г.(см. таблицу своего варианта).
Требуется:
1. Построить линейное уравнение парной регрессии y от х.
2. Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации.
3. Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции с помощью F-критерия Фишера и t-критерия Стьюдента.
4. Выполнить прогноз заработной платы y при прогнозном значении среднедушевого прожиточного минимума х, составляющем 107% от среднего уровня.
5. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал.
6. На одном графике построить исходные данные и теоретическую прямую.

Задача 2. По 20 предприятиям региона изучается зависимость выработки продукции на одного работника y (тыс. руб.) от ввода в действиеновых основных фондов (x1) (% от стоимости фондов на конец года) и от удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих х2 (%).
Требуется:
1. Построить линейную модель множественной регрессии. Записать стандартизированное уравнение множественной регрессии. На основе стандартизированных коэффициентов регрессии и средних коэффициентов эластичности ранжировать факторы по степени их влияния на результат.
2. Найти коэффициенты парной, частной и множественной корреляции. Проанализировать их.
3. Найти скорректированный коэффициент множественной детерминации. Сравнить его с некорректированным (общим) коэффициентом детерминации.
4. С помощью F-критерия Фишера оценить статистическую надежность уравнения регрессии и коэффициента детерминации R_yx1x2^2.
5. С помощью частных F-критериев Фишера оценить целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора x_1 после x_2 и фактора x_2 после x_1.
6. Составить уравнение линейной парной регрессии, оставив лишь один значащий фактор.


Задача 3. Даны системы эконометрических уравнений.
Требуется:
1. Применив необходимое и достаточное условие идентификации, определите, идентифицируемо ли каждое из уравнений модели.
2. Определите метод оценки параметров модели.
3. Запишите в общем виде приведенную форму модели.
Модель протекционизма Сальватора (упрощенная версия):
{█(M_t=a_1+b_12 N_t+b_13 S_t+b_14 E_(t-1)+b_15 M_(t-1)+ε_t=a_2+b_21 M_t+b_23 S_t+b_26 Y_t+ε_t=a_3+b_31 M_t+b_32 N_t+b_36 X_t+ε_3 )┤
где М – доля импорта в ВВП; N – общее число прошений об освобождении от таможенных пошлин; S – число удовлетворенных прошений об освобождении от таможенных пошлин; Е – фиктивная переменная, равная 1 для тех лет, в которые курс доллара на международных валютных рынках был искусственно завышен, и 0 – для остальных лет; Y – реальный ВВП; Х – реальный объем чистого экспорта; t – текущий период; t-1 – предыдущий период.


Задача 4. Имеются условные данные об объемах потребления электроэнергии (yt) жителями региона за 16 кварталов.
Требуется:
1. Построить автокорреляционную функцию и сделать вывод о наличии сезонных колебаний.
2. Построить аддитивную модель временного ряда.
3. Сделать прогноз на 2 квартала вперед.

Задача 1. По территориям региона приводятся данные за 199Х г.(см. таблицу своего варианта).
Требуется:
1. Построить линейное уравнение парной регрессии y от х.
2. Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации.
3. Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции с помощью F-критерия Фишера и t-критерия Стьюдента.
4. Выполнить прогноз заработной платы y при прогнозном значении среднедушевого прожиточного минимума х, составляющем 107% от среднего уровня.
5. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал.
6. На одном графике построить исходные данные и теоретическую прямую.

Задача 2. По 20 предприятиям региона изучается зависимость выработки продукции на одного работника y (тыс. руб.) от ввода в действие новых основных фондов (x1) (% от стоимости фондов на конец года) и от удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих х2 (%).
Требуется:
1. Построить линейную модель множественной регрессии. Записать стандартизированное уравнение множественной регрессии. На основе стандартизированных коэффициентов регрессии и средних коэффициентов эластичности ранжировать факторы по степени их влияния на результат.
2. Найти коэффициенты парной, частной и множественной корреляции. Проанализировать их.
3. Найти скорректированный коэффициент множественной детерминации. Сравнить его с некорректированным (общим) коэффициентом детерминации.
4. С помощью F-критерия Фишера оценить статистическую надежность уравнения регрессии и коэффициента детерминации R_yx1x2^2.
5. С помощью частных F-критериев Фишера оценить целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора x_1 после x_2 и фактора x_2 после x_1.
6. Составить уравнение линейной парной регрессии, оставив лишь один значащий фактор.


Задача 3. Даны системы эконометрических уравнений.
Требуется:
1. Применив необходимое и достаточное условие идентификации, определите, идентифицируемо ли каждое из уравнений модели.
2. Определите метод оценки параметров модели.
3. Запишите в общем виде приведенную форму модели.
Модель протекционизма Сальватора (упрощенная версия):
{█(M_t=a_1+b_12 N_t+b_13 S_t+b_14 E_(t-1)+b_15 M_(t-1)+ε[email protected]_t=a_2+b_21 M_t+b_23 S_t+b_26 Y_t+ε[email protected]_t=a_3+b_31 M_t+b_32 N_t+b_36 X_t+ε_3 )┤
где М – доля импорта в ВВП; N – общее число прошений об освобождении от таможенных пошлин; S – число удовлетворенных прошений об освобождении от таможенных пошлин; Е – фиктивная переменная, равная 1 для тех лет, в которые курс доллара на международных валютных рынках был искусственно завышен, и 0 – для остальных лет; Y – реальный ВВП; Х – реальный объем чистого экспорта; t – текущий период; t-1 – предыдущий период.


Задача 4. Имеются условные данные об объемах потребления электроэнергии (yt) жителями региона за 16 кварталов.
Требуется:
1. Построить автокорреляционную функцию и сделать вывод о наличии сезонных колебаний.
2. Построить аддитивную модель временного ряда.
3. Сделать прогноз на 2 квартала вперед.

2 – Коэффициенты регрессииУравнение множественной регрессии примет вид:y=0,718+1,181∙x1+0,076∙x2Определим степень влияния факторов на результат (коэффициенты эластичности):Ei=bi∙xiyОпределим средние значения:y=19620=9,8; x1=12520=6,25; x2=44820=22,4Тогда получим:E1=1,181∙6,259,8=0,75E2=0,076∙22,49,8=0,17Полученные коэффициенты эластичности меньше единицы, то есть их влияние на результат незначительно.Наибольшее влияние на результат оказывает фактор х1, меньшее – фактор х2.2. Найдем коэффициенты парной корреляции.Для этого построим корреляционную матрицу при помощи Excel:yx1x2y1--x10,9861-x20,960,9571Между результирующим и факторными признаками существует очень высокая связь.Проведем расчет частных коэффициентов корреляции:ryx1/x2=ryx1-ryx2∙rx1x2(1-ryx22)(1-rx1x22)=0,986-0,96∙0,957(1-0,962)(1-0,9572)=0,828ryx2/x1=ryx2-ryx1∙rx1x2(1-ryx12)(1-rx1x22)=0,96-0,986∙0,957(1-0,9862)(1-0,9572)=0,334rx1x2/y=rx1x2-ryx1∙ryx2(1-ryx12)(1-ryx22)=0,957-0,986∙0,96(1-0,9862)(1-0,962)=0,229Множественный коэффициент корреляции:R=1-∆r∆r11∆r- определитель матрицы парных коэффициентов корреляции;∆r11 - определитель матрицы межфакторной корреляции.∆r=10,9860,960,98610,9570,960,9571=0,0021∆r11=10,9570,9571=0,0844R=1-0,00210,0844=0,987Между результирующим факторов и факторами влияния наблюдается очень сильная связь.3. Коэффициент множественной детерминации равен:R2=0,9872=0,975Определим скорректированный коэффициент множественной детерминации:R2=1-(1-R2)∙n-1n-m-1Подставим данные и получим:R2=1-1-0,975∙20-120-2-1=0,972Как видим, полученное значение скорректированного коэффициента множественной детерминации незначительно отличается от общего коэффициента (на 0,003).4. Оценим статистическую надежность построенного уравнения множественной регрессии и коэффициента детерминации Ryx1x22:Fнабл=R21-R2∙n-m-1m=0,9751-0,975∙20-2-12=334,24Табличное значение F-критерия: F=3,59Рассчитанное значение значительно выше табличного. Таким образом, уравнение регрессии и множественный коэффициент детерминации можно считать статистически надежными.5. Определим целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора x1 после x2:Fx1=R2-ryx221-R2n-m-1=0,975-0,9211-0,97520-2-1=37,22Сравним с критическим значением F-критерия:Fкрит=4,45Рассчитанное значение превышает критическое – фактор x1 целесообразно включать в модель после x2.Определим целесообразность введения в модель фактора x2 после x1:Fx2=R2-ryx121-R2n-m-1=0,975-0,9721-0,97520-2-1=2,19Критическое значение превышает рассчитанное – фактор x2 не целесообразно включать в модель после фактора x1.6. Составим уравнение линейной парной регрессии, оставив лишь один значащий фактор.Так как на результат имеет большее влияние фактор х1, составим уравнение регрессии для выявления зависимости между ним и результирующим фактором.an+bx=yax+bx2=xyyx1x2x y63,612,9621,663,612,9621,663,915,2123,474,116,8128,773,915,2127,374,520,2531,585,328,0942,485,328,0942,495,631,3650,4106,846,246896,339,6956,7116,440,9670,41174977127,556,2590127,962,4194,8138,267,24106,613864104138,673,96111,8149,590,2513314981126196125851,9132820a+125b=196125a+851,9b=1328Решим систему и получим:a=0,7287; b=1,451Уравнение регрессии примет вид:y=0,7287+1,451∙xЗадача 3. Даны системы эконометрических уравнений.Требуется:1. Применив необходимое и достаточное условие идентификации, определите, идентифицируемо ли каждое из уравнений модели.2. Определите метод оценки параметров модели.3. Запишите в общем виде приведенную форму модели.Модель протекционизма Сальватора (упрощенная версия):Mt=a1+b12Nt+b13St+b14Et-1+b15Mt-1+ε1Nt=a2+b21Mt+b23St+b26Yt+ε2St=a3+b31Mt+b32Nt+b36Xt+ε3где М – доля импорта в ВВП; N – общее число прошений об освобождении от таможенных пошлин; S – число удовлетворенных прошений об освобождении от таможенных пошлин; Е – фиктивная переменная, равная 1 для тех лет, в которые курс доллара на международных валютных рынках был искусственно завышен, и 0 – для остальных лет; Y – реальный ВВП; Х – реальный объем чистого экспорта; t – текущий период; t-1 – предыдущий период.РешениеМодель представляет с собой систему взаимосвязанных (одновременных) уравнений. Для ответа на вопрос о способе оценки параметров модели проверим каждое ее уравнение на идентификацию.Проверим необходимое условие идентификации для уравнений модели.1 уравнение.Это уравнение включает три эндогенные переменные (Mt, Nt, St) и две предопределенные (Et-1, Mt-1). Следовательно, число предопределенных переменных, не входящих в это уравнение, плюс 1, равно числу эндогенных переменных, входящих в уравнение: 2+1=3. Уравнение идентифицировано.2 уравнение.Это уравнение включает три эндогенные переменные (Mt, Nt, St) и одну предопределенную (Yt). Следовательно, число предопределенных переменных, не входящих в это уравнение, плюс 1, больше числа эндогенных переменных, входящих в уравнение: 3+1>3. Уравнение сверхидентифицировано.3 уравнение.Это уравнение включает три эндогенные переменные (Mt, Nt, St) и одну предопределенную (Xt). Следовательно, число предопределенных переменных, не входящих в это уравнение, плюс 1, больше числа эндогенных переменных, входящих в уравнение: 3+1>3. Уравнение сверхидентифицировано.Проверим для каждого из уравнений достаточное условие идентификации. Для этого составим матрицу коэффициентов при переменных модели:MtNtStEt-1Mt-1YtXtУравнение №1-1b12b13b14b1500Уравнение №2b21-1b2300b260Уравнение №3b31b32-1000b37В соответствии с достаточным условием идентификации определитель матрицы коэффициентов, не входящих в исследуемое уравнение, не должен быть равен нулю, а ранг матрицы должен быть не менее, чем число эндогенных переменных модели минус 1, т.е. в данной задаче больше или равен 3-1=2.1 уравнение.Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид:A=b2600b37Определитель данной матрицы detA≠0, ранг матрицы равен 2. Следовательно, для 1 уравнения достаточное условие выполняется, это уравнение точно идентифицируемо.2 уравнение.Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид:A=b14b15000b37Ранг матрицы равен 2. Следовательно, для 2 уравнения достаточное условие выполняется, это уравнение сверхидентифицируемо.3 уравнение.Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид:A=b14b15000b26Ранг матрицы равен 2. Следовательно, для 3 уравнения достаточное условие выполняется, это уравнение сверхидентифицируемо.2. Таким образом, система в целом сверхидентифицируема, для оценки ее параметров можно применить двухшаговый метод наименьших квадратов.3.