7 задач по теории вероятности и мат. статистике

7 подробно решенных задач с графиками. Оценка- отлично. ...

Задача 1. Вероятность того, что каждый из трёх кассиров занят обслуживанием покупателей, равна соответственно 0,7; 0,8 и 0,9. Найти вероятность того, что в данный момент заняты обслуживанием покупателей: а) все кассиры; б) два кассира; в) только один кассир; г) хотя бы один кассир.
Задача 2. В магазин поступил одноимённый товар двумя партиями, причём объём первой партии в три раза больше второй. Известно, что 20% первой партии и 40% второй партии составляет товар первого сорта. Какова вероятность того, что наугад выбранная единица товара не будет первого сорта?
Задача 3. Вероятность положительного результата при анализе качества молока составляет 0,85. Найти вероятность того, что из 500 анализов положительный результат получится: а) в 400; б) не более чем в 430 анализах.
Задача 4. Дискретная случайная величина представлена рядом распределения. Требуется:
1. Найти числовые характеристики M(X),D(X),σ(X)
2. Построить многоугольник распределения
3. Составить функцию распределения F(x) и построить её график
4. Вычислить вероятность попадания величины X в интервал (x_1;x_4 )
Задача 5. Случайная величина X задана функцией распределения F(x). Найти плотность распределения вероятностей, числовые характеристики случайной величины. Построить графики F(x) и f(x). Найти вероятность попадания в интервал (α,β).
Задача 6. Заданы математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение нормально распределённой случайной величины X. Найти:
1. Функцию плотности;
2. Вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее (α,β);
3. Вероятность того, что абсолютная величина отклонения Х от математического ожидания окажется меньше δ;
4. Симметричный относительно математического ожидания интервал, в который попадёт величина Х с вероятностью p.
Задача 7. Экономист, изучая зависимость уровня издержек Y (ден.ед.) от объёма товарооборота Х (ден.ед.) магазина за определённый период, получил данные по n=10 магазинам одинакового профиля. Полагая, что между признаками Y и X имеет место линейная корреляционная связь, определить выборочное уравнение регрессии y ̂=b_0 x+b_1 и выборочный коэффициент линейной корреляции r. Сделать выводы о направлении и тесноте связи между показателями Y и X

Вероятность того, что наугад выбранная единица товара не будет первого сорта вычисляется по формуле полной вероятности:PA=PA|H1·PH1+PA|H2·PH2==0,8∙0,75+0,6∙0,25=0,6+0,15=0,75Задача 3. Вероятность положительного результата при анализе качества молока составляет 0,85. Найти вероятность того, что из 500 анализов положительный результат получится: а) в 400; б) не более чем в 430 анализах.а) Согласно локальной теореме Лапласа, вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p, событие наступит ровно k раз равна:Pk=1npqφx, φx=12πe-x2/2, x=k-npnpqЗначения функции φx затабулированы.У нас: n=500; p=0,85; q=1-p=0,15;np=425; npq=63,75≈7,98436; k=400x=400-4257,98436=-3,13; φ-3,13≈0,003 Вероятность того, что из 500 анализов положительный результат получится в 400:P30≈17,98436×0,003≈0,0004б) Согласно интегральной теореме Лапласа, вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p, событие наступит не менее k1 и не более k2 раз равна:Pk1,k2=Фk2-npnpq-Фk1-npnpq, где Фx=12π0xe-x2/2dx-функция ЛапласаУ нас: k1=0; k2=430P0, 430=Ф430-4257,98436-Ф0-4257,98436≈Ф0,63+Ф53,2≈0,2357+0,5≈0,736 - вероятность того, что из 500 анализов положительный результат получится не более чем в 430 анализах.Задача 4. Дискретная случайная величина представлена рядом распределения. Требуется:1. Найти числовые характеристики MX, DX, σ(X)2. Построить многоугольник распределения3. Составить функцию распределения F(x) и построить её график4. Вычислить вероятность попадания величины X в интервал x1;x4 xi01234pi0,10,10,40,30,11. Математическое ожидание случайной величины X вычисляется по формуле:MX=ixipiMX=0·0,1+1·0,1+2·0,4+3·0,3+4·0,1=2,2Дисперсия случайной величины X вычисляется по формуле:DX=ixi2pi-M(X)2DX=0·0,1+1·0,1+4·0,4+9·0,3+16·0,1-2,22=1,16Среднее квадратическое отклонение: σX=DX≈1,0772. Многоугольник распределения: соединяем ломаной линией точки (xi, pi):xipi3. Для функции распределения случайной величины X должно выполняться: F(x)=P(X < x) для всех значений аргумента x.Поэтому:Fx=0 если x≤00,1 если 0<x≤10,1+0,1=0,2 если 1<x≤20,2+0,4=0,6 если 2<x≤30,6+0,3=0,9 если 3<x≤40,9+0,1=1 если x>4График функции распределения Fx:F(x)x4. Вероятность попадания величины X в интервал x1;x4 :P1<X<4=PX=2+PX=3=0,7Или другой способ:P1<X<4=P2≤X<4=F4-F2=0,9-0,2=0,7Задача 5. Случайная величина X задана функцией распределения F(x). Найти плотность распределения вероятностей, числовые характеристики случайной величины. Построить графики F(x) и f(x). Найти вероятность попадания в интервал α, β.Fx=0, если x≤02sinx, если 0<x≤π/61, если x>π/6 ; α=0, β=π/6Плотность распределения вероятностей является производной от функции распределения: fx=F'(x)Поэтому: fx=0 при x≤02cosx при 0<x≤π6 0 при x>π6График функции распределения F(x):xF(x)1π/60График плотности распределения f(x):f(x)23x0π/6Математическое ожидание непрерывной случайной величины X вычисляется по формуле:MX=-∞+∞xfxdxMX=0π/6x∙2cosxdx=20π/6xd(sinx)=2xsinxπ/60-20π/6sinxdx==π6+2cosxπ/60=π6+23/2-1=π6+3-2Дисперсия:DX=-∞+∞x2fxdx-(MX)20π/6x2∙2cosxdx=20π/6x2d(sinx)=2x2sinxπ/60-20π/62xsinxdx==π218+40π6xd(cosx)=π218+4xcosxπ60-40π6cosxdx==π218+π33-4sinxπ/60=π218+π33-2DX=π218+π33-2-π6+3-22=π236+2π3+43-9Среднее квадратическое отклонение:σX=DX=π236+2π3+43-9Вероятность попадания в интервал 0, π/6:P0<X<π6=Fπ6-F0=2sinπ6-0=1Задача 6. Заданы математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение нормально распределённой случайной величины X. Найти:1. Функцию плотности;2. Вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее α, β;3. Вероятность того, что абсолютная величина отклонения Х от математического ожидания окажется меньше δ;4. Симметричный относительно математического ожидания интервал, в который попадёт величина Х с вероятностью p.