Линейная алгебра

Контрольная работа выполняется в соответствии с предлагаемыми
ниже вариантами. По номеру варианта необходимо выбрать порядковый
номер примера в каждом задании каждой темы контрольной работы.
Например, для 5 варианта необходимо решить все пятые примеры всех
заданий из всех тем контрольной работы.КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ
ЗАДАНИЕ 1. (тема 1) ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ
Вычислить пределы:ЗАДАНИЕ 2. (тема 3) ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
Используя дифференциальное исчисление, провести полное
исследование функции и построить ее график:ЗАДАНИЕ 3. (тема 4) НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Вычислить неопределенные интегралы, используя методы
интегрирования:
а) – непосредственное интегрирование;
б) – замены переменной;
в) – интегрирования по частям.
ЗАДАНИЕ 4. (тема 5) ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
4.1 Вычислить опр ...

Аналогично вычисляем произведение ВА и полученную матрицу назовем матрицаD.

d1,1 = (-20) *2+ (-1) *1+3*2 = (-4)+(-1)+6 = 1
d1,2 =(-2)*(-3)+(-1)*5+3*(-3)=6+(-5)+(-9) =-8
d1,3 =(-2)*0+(-1)*(-4) +3*1=0+4+3=7
d2,1 =1*2+0*1+4*2 = 2+0+8 =10
d2,2 =1*(-3)+0*5+4*(-3)=(-3)+0+(-12)=-15
d2,3 =1*0+0*(-4)+4*1=0+0+4=4
d3,1 =3*2+(-4)*1+7*2 =6+(-4)+14 =16
d3,2 =3*(-3)+(-4)*5+7*(-3)=(-9)+(-20)+(-21)=-50
d3,3 =3*0+(-4)*(-4)+7*1=0+16+7=23

1 -8 7
10 -15 4
16 -50 23

BA =D =

Тема 1 «Матрицы и определители»

Вычислить АВ-ВА если элементы матриц А и В заданы:

2 -3 0
1 5 -4
2 -3 1
-2 -1 3
1 0 4
3 -4 7

|А| = |B| =



Вычислим отдельно произведения т.к. произведение матриц не коммутативно АВ не равно ВА
Произведение матриц есть матрица поэтому произведение матриц АВ назовем матрицей С.Вычислим каждый элемент матрицы С отдельно.

c1,1 =2*(-2) +(-3)*1+0*3= (-4)+(-3)+0=-7
c1,2 =2 *(-1) +(-3)*0+0*(-4)=(-2)+0+0=-2
c1,3 = 2* 3+(-3)*4+0*7= 6+(-12)+0= -6
c2,1 =1 *(-2) +5*1+(-4)*3= (-2)+ 5+(-12)= -9
c2,2 =1*(-1) +5*0+(-4)*(-4)=(-1)+0+16=15
c2,3 =1*3 +5*4+(-4)*7=3+ 20 +(-28)= -5
c3,1 =2 *(-2) +(-3)*1+1*3=(-4)+(-3)+3=-4
c3,2 =2 *(-1) +(-3)*0+1*(-4)= (-2)+0+ (-4) =-6
c3,3 =2 *3 +(-3)*4+1*7=6+(-12)+7=1

-7 -2 -6
-9 15 -5
-4 -6 1

АВ = С =


Аналогично вычисляем произведение ВА и полученную матрицу назовем матрицаD.

6667; z=-2;Тема 3-4. Векторная алгебра. Уравнение прямойПо координатам вершин треугольника ABC найти:1. уравнения сторон AB и АC;2. уравнение высоты AD;3. угол ВAC;4. периметр треугольника;5. площадь треугольника.Сделать чертеж.А(-3;4); В(-3;0); С(3;0).Сделаем чертеж с которым будем работать при выполнении данного задания.NACSAC-3304ABCРисунок 1 Треугольник ABC.Найти уравнение стороны ABИзвестны координаты точек A (-3, 4) и B (-3, 0).По чертежу видим, что прямая AB параллельна оси Y.Любая произвольная точка, принадлежащая прямой AB, имеет координату по оси X равной -3.А если точка не принадлежит прямой AB, то ее координата по оси X не равна -3, т.е. уравнение прямой AB имеет вид: x = -3Найти уравнение прямой ACУравнение прямой проходящей через точки A (xa, ya) и C (xc, yc) в общем виде:x -xay - y a xc - x ay c - y aПодставим координаты точек A (-3, 4) и C (3, 0) в уравнение прямойx - (-3) y – 4 =3 - (-3) 0 – 4x + 3 y – 4 =6 -4x + 3 y – 4 = 3 -2В знаменателях пропорции стоят числа 3 и -2.Вектор SAC = (3, -2) направляющий вектор прямой AC.(Рис. 1)Он параллелен прямой AC.-2 ( x + 3 ) = 3 ( y - 4 )- 2 x - 6 = 3 y - 12уравнение прямой AC имеет вид- 2 x - 3 y + 6 = 0Коэффициенты при переменных х и y в уравнении прямой AC равны -2 и -3. (Рис.1) Вектор NAC = (-2, -3) нормальный вектор прямой AC он перпендикулярен прямой AC.Найти уравнениевысоты ADТреугольник ABCпрямоугольный высота опущенная из углаАк стороне BC. Точка Dсовпадает с точкой Bи имеет общие с ней координаты.Очевидно, высотаAD параллельна оси Y.Если мы возьмем абсолютно произвольную точку, принадлежащую AD, то ее координата по оси X равна -3.А если точка не принадлежит прямой AD, то ее координата по оси X не равна -3, т.е. уравнение высотыAD имеет вид: x = -3Найти угол ВAC.Напишем формулу скалярного умножения для векторов AB и ACAB * AC= | AB | * | AC | * cos AДля нахождения угла BАC, нам достаточно найти косинус данного угла. Запишем выражение для косинуса угла А. AB *ACcos угла ВAС = | AB | * | AC |A (x a, y a) = (-3, 4) ; B (x b, y b) = (-3, 0) ; C (x c, y c) = (3, 0)AB = ( xb - x a, y b - y a) = ( -3 - (-3), 0 - 4 ) = ( 0, -4)AC = ( xc - x a, y c - y a) = ( 3 - (-3), 0 - 4 ) = ( 6, -4)AB * AC = 0 * 6 + (-4) * (-4) = 16Найдем длины векторов AB и AC.