Эконометрика, 8 вариант.

Четыре задачи по эконометрике. 8 вариант. Оценка: "отлично". ...

Задача 1. Парная регрессия и корреляция
По территориям региона приводятся данные за 199X г.
Вариант 8
Номер региона Среднедушевой прожиточный минимум в день одного трудоспособного, руб.,
Среднедневная заработная плата, руб.,

1 69 124
2 83 133
3 92 146
4 97 153
5 88 138
6 93 159
7 74 145
8 79 152
9 105 168
10 99 154
11 85 127
12 94 155

Требуется:
Построить линейное уравнение парной регрессии y от x .
Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации.
Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции с помощью F-критерия Фишера и t-критерия Стьюдента.
Выполнить прогноз заработной платы y при прогнозном значении среднедушевого прожиточного минимума x, составляющем 107% от среднего уровня.
Оценить точность прогноза, рассчитав ошибкупрогноза и его доверительный интервал.
На одном графике построить исходные данные и теоретическую прямую.

Решение:
Задача 2. Множественная регрессия и корреляция
По 20 предприятиям региона изучается зависимость выработки продукции на одного работника y (тыс. руб.) от ввода в действие новых основных фондов x_1( от стоимости фондов на конец года) и от удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих x_2(%).
Вариант 8
Номер предприятия


Номер предприятия



1 7 3,8 9 11 11 7,1 22
2 7 4,1 14 12 11 7,5 23
3 7 4,3 16 13 12 7,8 25
4 7 4,1 17 14 12 7,6 27
5 8 4,6 17 15 12 7,9 29
6 8 4,7 18 16 13 8,1 30
7 9 5,3 20 17 13 8,5 32
8 9 5,5 20 18 14 8,7 32
9 11 6,9 21 19 14 9,6 33
10 10 6,8 21 20 15 9,8 36
Требуется:
Построить линейную модель множественной регрессии. Записать стандартизованное уравнение множественной регрессии. На основе стандартизованных коэффициентов регрессии и средних коэффициентов эластичности ранжировать факторы по степени их влияния на результат.
Найти коэффициенты парной, частной и множественной корреляции. Проанализировать их.
Найти скорректированный коэффициент множественной детерминации. Сравнить его с нескорректированным (общим) коэффициентом детерминации.
С помощью F-критерия Фишера оценить статистическую надежность уравнения регрессии и коэффициента детерминации R_(yx_1 x_2)^2.
С помощью частных F-критериев Фишера оценить целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора x_1 после x_2 и фактора x_2 после x_1.
Составить уравнение линейной парной регрессии, оставив лишь один значащий фактор.
Решение
Задача 3. Системы эконометрических уравнений.
Дана система эконометрических уравнений.
Вариант 8
Гипотетическая модель экономики:

где – совокупное потребление в период ; – совокупный доход в период ; – инвестиции в период ; – налоги в период ; – государственные доходы в период .
Требуется
Применив необходимое и достаточное условие идентификации, определите, идентифицируемо ли каждое из уравнений модели.
Определите метод оценки параметров модели.
Запишите в общем виде приведенную форму модели.

Задача 4. Временные ряды
Имеются условные данные об объемах потребления электроэнергии ( ) жителями региона за 16 кварталов.
Требуется:
Построить автокорреляционную функцию и сделать вывод о наличии сезонных колебаний.
Построить аддитивную модель временного ряда (для нечетных вариантов) или мультипликативную модель временного ряда (для четных вариантов).
Сделать прогноз на 2 квартала вперед.
Варианты 7, 8





1 5,5 9 8,3
2 4,8 10 5,4
3 5,1 11 6,4
4 9,0 12 10,9
5 7,1 13 9,0
6 4,9 14 6,6
7 6,1 15 7,5
8 10,0 16 11,2

Решение:

Задача 1. Парная регрессия и корреляция
По территориям региона приводятся данные за 199X г.
Вариант 8
Номер региона Среднедушевой прожиточный минимум в день одного трудоспособного, руб.,
Среднедневная заработная плата, руб.,

1 69 124
2 83 133
3 92 146
4 97 153
5 88 138
6 93 159
7 74 145
8 79 152
9 105 168
10 99 154
11 85 127
12 94 155

Требуется:
Построить линейное уравнение парной регрессии y от x .
Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации.
Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции с помощью F-критерия Фишера и t-критерия Стьюдента.
Выполнить прогноз заработной платы y при прогнозном значении среднедушевого прожиточного минимума x, составляющем 107% от среднего уровня.
Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал.
На одном графике построить исходные данные и теоретическую прямую.

Решение:
Задача 2. Множественная регрессия и корреляция
По 20 предприятиям региона изучается зависимость выработки продукции на одного работника y (тыс. руб.) от ввода в действие новых основных фондов x_1( от стоимости фондов на конец года) и от удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих x_2(%).
Вариант 8
Номер предприятия


Номер предприятия



1 7 3,8 9 11 11 7,1 22
2 7 4,1 14 12 11 7,5 23
3 7 4,3 16 13 12 7,8 25
4 7 4,1 17 14 12 7,6 27
5 8 4,6 17 15 12 7,9 29
6 8 4,7 18 16 13 8,1 30
7 9 5,3 20 17 13 8,5 32
8 9 5,5 20 18 14 8,7 32
9 11 6,9 21 19 14 9,6 33
10 10 6,8 21 20 15 9,8 36
Требуется:
Построить линейную модель множественной регрессии. Записать стандартизованное уравнение множественной регрессии. На основе стандартизованных коэффициентов регрессии и средних коэффициентов эластичности ранжировать факторы по степени их влияния на результат.
Найти коэффициенты парной, частной и множественной корреляции. Проанализировать их.
Найти скорректированный коэффициент множественной детерминации. Сравнить его с нескорректированным (общим) коэффициентом детерминации.
С помощью F-критерия Фишера оценить статистическую надежность уравнения регрессии и коэффициента детерминации R_(yx_1 x_2)^2.
С помощью частных F-критериев Фишера оценить целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора x_1 после x_2 и фактора x_2 после x_1.
Составить уравнение линейной парной регрессии, оставив лишь один значащий фактор.
Решение
Задача 3. Системы эконометрических уравнений.
Дана система эконометрических уравнений.
Вариант 8
Гипотетическая модель экономики:

где – совокупное потребление в период ; – совокупный доход в период ; – инвестиции в период ; – налоги в период ; – государственные доходы в период .
Требуется
Применив необходимое и достаточное условие идентификации, определите, идентифицируемо ли каждое из уравнений модели.
Определите метод оценки параметров модели.
Запишите в общем виде приведенную форму модели.

Задача 4. Временные ряды
Имеются условные данные об объемах потребления электроэнергии ( ) жителями региона за 16 кварталов.
Требуется:
Построить автокорреляционную функцию и сделать вывод о наличии сезонных колебаний.
Построить аддитивную модель временного ряда (для нечетных вариантов) или мультипликативную модель временного ряда (для четных вариантов).
Сделать прогноз на 2 квартала вперед.
Варианты 7, 8





1 5,5 9 8,3
2 4,8 10 5,4
3 5,1 11 6,4
4 9,0 12 10,9
5 7,1 13 9,0
6 4,9 14 6,6
7 6,1 15 7,5
8 10,0 16 11,2

Решение:

РешениеДля удобства проведения расчетов поместим результаты промежуточных расчетов в таблицу:№12345678910173,8926,6063,034,2014,448149274,11428,7098,057,4016,8119649374,31630,10112,068,8018,4925649474,11728,70119,069,7016,8128949584,61736,80136,078,2021,1628964684,71837,60144,084,6022,0932464795,32047,70180,0106,0028,0940081895,52049,50180,0110,0030,25400819116,92175,90231,0144,9047,6144112110106,82168,00210,0142,8046,2444110011117,12278,10242,0156,2050,4148412112117,52382,50253,0172,5056,2552912113127,82593,60300,0195,0060,8462514414127,62791,20324,0205,2057,7672914415127,92994,80348,0229,1062,4184114416138,130105,30390,0243,0065,6190016917138,532110,50416,0272,0072,25102416918148,732121,80448,0278,4075,69102419619149,633134,40462,0316,8092,16108919620159,836147,00540,0352,8096,041296225Сумма210,00132,70462,001488,805196,003317,60951,4111658,002336,00Ср. знач.10,506,6423,1074,44259,80165,8847,57582,90116,80Найдем средние квадратические отклонения признаков:Вычисление параметров линейного уравнения множественной регрессии.Для нахождения параметров линейного уравнения множественной регрессиинеобходимо решить следующую систему линейных уравнений относительно неизвестных параметров , , :либо воспользоваться готовыми формулами:237172525400394779514605043307030480Рассчитаем сначала парные коэффициенты корреляции:НаходимТаким образом, получили следующее уравнение множественной регрессии:Коэффициенты и стандартизованного уравнения регрессии находятся по формулам:Стандартизированная форма уравнения регрессии имеет вид:ty= 0.824tx1 + 0.174tx2Так как стандартизованные коэффициенты регрессии можно сравнивать между собой, то можно сказать, что ввод в действие новых основных фондов оказывает большее влияние на выработку продукции, чем удельный вес рабочих высокой квалификации.Сравнивать влияние факторов на результат можно также при помощи средних коэффициентов эластичности:Т.е. увеличение только основных фондов (от своего среднего значения) или только удельного веса рабочих высокой квалификации на 1% увеличивает в среднем выработку продукции на 0,71% или 0,14% соответственно. Таким образом, подтверждается большее влияние на результат фактора , чем фактора .Коэффициенты парной корреляции мы уже нашли:Они указывают на весьма сильную связь каждого фактора с результатом, а также высокую межфакторную зависимость (факторы и явно коллинеарны, т.к. 0.954 > 0.7). При такой сильной межфакторной зависимости рекомендуется один из факторов исключить из рассмотрения.Частные коэффициенты корреляции характеризуют тесноту связи между результатом и соответствующим фактором при элиминировании (устранении влияния) других факторов, включенных в уравнение регрессии.При двух факторах частные коэффициенты корреляции рассчитываются следующим образом:Если сравнить коэффициенты парной и частной корреляции, то можно увидеть, что из-за высокой межфакторной зависимости коэффициенты парной корреляции дают завышенные оценки тесноты связи. Именно по этой причине рекомендуется при наличии сильной коллинеарности (взаимосвязи) факторов исключать из исследования тот фактор, у которого теснота парной зависимости меньше, чем теснота межфакторной связи.Коэффициент множественной корреляции определить через матрицу парных коэффициентов корреляции: где– определитель матрицы парных коэффициентов корреляции;– определитель матрицы межфакторной корреляции.∆ r =10,990,960,9910,9540,960,9541= 0.00153∆ r11 =10,9540,9541= 0.0903Коэффициент множественной корреляцииАналогичный результат получим при использовании других формул:Коэффициент множественной корреляции показывает на весьма сильную связь всего набора факторов с результатом.Коэффициент детерминации.R2= 0.9912 = 0.983Нескорректированный коэффициент множественной детерминации оценивает долю вариации результата за счет представленных в уравнении факторов в общей вариации результата. Здесь эта доля составляет 98% и указывает на весьма высокую степень обусловленности вариации результата вариацией факторов, иными словами – на весьма тесную связь факторов с результатом.Скорректированный коэффициент множественной детерминацииопределяет тесноту связи с учетом степеней свободы общей и остаточной дисперсий. Он дает такую оценку тесноты связи, которая не зависит от числа факторов и поэтому может сравниваться по разным моделям с разным числом факторов. Оба коэффициента указывают на весьма высокую (более 97%) детерминированность результата в модели факторами и .Оценку надежности уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи дает -критерий Фишера:Табличное значение при степенях свободы k1 = 2 и k2 = n-m-1 = 20 - 2 - 1 = 17, Fkp(2;17) = 3.59Получили, что F (фак) > F (таб) = 3,59 (при n=20 ), т.е. вероятность случайно получить такое значение F -критерия не превышает допустимый уровень значимости 5%. Следовательно, полученное значение не случайно, оно сформировалось под влиянием существенных факторов, т.е. подтверждается статистическая значимость всего уравнения и показателя тесноты связи R ²(yx1x2)С помощью частных -критериев Фишера оценим целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора после и фактора после при помощи формул:;.Найдем и .R2(x2,xn = r2(x2) = 0.962 = 0.922R2(x1,xn = r2(x1) = 0.99012 = 0.98Имеем:Получили, что . Следовательно, включение в модель фактора после того, как в модель включен фактор статистически нецелесообразно: прирост факторной дисперсии за счет дополнительного признака оказывается незначительным, несущественным; фактор включать в уравнение после фактора не следует.Если поменять первоначальный порядок включения факторов в модель и рассмотреть вариант включения после , то результат расчета частного -критерия для будет иным. , т.е. вероятность его случайного формирования меньше принятого стандарта . Следовательно, значение частного -критерия для дополнительно включенного фактора не случайно, является статистически значимым, надежным, достоверным: прирост факторной дисперсии за счет дополнительного фактора является существенным. Фактор должен присутствовать в уравнении, в том числе в варианте, когда он дополнительно включается после фактора .Общий вывод состоит в том, что множественная модель с факторами и содержит неинформативный фактор . Если исключить фактор , то можно ограничиться уравнением парной регрессииРеализация на компьютере.Решение с помощью ППП ExcelСводную таблицу основных статистических характеристик для одного или нескольких массивов данных можно получить с помощью инструмента анализа данных Описательная статистика.Матрицу парных коэффициентов корреляции переменных можно рассчитать, используя инструмент анализа данных Корреляция.Значение парных коэффициентов корреляции, полученные с помощью Анализа данных, совпали с «ручными» расчетами.Вычисление параметров линейного уравнения множественной регрессииЗначение парных коэффициентов корреляции, полученные с помощью Анализа данных, совпали с «ручными» расчетами.Задача 3. Системы эконометрических уравнений.Дана система эконометрических уравнений.Вариант 8Гипотетическая модель экономики:где – совокупное потребление в период ; – совокупный доход в период ; – инвестиции в период ; – налоги в период ; – государственные доходы в период .ТребуетсяПрименив необходимое и достаточное условие идентификации, определите, идентифицируемо ли каждое из уравнений модели.Определите метод оценки параметров модели.Запишите в общем виде приведенную форму модели.Решение:Модель представляет собой систему одновременных уравнений. Проверим каждое ее уравнение на идентификацию.Модель включает три эндогенные переменные и две предопределенные переменные – экзогенную Gt и лаговую – Yt-1.Причём переменная Yt задана тождеством. Поэтому практически статистическое решение необходимо только для первых трех уравнений системы, которые необходимо проверить на идентификацию.Проверим необходимое условие идентификации для каждого из уравнений модели.Первое уравнение. Это уравнение содержит три эндогенные переменные , Jt и . Число отсутствующих предопределённых переменных равно нулю. Таким образом, Н=3, а D=2, т.е. выполняется условие D + 1 = H, т.е. (2+1=3) Уравнение идентифицируемо.Второе уравнение. Оно включает одну эндогенную переменную Jt. Число отсутствующих предопределенных переменных так же равно одному (Gt). По правилу D+1>1 (1+1>2). Следовательно, уравнение сверхидентифицируемо.Третье уравнение. Оно включает две эндогенные переменные Tt и Число отсутствующих предопределённых переменных равно нулю. По счётному правилу D + 1 > H, то есть 2 + 1 > 2. Следовательно, уравнение сверхидентифицируемо.Четвертое уравнение. Оно представляет собой тождество, параметры которого известны. Необходимости в идентификации нет.Проверим для каждого уравнения достаточное условие идентификации. Для этого составим матрицу коэффициентов при переменных модели.JtTtYt-1I уравнение–1000II уравнение0–100b210III уравнение00-1b1300Тождество110–101В соответствии с достаточным условием идентификации ранг матрицы коэффициентов при переменных, не входящих в исследуемое уравнение, должен быть равен числу эндогенных переменных модели без одного.1 уравнение. Согласно таблице detA≠0, ранг матрицы равен трем, что соответствует следующему критерию: ранг матрицы коэффициентов должен быть не менее чем число эндогенных переменных в системе без одного. Достаточное условие идентификации выполняется.