Эконометрика, 2 вариант.

Три задачи по эконометрике. 2 вариант. Оценка: "отлично". ...

Задача 1.
По территориям региона приводятся данные за 199X г.
Вариант 2
Номер региона Среднедушевой прожиточный минимум в день одного трудоспособного, руб.,
Среднедневная заработная плата, руб.,

1 74 122
2 81 134
3 90 136
4 79 125
5 89 120
6 87 127
7 77 125
8 93 148
9 70 122
10 93 157
11 87 144
12 121 165

Требуется:
Построить линейное уравнение парной регрессии y от x .
Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации.
Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции с помощью F-критерия Фишера и t-критерия Стьюдента.
Выполнить прогноз заработной платы y при прогнозном значении среднедушевого прожиточного минимума x, составляющем 107% от среднего уровня.
Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительныйинтервал.
На одном графике построить исходные данные и теоретическую прямую.

Задача 2.
По 20 предприятиям региона изучается зависимость выработки продукции на одного работника y (тыс. руб.) от ввода в действие новых основных фондов x_1( от стоимости фондов на конец года) и от удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих x_2(%).
Вариант 2
Номер предприятия


Номер предприятия



1 6 3,5 10 11 10 6,3 21
2 6 3,6 12 12 11 6,4 22
3 7 3,9 15 13 11 7 23
4 7 4,1 17 14 12 7,5 25
5 7 4,2 18 15 12 7,9 28
6 8 4,5 19 16 13 8,2 30
7 8 5,3 19 17 13 8,4 31
8 9 5,3 20 18 14 8,6 31
9 9 5,6 20 19 14 9,5 35
10 10 6 21 20 15 10 36

Требуется:
Построить линейную модель множественной регрессии. Записать стандартизованное уравнение множественной регрессии. На основе стандартизованных коэффициентов регрессии и средних коэффициентов эластичности ранжировать факторы по степени их влияния на результат.
Найти коэффициенты парной, частной и множественной корреляции. Проанализировать их.
Найти скорректированный коэффициент множественной детерминации. Сравнить его с нескорректированным (общим) коэффициентом детерминации.
С помощью F-критерия Фишера оценить статистическую надежность уравнения регрессии и коэффициента детерминации R_(yx_1 x_2)^2.
С помощью частных F-критериев Фишера оценить целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора x_1 после x_2 и фактора x_2 после x_1.
Составить уравнение линейной парной регрессии, оставив лишь один значащий фактор.

Задача 3.
Имеются условные данные об объемах потребления электроэнергии ( ) жителями региона за 16 кварталов.
Требуется:
Построить автокорреляционную функцию и сделать вывод о наличии сезонных колебаний.
Построить аддитивную модель временного ряда (для нечетных вариантов) или мультипликативную модель временного ряда (для четных вариантов).
Сделать прогноз на 2 квартала вперед.
Варианты 1, 2





1 5,8 9 7,9
2 4,5 10 5,5
3 5,1 11 6,3
4 9,1 12 10,8
5 7,0 13 9,0
6 5,0 14 6,5
7 6,0 15 7,0
8 10,1 16 11,1

Три задачи по эконометрике. 2 вариант.

Записать стандартизованное уравнение множественной регрессии. На основе стандартизованных коэффициентов регрессии и средних коэффициентов эластичности ранжировать факторы по степени их влияния на результат.Найти коэффициенты парной, частной и множественной корреляции. Проанализировать их.Найти скорректированный коэффициент множественной детерминации. Сравнить его с нескорректированным (общим) коэффициентом детерминации.С помощью F-критерия Фишера оценить статистическую надежность уравнения регрессии и коэффициента детерминации Ryx1x22.С помощью частных F-критериев Фишера оценить целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора x1 после x2 и фактора x2 после x1.Составить уравнение линейной парной регрессии, оставив лишь один значащий фактор.РешениеДля удобства проведения расчетов поместим результаты промежуточных расчетов в таблицу:№12345678910163,51021,0060,035,0012,2510036263,61221,6072,043,2012,9614436373,91527,30105,058,5015,2122549474,11728,70119,069,7016,8128949574,21829,40126,075,6017,6432449684,51936,00152,085,5020,2536164785,31942,40152,0100,7028,0936164895,32047,70180,0106,0028,0940081995,62050,40180,0112,0031,3640081101062160,00210,0126,0036,0044110011106,32163,00210,0132,3039,6944110012116,42270,40242,0140,8040,96484121131172377,00253,0161,0049,0052912114127,52590,00300,0187,5056,2562514415127,92894,80336,0221,2062,4178414416138,230106,60390,0246,0067,2490016917138,431109,20403,0260,4070,5696116918148,631120,40434,0266,6073,9696119619149,535133,00490,0332,5090,25122519620151036150,00540,0360,00100,001296225Сумма202,00125,80453,001378,904954,003120,50868,9811251,002194,00Ср. знач.10,106,2922,6568,95247,70156,0343,45562,55109,70Найдем средние квадратические отклонения признаков:Вычисление параметров линейного уравнения множественной регрессии.Для нахождения параметров линейного уравнения множественной регрессиинеобходимо решить следующую систему линейных уравнений относительно неизвестных параметров , , :либо воспользоваться готовыми формулами:237172525400394779514605043307030480Рассчитаем сначала парные коэффициенты корреляции:НаходимТаким образом, получили следующее уравнение множественной регрессии:Коэффициенты и стандартизованного уравнения регрессии находятся по формулам:Стандартизированная форма уравнения регрессии имеет вид:y0 = 0.951x1 + 0.0407x2Так как стандартизованные коэффициенты регрессии можно сравнивать между собой, то можно сказать, что ввод в действие новых основных фондов оказывает большее влияние на выработку продукции, чем удельный вес рабочих высокой квалификации.Сравнивать влияние факторов на результат можно также при помощи средних коэффициентов эластичности:Т.е. увеличение только основных фондов (от своего среднего значения) или только удельного веса рабочих высокой квалификации на 1% увеличивает в среднем выработку продукции на 0,83% или 0,04% соответственно. Таким образом, подтверждается большее влияние на результат фактора , чем фактора .Коэффициенты парной корреляции мы уже нашли:Они указывают на весьма сильную связь каждого фактора с результатом, а также высокую межфакторную зависимость (факторы и явно коллинеарны, т.к. 0.977 > 0.7). При такой сильной межфакторной зависимости рекомендуется один из факторов исключить из рассмотрения.Частные коэффициенты корреляции характеризуют тесноту связи между результатом и соответствующим фактором при элиминировании (устранении влияния) других факторов, включенных в уравнение регрессии.При двух факторах частные коэффициенты корреляции рассчитываются следующим образом:Если сравнить коэффициенты парной и частной корреляции, то можно увидеть, что из-за высокой межфакторной зависимости коэффициенты парной корреляции дают завышенные оценки тесноты связи. Именно по этой причине рекомендуется при наличии сильной коллинеарности (взаимосвязи) факторов исключать из исследования тот фактор, у которого теснота парной зависимости меньше, чем теснота межфакторной связи.Коэффициент множественной корреляции определить через матрицу парных коэффициентов корреляции: где– определитель матрицы парных коэффициентов корреляции;– определитель матрицы межфакторной корреляции.∆ r =10,9910,970,99110,9770,970,9771= 0.00081∆ r11 =10,9770,9771= 0.0449Коэффициент множественной корреляцииАналогичный результат получим при использовании других формул:Коэффициент множественной корреляции показывает на весьма сильную связь всего набора факторов с результатом.Коэффициент детерминации.R2= 0.9912 = 0.982Нескорректированный коэффициент множественной детерминации оценивает долю вариации результата за счет представленных в уравнении факторов в общей вариации результата. Здесь эта доля составляет 98% и указывает на весьма высокую степень обусловленности вариации результата вариацией факторов, иными словами – на весьма тесную связь факторов с результатом.Скорректированный коэффициент множественной детерминацииопределяет тесноту связи с учетом степеней свободы общей и остаточной дисперсий. Он дает такую оценку тесноты связи, которая не зависит от числа факторов и поэтому может сравниваться по разным моделям с разным числом факторов. Оба коэффициента указывают на весьма высокую (более 98%) детерминированность результата в модели факторами и .Оценку надежности уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи дает -критерий Фишера:Табличное значение при степенях свободы k1 = 2 и k2 = n-m-1 = 20 - 2 - 1 = 17, Fkp(2;17) = 3.59Получили, что F (фак) > F (таб) = 3,59 (при n=20 ), т.е. вероятность случайно получить такое значение F -критерия не превышает допустимый уровень значимости 5%. Следовательно, полученное значение не случайно, оно сформировалось под влиянием существенных факторов, т.е. подтверждается статистическая значимость всего уравнения и показателя тесноты связи R ²(yx1x2)С помощью частных -критериев Фишера оценим целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора после и фактора после при помощи формул:;.Найдем и .R2(x2,xn = r2(x2) = 0.97022 = 0.941R2(x1,xn = r2(x1) = 0.99092 = 0.982Имеем:Получили, что . Следовательно, включение в модель фактора после того, как в модель включен фактор статистически нецелесообразно: прирост факторной дисперсии за счет дополнительного признака оказывается незначительным, несущественным; фактор включать в уравнение после фактора не следует.Если поменять первоначальный порядок включения факторов в модель и рассмотреть вариант включения после , то результат расчета частного -критерия для будет иным. , т.е. вероятность его случайного формирования меньше принятого стандарта . Следовательно, значение частного -критерия для дополнительно включенного фактора не случайно, является статистически значимым, надежным, достоверным: прирост факторной дисперсии за счет дополнительного фактора является существенным. Фактор должен присутствовать в уравнении, в том числе в варианте, когда он дополнительно включается после фактора .Общий вывод состоит в том, что множественная модель с факторами и содержит неинформативный фактор . Если исключить фактор , то можно ограничиться уравнением парной регрессии:Задача 3. Имеются условные данные об объемах потребления электроэнергии () жителями региона за 16 кварталов.Требуется:Построить автокорреляционную функцию и сделать вывод о наличии сезонных колебаний.Построить аддитивную модель временного ряда (для нечетных вариантов) или мультипликативную модель временного ряда (для четных вариантов).Сделать прогноз на 2 квартала вперед.