тригонометрические уравнения

работа защищена на отлично в кгпи ...

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ.............................................................................................................. 3
Глава 1. Теоретические основы тригонометрических уравнений….................. 4
1.1 История развития тригонометрии ………………....……..…………. 4
1.2 Решение простейших тригонометрических уравнений…………..… 5
1.3 Особенности решения нестандартных тригонометрических уравнений………………………………………………………………………….
29
Глава 2. Методика решения тригонометрических уравнений в курсе алгебры 10 класса………………………………………………………...............................
36
2.1 Введения понятия тригонометрические уравнения в 10 классе………………………………………………………………………………
36
2.2 Решение тригонометрических уравнений на конкретных примерах…………………………………………………………………………...
38
2.3 Опытно – педагогический эксперимент……………………………… 59
ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………..…………………. 64
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ…………………..…………. 65
ПРИЛОЖЕНИЕ А................................................................................................... 67
ПРИЛОЖЕНИЕ Б.................................................................................................... 68
ПРИЛОЖЕНИЕ В.................................................................................................... 72
ПРИЛОЖЕНИЕ Г………….……………………………………………………... 73
ПРИЛОЖЕНИЕ Д.................................................................................................... 74
ПРИЛОЖЕНИЕ Е.................................................................................................... 75
ПРИЛОЖЕНИЕ Ж................................................................................................... 76
ПРИЛОЖЕНИЕ З..................................................................................................... 77




СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ.............................................................................................................. 3
Глава 1. Теоретические основы тригонометрических уравнений….................. 4
1.1 История развития тригонометрии ………………....……..…………. 4
1.2 Решение простейших тригонометрических уравнений…………..… 5
1.3 Особенности решения нестандартных тригонометрических уравнений………………………………………………………………………….
29
Глава 2. Методика решения тригонометрических уравнений в курсе алгебры 10 класса………………………………………………………...............................
36
2.1 Введения понятия тригонометрические уравнения в 10 классе………………………………………………………………………………
36
2.2 Решение тригонометрических уравнений на конкретных примерах…………………………………………………………………………...
38
2.3 Опытно – педагогический эксперимент……………………………… 59
ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………..…………………. 64
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ…………………..…………. 65
ПРИЛОЖЕНИЕ А................................................................................................... 67
ПРИЛОЖЕНИЕ Б.................................................................................................... 68
ПРИЛОЖЕНИЕ В.................................................................................................... 72
ПРИЛОЖЕНИЕ Г………….……………………………………………………... 73
ПРИЛОЖЕНИЕ Д.................................................................................................... 74
ПРИЛОЖЕНИЕ Е.................................................................................................... 75
ПРИЛОЖЕНИЕ Ж................................................................................................... 76
ПРИЛОЖЕНИЕ З..................................................................................................... 77

ВВЕДЕНИЕ

В нашей стране, школы ставят первостепенной задачей интеллектуально развивать школьников, помогать в развитии учебно-познавательной деятельности учеников. Данная задача является приоритетной в развивающей функции обучения. Математика в школе помогает воспитывать мыслящую деятельность каждого ученика.
Вообще, тригонометрия давно перестала быть самостоятельным предметом, изучаемым в школе, она начала входить в программу обучения алгебры и геометрии в основной школе, и алгебра и начала анализа, основы которой изучаются уже в 10 и 11 классе.
C давних времен именно тригонометрические уравнения занимали особое место в школьном курсе. Древние греки считали, что тригонометрия является одной из важнейших наук в математике. И нам не стоит спорить с греками и следует начать считать тригон ометрию важнейшим разделом в математической науке.
В школе детям трудно дается тема тригонометрические уравнения, поэтому следует правильно выбирать методику ее преподавания. Перед учителем должна стоять задача сформировать у учащихся умение решать уравнения каждого вида, развивая соответственно общие тригонометрические представления, это и является обоснованием актуальности и практической значимости изучаемой темы.
Целью дипломной работы является рассмотрение методики решения тригонометрических уравнений в курсе алгебры 10 класса.

Для того чтобы найти все корни, принадлежащие отрезку 3π2;3π, нужно перевести все радианные угла в градусы. Данный отрезок будет выглядеть 270°;540°. Число n нужно брать в диапазоне от -2 до 2 .При n=0:x=π2,это 90°,x=-π6,это 30°,x=7π6,это 210°.При n=1:x=π2+π=3π2,это 270°,x=-π6+2π=11π6,это 330°,x=7π6+2π=19π6,это 570°.При n=2:x=π2+2π=5π2,это 450°,x=-π6+4π=23π6,это 690°,x=7π6+4π=31π6,это 990°.Из расчетов стало видно, что отрицательные n брать не нужно. Из всех полученных корней принадлежат отрезку 3π2;3π.3π2; 11π6; 5π2.Ответ: 3π2; 11π6; 5π2.Глава 2. Методика решения тригонометрических уравнений в курсе алгебры 10 класса2.1 Введения понятия тригонометрические уравнения в 10 классеНеобходимость решать тригонометрические уравнения полностью рассматривается с учениками 10 класса, в курсе изучения«Алгебра и начала анализа». Ранее, в девятом классе учащиеся изучали формулы тригонометрии, выполняли упражнения, различные тригонометрические преобразования, доказывали тождества. Но только в 10 классе повторяется, изучается и осуществляется систематический просмотр всего вопроса тригонометрии. Для того чтобы ученики приступили к изучению вопроса о тригонометрических уравнениях, они должны вспомнить и четко знать все пройденное в курсе алгебры. Различать тождества и уравнения; теоремы, на которых основывается решение самих уравнений, а так же определение и решение следующих видов уравнений: исследование уравнений первой степени; квадратные уравнения; биквадратные уравнения; однородные уравнения; уравнения высших степеней, решения которых сводятся к решению уравнений первой и второй степени; иррациональных уравнений; логарифмических и показательных уравнений.Для того чтобы хорошо решать тригонометрические уравнения, ученики должны помнить из курса алгебры решение уравнений вида произведения в одной части, при необходимом условии что другая его часть будет равной нулю.Учащиеся должны помнить, знать и уметь использовать их при решении заданий такие формулы как: формулы приведения; основные зависимости между тригонометрическими функциями одного и того же угла; тригонометрические формулы суммы и разности углов, двойных и тройных углов; половинных углов; введение вспомогательного угла; формул понижения степени.Полностью вопрос о тригонометрических уравнениях имеет основания на всем вышеперечисленном теории алгебраических уравнений, которые изменяются и расширяются соответственно особенностям входящих в них определенных тригонометрических функция. В начале темы учащимся вводится понятие тригонометрического уравнения. Процесс самого решения тригонометрического уравнения, соответствует процессу решения алгебраического уравнения, которое заключается приведением данного уравнения в простейшего вида с помощью замены данного уравнения равносильным.Перед решением тригонометрических уравнений с учащимися необходимо повторить основное свойство тригонометрических функций , то есть их периодичность, свойство функций не изменяется ни по величине, ни по знаку, при изменении аргумента на какую либо величину. Поэтому тригонометрические функции называются периодическими. Для функции tgαи ctgαпериод функции всегда будет равен π; период остальных тригонометрических функций равен 2π.Следующим этапом будет объяснение уравнений простейшего вида: sinx=a;cosx=b; tgx=c.К этому виду приводится решение любого тригонометрического уравнения, поэтому с учащимися необходимо хорошо отработать навык безошибочного и быстрого решения таких уравнений и доводить до конца решения какого либо тригонометрического уравнения.Анализируя подготовку класса, работа должна проводиться на буквенных и числовых примерах. Например, от буквенных примеров - к числовым, или наоборот. Самое важное, что в каждом из предложенных случаев необходимо указывать ученикам, что как и простейшие, так и любые другие тригонометрические уравнения или не имеют решения вообще или могут иметь неограниченное число решений. Например, уравнение sinx=a имеет бесчисленное множество решение, если a≤1,а если a>1 то решений нет.Объяснение частных случаев недолжно вызвать, каких либо трудностей, ведь детям нужно просто их выучить. При решении тригонометрических уравнений необходимо указать три этапа: привести уравнение к виду, содержащему только одну функцию одного аргумента; принять эту функцию за неизвестное и решать соответствующее алгебраическое уравнение; когда получили корни алгебраического уравнения нужно исследовать на пригодность этих корней для этого уравнения и записать общий вид его корней.Уравнение вида произведения нескольких сомножителей, а в другой части уравнения ноль, для решения нужно отдельно исследовать каждый сомножитель, который может стать равным 0, а затем найти общий вид корней.Тригонометрические уравнения, решаемые путем преобразования тригонометрических формул, не должны вызвать никаких трудностей, так как необходимо знать и уметь применять формулы, изученные ранее, преобразовать в произведение нескольких сомножителей, а затем решать простейшие тригонометрические уравнения.При решении тригонометрических уравнений, путем понижения степени уравнения, достаточно применить формулу половинного углаcos2x2=1+cosx2,затем преобразовать уравнение с помощью тригонометрических формул, если это необходимо, применить произведение нескольких сомножителей , получить простейшие уравнения и решить их.Решая однородные тригонометрические уравнения, нужно быть внимательным, так как для начала, если в одной из частей есть цифра, то ее нужно заменить основным тригонометрическим тождеством sin2x+cos2x=1и перенести его в другую часть, при этом степень каждого слагаемого должны быть равны, затем почленно разделить на одну из функций со степенью слагаемого, но при этом функция этой степени не должна равняться нулю. Получив квадратное уравнение относительно одной функции, заменим полученную функцию переменной, найдем корни уравнения и остается решить простейшие уравнения.Еще в 10 классе проходят тему система тригонометрических уравнений. Решение таких систем должно быть освоено на решении систем алгебраических уравнений. Для того что бы решать такие тригонометрические системы уравнения нужно уметь применять формулы тригонометрии при преобразованиях, знать решение алгебраических систем уравнений и решать сами тригонометрические уравнения.2.2 Решение тригонометрических уравнений на конкретных примерахДанные уравнения взяты из учебника для 10 класса естественно – математического направления общеобразовательной школы, «Алгебра и начала анализа» А.Е. Абылкасымова, З.А. Жумагулова, К.Д. Шойынбеков, В.Е. Корчевский. Издательство: Мектеп, 2014.1) cosx=32Решение:Это простейшее уравнение вида cosx=a.Правая часть -1<32<1, по этому его решение найдем по формуле x=±arccosa+2πn, гдеn∈ZПолучимx=±arccos32+2πn, n∈Z,x=±π6+2πn, n∈Z.Ответ:x=±π6+2πn, n∈Z.2) sinx=3Решение:Так как правая часть уравнения 3>1, то уравнение не имеет решений.Ответ: решений нет.3) cosx=12 Решение:Это простейшее уравнение вида cosx=a.Правая часть -1<12<1, по этому его решение найдем по формуле x=±arccosa+2πn, гдеn∈ZПолучимx=±arccos12+2πn, n∈Z,x=±π3+2πn, n∈Z.Ответ: ±π3+2πn, n∈Z.4) sinx=22 Решение:Это простейшее уравнение вида sinx=a.Правая часть -1<-22<1, по этому его решение найдем по формуле x=(-1)narcsina+πn, гдеn∈ZПолучимx=-1narcsin-22+πn, n∈Z,x=-1n+1π4+πn, n∈Z.Ответ:x=-1n+1π4+πn, n∈Z.5) 3tgx=4 Решение:Преобразуем уравнение, получится:tgx=43,tgx=113,Известно, что решение заданного уравнения находят по обобщенной формуле:x=arctga+πn, где n∈Z.x=arctg113+πn, n∈Z.Ответ: x=arctg113+πn, n∈Z.6) 3ctgx=2 Решение:Преобразуем уравнение, получится:ctgx=23,tgx=23,Известно, что решение заданного уравнения находят по обобщенной формуле:x=arcctga+πn, где n∈Z.x=arcctg23+πn, n∈Z.Ответ: x=arctg23+πn, n∈Z.7) sin-x4=22 Решение:Так как функция синус нечетная, получится:-sinx4=22sinx4=-22Это простейшее уравнение вида sinx=-a.Правая часть -1<-22<1, по этому его решение найдем по формуле x=(-1)n+1arcsina+πn, гдеn∈ZПолучимx4=-1n+1arcsin22+πn, n∈Z,x4=-1n+1π4+πn, n∈Z,x=-1n+1π+4πn, n∈Z.Ответ: x=-1n+1π+4πn, n∈Z.8) cos-5x=-0,5Решение:Так как функция косинуса четная, получается: cos5x=-12Решение:Это простейшее уравнение вида cosx=-a.Правая часть -1<-12<1, по этому его решение найдем по формуле x=±(π-arccosa)+2πn, гдеn∈Z.Получим5x=±(π-arccos12)+2πn, n∈Z,5x=±π-π3+2πn, n∈Z,5x=±2π3+2πn, n∈Z,x=±2π15+2πn5,n∈Z.Ответ: x=±2π15+2πn5,n∈Z.9) 2cosx3-π6=-3 Решение:Преобразуем уравнение, получится:cosx3-π6=-32,Это простейшее уравнение вида cosx=-a.Правая часть -1<-32<1, по этому его решение найдем по формуле x=±(π-arccosa)+2πn, гдеn∈ZПолучимx3-π6=±π-arccos32+2πn, n∈Z,x3-π6=±π-π6+2πn, n∈Z,x3=π6±5π6+2πn, n∈Z,x=π2±5π2+6πn, n∈Z,x1=3π+6πn, n∈Z,x2=-2π+6πn, n∈Z,Ответ: x1=3π+6πn, n∈Z,x2=-2π+6πn, n∈Z.10) 1-32sinx2+π3=0Преобразуем уравнение, получится:32sinx2+π3=1,sinx2+π3=23,Это простейшее уравнение вида sinx=a.Правая часть -1<23<1, по этому его решение найдем по формуле x=(-1)narcsina+πn, гдеn∈ZПолучимx2+π3=-1narcsin23+πn, n∈Z,x2=-π3+-1narcsin23+πn, n∈Z,x=-2π3+2∙-1narcsin23+2πn, n∈Z.Ответ: x=-2π3+2∙-1narcsin23+2πn, n∈Z.11) 4tg2x-π4=1Преобразуя это уравнение, получаем:tg2x-π4=14,Известно, что решение заданного уравнения находят по обобщенной формуле:x=arctga+πn, где n∈Z.2x-π4=arctg14+πn, n∈Z,2x=π4+arctg14+πn, n∈Z,x=π8+12arctg14+π2n, n∈Z.Ответ: x=π8+12arctg14+π2n, n∈Z.12) ctgπ3-x4=512Известно, что решение заданного уравнения находят по обобщенной формуле:x=arcctga+πn, где n∈Z.π3-x4=arcctg512+πn,n∈Z,x4=π3-arcctg512-πn,n∈Z,x=4π3-4arcctg512-4πn,n∈Z,Ответ:x=4π3-4arcctg512-4πn,n∈Z.13) sin6x∙cos6x=12Решение:Преобразуем по формуле произведение синусов, получится:12sin6x-6x+sin6x+6x=12,12sin0+sin12x=12,Разделим обе части на 12, получится:sin12x=1.Это частный случай простейшего уравнение вида sinx=a.Получим12x=π2+2πn,x=π24+π6n.Ответ: x=π24+π6n.14) cosx4∙sinπ5-sinx4∙cosπ5=-22Решение:Умножим обе части уравнения на (-1) уравнение, получим:sinx4∙cosπ5-cosx4∙sinπ5=22,Преобразуем уравнение по формуле синуса разности углов, получим:sinx4-π5=22,Это простейшее уравнение вида sinx=a.Правая часть -1<22<1, по этому его решение найдем по формуле x=(-1)narcsina+πn, гдеn∈ZПолучимx4-π5=-1narcsin22+πn, n∈Z,x4=π5+-1nπ4+πn, n∈Z,x=4π5+-1nπ+4πn, n∈Z.Ответ: x=4π5+-1nπ+4πn, n∈Z.15) sinx+sin3x=0Решение:Применим формулу сумма синусов, получим:2sinx+3x2cosx-3x2=0,2sin2xcos-x=0,так как функция косинус четная, получится:2sin2xcosx=0,1. sin2x=0Это частный случай уравненияsinx=0.Получим2x=πn,n∈Z,x=πn2, n∈Z.2. cosx=0Это частный случай уравненияcosx=0.Получимx=π2+πk,k∈Z.Ответ: x=πn2, n∈Z;x=π2+πk,k∈Z.16) cos2x-cos6x=0Применим формулу разность косинусов, получим:-2sin2x+6x2sin2x-6x2=0,-2sin4x∙sin-2x=0,так как функция синус нечетная, получим:2sin4x∙sin2x=0,1. sin4x=0Это частный случай уравненияsinx=0.Получим4x=πn,n∈Zx=πn4,n∈Z.2. sin2x=0Это частный случай уравненияsinx=0.Получим2x=πk,k∈Zx=πk2,k∈Z.Ответ: x=πn4,n∈Z; x=πk2,k∈Z.17) sin-6x-sin-4x=0Решение:Так как функция синус нечетная, получается:-sin6x+sin4x=0,sin4x-sin6x=0,Используя формулу разности синусов, получим:2cos4x+6x2sin4x-6x2=0,2cos5x∙sin⁡(-x)=0,так как синус функция нечетная, получится:-2cos5x∙sinx=0,1. cos5x=0Это частный случай уравненияcosx=0.Получим5x=π2+πn, n∈Z,x=π10+π5n, n∈Z.2. sinx=0Это частный случай уравненияsinx=0.Получимx=πk, k∈Z.Ответ: x=π10+π5n, n∈Z;x=πk, k∈Z. 18) cos-5x+cos3x=0,Решение:Так как функция косинуса четная, получится:cos5x+cos3x=0,Используя формулы суммы косинусов, получится:2cos5x+3x2cos5x-3x2=0,2cos4x∙cosx=0,1. cos4x=0Это частный случай уравнения cosx=0.Получим4x=π2+πn, n∈Z,x=π8+π4n, n∈Z.2. sinx=0Это частный случай уравнения cosx=0.Получимx=π2+πk, k∈Z.Ответ:x=π8+π4n, n∈Z; x=π2+πk, k∈Z.19) 2sin2x-3sinx+1=0Решение:Заменим sinx=y, уравнение примет вид2y2-3y+1=0,это уравнение является квадратным. Находим корни уравнения:D=9-8=1,y1=3+14=1,y2=3-14=12.Так как sinx=y, то 1. sinx=1Это частный случай уравнения sinx=a.Получимx=π2+2πk, k∈Z.2. sinx=12.Это простейшее уравнение вида sinx=a.Правая часть -1<12<1, по этому его решение найдем по формуле x=(-1)narcsina+πn, гдеn∈ZПолучимx=-1nπ6+πn, n∈Z.Ответ: x=π2+2πk, k∈Z;x=-1nπ6+πn, n∈Z.19) 2cos2x+cosx-1=0Решение:Заменим cosx=y, уравнение примет вид2y2+y-1=0,это уравнение является квадратным. Находим корни уравнения:D=1+8=9,y1=-1+34=12,y2=-1-34=-1.Так как cosx=y,то 1. cosx=-1 Это частный случай простейшего уравнения видаcosx=a.Получимx=π+2πk, k∈Z, 2. cosx=12Это простейшее уравнение вида cosx=a.Правая часть -1<12<1, по этому его решение найдем по формуле x=±arccosa+2πn, гдеn∈ZПолучимx=±arccos12+2πn,n∈Z,x=±π3+πn,n∈Z.Ответ: x=π+2πk, k∈Z;x=±π3+πn,n∈Z.20) 6tg2x+tgx-1=0Заменим tgx=y, уравнение примет вид6y2+y-1=0,это уравнение является квадратным. Находим корни уравнения:D=1+24=25,y1=-1+512=13,y2=-1-512=-12.Так как tgx=y,то 1. tgx=13Известно, что решение заданного уравнения находят по обобщенной формуле:x=arctga+πn, где n∈Z. x=arctg13+πk, k∈Z.2. tgx=-12Известно, что решение заданного уравнения находят по обобщенной формуле:x=arctga+πn, где n∈Z. x=arctg-12+πn, n∈Z,x=-arctg12+πn, n∈Z.Ответ: x=arctg13+πk, k∈Z;x=-arctg12+πn, n∈Z.21) sin5x+sin2x+sin3x+sin4x=0Сгруппируем слагаемые, получится:sin5x+sin3x+(sin2x+sin4x)=0.Применим формулу суммы синусов:2sin5x+3x2cos5x-3x2+2sin2x+4x2cos2x-4x2=0,2sin4x∙cosx+2sin3x∙cos⁡(-x)=0,так как косинус функция четная, получится:2sin4x∙cosx+2sin3x∙cos⁡x=0.Вынесем общий множитель 2cos⁡x за скобку, получится:2cosx(sin4x+sin3x)=0.Произведение равно нуля тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю.1. cosx=0Это частный случай простейшего уравнения cosx=a.Получимx=π2+πn, n∈Z.2. sin4x+sin3x=0Используем формулу суммы синусов, получим:2sin4x+3x2cos4x-3x2=0,2sin7x2cosx2=0,Произведение равно нуля тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю.2.1 sin7x2=0Это частный случай простейшего уравнения sinx=a.Получим7x2=πk, k∈Z,x=2πk7, k∈Z.2.2 cosx2=0Это частный случай простейшего уравнения cosx=a.Получимx2=π2+πm, m∈Z,x=π+2πm, m∈Z.Ответ: x=π2+πn, n∈Z, x=2πk7, k∈Z, x=π+2πm, m∈Z.22) sin7x∙sin9x-sin2x∙sin4x=0Решение:Используя формулу произведения синусов, получится:12cos7x-9x-cos⁡(7x+9x)-12cos2x-4x-cos⁡(2x+4x)=0.Вынесем общий множитель 12 за скобку, получится:12cos(-2x)-cos16x-cos(-2x)+cos⁡6x=0,Умножим обе части уравнения на 2 и так как косинус функция четная, получится:cos2x-cos16x-cos2x+cos6x=0,cos6x-cos16x=0,Используя формул разности косинусов, получится:-2sin6x+16x2∙sin6x-16x2=0,-2sin11x∙sin⁡(-5x)=0,так как синус функция нечетная, получится:2sin11x∙sin⁡5x=0,1. sin11x=0Это частный случай простейшего уравнения sinx=a.Получим11x=πk, k∈Z,x=πk11, k∈Z.2. sin5x=0Это частный случай простейшего уравнения sinx=a.Получим5x=πn, n∈Z,x=πn5, n∈Z.Ответ: x=πk11, k∈Z; x=πn5, n∈Z.23) 6sin2x-4sin2x=-1Решение:Применим формулу синуса двойного угла и единицу представим как сумма квадратов синуса и косинуса, получится:6sin2x-8sinxcosx=-sin2x-cos2x,6sin2x-8sinxcosx+sin2x+cos2x=0,7sin2x-8sinxcosx+cos2x=0,Разделим обе части уравнения на sin2x≠0, получится:7sin2xsin2x-8sinxcosxsin2x+cos2xsin2x=0,ctg2x-8ctgx+7=0,Заменим ctgx=y, уравнение примет видy2-8y+7=0,это уравнение является квадратным. Находим корни уравнения:D=64-28=36,y1=8+62=7,y2=8-62=1.Так как ctgx=y, то 1. ctgx=7Известно, что решение данного уравнения находят по формуле x=arcctga+πn, где n∈Z.x=arcctg7+πn, где n∈Z.2. ctgx=1.Известно, что решение данного уравнения находят по формуле x=arcctga+πn, где n∈Z.x=arcctg1+πm, где m∈Z,x=π4+πm, где m∈Z. Ответ: x=arcctg7+πn, x=π4+πm,, где m∈Z.24) 3sin2x-π2-4sin2x+4=0Решение:Используя формулу синуса разности углов, получим:3sin2x∙cosπ2-sinπ2∙cos2x-4sin2x+4=0.Так как cosπ2=0, а sinπ2=1 получится:-3cos2x-4sin2x+4=0,Распишем по формулам синус, косинус двойного угла, получится:-3cos2x+3sin2x-8sinxcosx+4=0,4∙1=4(sin2x+cos2x)-3cos2x+3sin2x-8sinxcosx+4sin2x+4cos2x=0,cos2x-8sinxcosx+7sin2x=0.Разделим обе части уравнения на cos2x≠0, получится:cos2xcos2x-8sinxcosxcos2x+7sin2xcos2x=0.1-8tgx+7tg2x=0,7tg2x-8tgx+1=0,Заменим tgx=y, уравнение примет вид7y2-8y+1=0,это уравнение является квадратным. Находим корни уравнения:D=64-28=36,y1=8+614=1,y2=8-614=17.Так как tgx=y, то 1. tgx=1Известно, что решение данного уравнения находят по формуле x=arctga+πn, где n∈Z.x=arctg1+πn, где n∈Z,x=π4+πn, где n∈Z.2. ctgx=17.Известно, что решение данного уравнения находят по формуле x=arcctga+πn, где n∈Z.x=arcctg17+πm, где m∈Z. Ответ: x=arcctg17+πm, x=π4+πn, где n,m∈Z.25) cosπ2-5x-sinx=-2cos3xИспользуя формулу косинуса разности углов, получится:cosπ2cos5x+sinπ2sin5x-sinx+2cos3x=0,Так как cosπ2=0, а sinπ2=1 получится:sin5x-sinx+2cos3x=0,Используя формулу разности синусов, получим:2cos5x+x2sin5x-x2+2cos3x=0,2cos5x+x2sin5x-x2+2cos3x=0,2cos3x∙sin2x+2cos3x=0,Вынесем общий множитель 2cos3x за скобку, получится:2cos3xsin2x+1=0,1. cos3x=0Это частный случай простейшего уравнения cosx=a.3x=π2+πn, n∈Z,x=π6+πn3, n∈Z.2. sin2x+1=0sin2x=-1,Это частный случай простейшего уравнения sinx=a.2x=-π2+2πm, m∈Z,x=-π4+πm, m∈Z.Ответ: x=π6+πn3, n∈Z; x=-π4+πm, m∈Z.Следующие примеры из учебника Шыныбеков А.Н., Алгебра и начала анализа: Для 10 класса общеобразовательной школы. Издательство: Атамура, 2011.1) cos2x=12Решение:Это простейшее уравнение вида cosx=a.Правая часть -1<12<1, по этому его решение найдем по формуле x=±arccosa+2πn, гдеn∈ZПолучим2x=±arccos12+2πn,n∈Z,2x=±π3+πn,n∈Z,x=±π6+πn2,n∈Z.Ответ: x=±π6+πn2,n∈Z.2) sinx3=32Решение:Это простейшее уравнение вида sinx=a.Правая часть -1<32<1, по этому его решение найдем по формуле x=(-1)narcsina+πn, гдеn∈ZПолучимx3=-1narcsin32+πn, n∈Z,x3=-1nπ3+πn, n∈Z,x=-1nπ+3πn, n∈Z.Ответ: x=-1nπ+3πn, n∈Z.3) tg2x=-1Решение:Известно, что решение заданного уравнения находят по обобщенной формуле:x=arctga+πn, где n∈Z.2x=arctg-1+πn, n∈Z,Так функция тангенса нечетная, получается:2x=-π4+πn, n∈Z,x=-π8+πn2, n∈Z.Ответ: x=-π8+πn2, n∈Z.4) ctgx2=-3Решение:Известно, что решение заданного уравнения находят по обобщенной формуле:x=arcсtga+πn, где n∈Z.x2=arcсtg-3+πn, n∈Z,x2=5π6+πn, n∈Z,x=5π3+2πn, n∈Z.Ответ: x=5π3+2πn, n∈Z.5) 2sinx-π6=1Решение:Преобразуем уравнение, получится:sinx-π6=22,Это простейшее уравнение вида sinx=a.Правая часть -1<22<1, по этому его решение найдем по формуле x=(-1)narcsina+πn, гдеn∈ZПолучимx-π6=-1narcsin22+πn, n∈Z,x-π6=-1nπ4+πn, n∈Z,x=π6+-1nπ4+πn, n∈Z.Ответ: x=π6+-1nπ4+πn, n∈Z.6) 2cos2x+π3=3Преобразуем уравнение, получится:cos2x+π3=32,Решение:Это простейшее уравнение вида cosx=a.Правая часть -1<32<1, по этому его решение найдем по формуле x=±arccosa+2πn, гдеn∈ZПолучим2x+π3=±arccos32+2πn, n∈Z,2x+π3=±π6+2πn, n∈Z,2x=±π6-π3+πn, n∈Z,x=±π12-π6+πn, n∈Z.Ответ: x=±π12-π6+πn, n∈Z.7) 2sinx+3cosx=0Решение:Разделим обе части уравнения на cosx≠0,получится:2sinxcosx+3cosxcosx=0,2tgx+3=0,tgx=-32,Известно, что решение заданного уравнения находят по обобщенной формуле:x=arctga+πn, где n∈Z.x=arctg-32+πn, n∈Z.Так как функция тангенс нечетная, получается:x=-arctg32+πn, n∈Z.Ответ: x=-arctg32+πn, n∈Z.8) sinx2+cosx=1,Решение:Используя формулу косинуса двойного угла, получается:sinx2+cos2x2-sin2x2=1.Применим формулуsin2x2+cos2x2=1,sinx2+cos2x2-sin2x2=sin2x2+cos2x2,sinx2+cos2x2-sin2x2-sin2x2-cos2x2=0,sinx2-2sin2x2-=0,Вынесем общий множитель sinx2 за скобку, получится:sinx21-2sinx2=0,1. sinx2=0Это частный случай простейшего уравнения sinx=a.x2=πm, m∈Z,x=2πm, m∈Z.2. 1-2sinx2=0Преобразуем уравнение, получится:sinx2=12Это простейшее уравнение вида sinx=a.Правая часть -1<12<1, по этому его решение найдем по формуле x=(-1)narcsina+πn, гдеn∈ZПолучимx2=-1nπ6+πn, n∈Z,x=-1nπ3+2πn, n∈Z.Ответ: x=2πm, m∈Z;x=-1nπ3+2πn, n∈Z.9) 2cosx2=1+cosxРешение:Используем косинус двойного угла, получится:2cosx2=1+cos2x2-sin2x2,sin2x2+cos2x2=0,2cosx2-sin2x2-cos2x2-cos2x2+sin2x2=0,2cosx2-2cos2x2=0.Вынесем общий множитель 2cosx2за скобку, получится:2cosx21-cosx2=0,1. cosx2=0Это частный случай простейшего уравнения cosx=a.x2=π2+πn, n∈Z,x=π+2πn, n∈Z.2. 1-cosx2=0cosx2=1,Это частный случай простейшего уравнения cosx=a.x2=2πm, m∈Z,x=4πm, m∈Z.Ответ: x=π+2πn, n∈Z;x=4πm, m∈Z.