Теория вероятности и математическая статистика

Домашняя контрольная работа по теории вероятности и математической статистике.
Вариант 1.
8 тем, по 2 задачи из каждой темы (1 и 11). ...

Комбинаторика
Элементы теории вероятностей
Формулы полной вероятности и Байеса
Дискретные случайные величины
Непрерывные случайные величины
Вариационные ряды и их характеристики
Выборочный метод и статистическое оценивание
Проверка статистических гипотез

1. Для разгрузки поступивших товаров менеджеру требуется выделить 4 из 15 имеющихся рабочих. Сколькими способами можно это сделать, осуществляя отбор в случайном порядке?
11. В Российской Федерации номерной знак автомобиля каждого региона состоит из трех букв и трех цифр. Чему равно общее количество возможных номерных знаков региона, если для его составления используется 12 букв русского алфавита и 10 цифр. Рассмотрите два случая, когда: а) цифры и буквы в номере не повторяются; б) повторяются.
1. Из колоды в 36 карт наудачу одна за другой извлекают две карты. Найти вероятность того, что ими окажутся: а) две дамы; б) туз и дама; в) две карты трефовой масти?
11. Вероятность того, что потребитель увидит рекламу определенного продукта по любому из трех центральных телевизионных каналов, равн а 0,15. Предполагается, что эти события независимы в совокупности. Чему равна вероятность того, что потребитель увидит рекламу: а) по всем трем каналам; б) хотя бы по одному из этих каналов; в) только по одному каналу?
1. Руководство компании выяснило, что в среднем 85% сотрудников, отправленных на стажировку по применению новых информационных технологий, успешно завершаю курс обучения. В дальнейшем из них 60% активно применяют в работе полученные знания. Среди тех сотрудников, которые не смогли успешно завершить обучение, новые информационные технологии успешно применяют лишь 10%. Если случайно выбранный сотрудник компании активно применяет новые информационные технологии, то какова вероятность того, что он успешно прошел стажировку?
11. При слиянии акционерного капитала двух фирм аналитики фирмы, получающей контрольный пакет акций, полагают, что сделка принесет успех с вероятностью равной 0,65, если председатель совета директоров поглощаемой фирмы выйдет в отставку; если он откажется, то вероятность успеха равна 0,3. Предполагается, что вероятность ухода в отставку председателя составляет 0,7. Чему равна вероятность успеха сделки?
1. Нефтеразведовательная компания получила финансирование для проведения 7 нефтеразработок. Вероятность успешной нефтеразведки 0,2. Предположим, что нефтеразведки осуществляют независимые друг от друга разведывательные партии.
а) составьте ряд распределения числа успешных нефтеразведок и построите его график;
б) найдите числовые характеристики этого распределения;
в) запишите в общем виде функцию распределения вероятностей и постройте её график;
г) чему равна вероятность того, что как минимум три нефтеразведки принесут успех?
11. В мастерскую по ремонту бытовой техники поступили 8 холодильников, из которых 3 подлежали гарантийному обслуживанию. Бригада специалистов, работающая в первую смену, получила наряд на ремонт 4 холодильников:
а) составьте ряд распределения числа холодильников, отремонтированных по гарантии в первую смену, если холодильники для ремонта отбирались случайным образом, и построите его график;
б) найдите числовые характеристики этого распределения;
в) запишите функцию распределения вероятностей и постройте её график;
г) определите вероятность того, что по гарантии было отремонтировано не более двух холодильников.
1. Компьютерная система содержит 50 одинаковых микрочипов. Вероятность того, что любой микрочип будет работать в заданное время, равна 0,9. Для выполнения некоторой операции требуется, чтобы, по крайней мере, 30 микрочипов были в рабочем состоянии.
а) чему равна вероятность того, что операция будет выполнена успешно?
б) чему равна вероятность того, что будут работать 47 микрочипов?
11. Дневная добыча угля в некоторой шахте распределена по нормальному закону с математическим ожиданием 870 тонн и стандартным отклонением 90 тонн.
а) найдите вероятность того, что в определенный день будут добыты по крайней мере 900 тонн угля
б) определите долю рабочих дней, в которые будут добыто от 860 до 940 тонн угля
в) найдите вероятность того, что в данный день добыча угля окажется ниже 750 тонн.
1. В течение месяца страховой компанией было выплачено 6 страховых возмещений по договорам имущественного страхования. Размер выплат составил (тыс.руб): 128,256,347,141,95,107. Определите средний размер выплат. Охарактеризуйте колеблемость размеров страховых возмещений с помощью различных показателей вариации. Сделайте выводы.
11. Для выяснения возрастных особенностей кадрового состава сотрудников фирмы было произведено обследование, в результате которого получены следующие данные:
Возраст(лет) 20-25 25-30 30-35 35-40 40-45 45-50 старше 50
Мужчины 20 25 30 20 28 15 12

Определить средний возраст сотрудника фирмы, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации. Построить гистограмму распределения числа сотрудников по интервалам возраста. Сделать анализ полученных результатов.
1. Результаты 10-ти дневного наблюдения в молочном отделе супермаркета показали, что в среднем в день реализуется 144 пачки творога с исправленным средним квадратическим отклонением в 23 пачки. Оцените потребность супермаркета в закупке творога, построив 99% доверительный интервал.
11. Выборочные обследования, проведенные в сети строительных магазинов города, показали, что 45% горожан планируют ремонт квартиры или дома в течение следующих трех лет. Каким должен быть объем выборки, чтобы можно было получить оценку генеральной доли с точностью не менее 0,05 при доверительной вероятности 0,95, если в городе проживает 500000 человек?
1. Компания, производящая средства для потери веса, утверждает, что прием таблеток в сочетании со специальной диетой позволяет сбросить в среднем в неделю 800 граммов веса. Случайным образом отобраны 25 человек, использующих эту терапию, и обнаружено, что в среднем еженедельная потеря в весе составила 830 граммов со средним квадратическим отклонением 250 граммов. Ответьте, правда ли, что потеря в весе составляет 800 граммов? Уровень значимости α=0,05.
11. Владелец фирмы считает, что добиться более высоких финансовых результатов ему помешала неравномерность поставок комплектующих по месяцам года, несмотря на то, что поставщик в полном объеме выполнил свои обязательства на год. Поставщик утверждает, что поставки были не так уж неравномерны. Распределение поставок по месяцам года имеет следующий вид:
Месяцы 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Объем поставок 19 23 26 18 20 20 20 20 32 27 35 40

На уровне значимости α=0,05 определите, кто прав: владелец фирмы или поставщик? Изменится ли ответ на поставленный вопрос, если уровень значимости принять равным 0,01? Объясните результаты.

е. того, что нефтеразработка не увенчается успехом, тоже постоянна и равна q=1-p=1-0,2=0,8. Все 7 испытаний независимы.Очевидно, что случайная величина X подчиняется биномиальному закону распределения вероятностей с параметрами n=7;p=0,2а) Чтобы построить ряд распределения, необходимо вычислить вероятности того, что случайная величина примет каждое из своих возможных значений и записать полученные результаты в таблицу.Расчет искомых вероятностей осуществляется по формуле БернуллиPX=m=Cnmpmqn-m=n!m!(n-m)!pmqn-mПодставим в эту формулу данные задачи:PX=0=7!0!(7-0)!0,200,87-0=1*1*0,209715=0,209715PX=1=7!1!7-1!0,210,87-1=7*0,2*0,262144=0,367002PX=2=7!2!(7-2)!0,220,87-2=21*0,04*0,32768=0,275251PX=3=7!3!(7-3)!0,230,87-3=35*0,008*0,4096=0,114688PX=4=7!4!(7-4)!0,240,87-4=35*0,0016*0,512=0,028672PX=5=7!5!(7-5)!0,250,87-5=21*0,00032*0,64=0,004301PX=6=7!6!7-6!0,260,87-6=7*0,000064*0,8=0,000358PX=7=7!7!(7-7)!0,270,87-7=1*0,000013*1=0,000013Получим ряд распределения числа ошибочных документов в выборке:X01234567P0,2097150,3670020,2752510,1146880,0286720,0043010,0003580,000013Полигон распределения:б) найдем числовые характеристики распределения данной случайной величины: математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонениеТак как случайная величина распределена по биномиальному закону, воспользуемся формулами:MX=np=7*0,2=1,4DX=npq=7*0,2*0,8=1,12σX=D(X)=1,12=1,0583в) Дискретную величину можно задать функцией распределения:FX=PX<x=ixi<xPX=xFXi=PX1+PX2+…+PXi-2+PXi-1Рассчитаем значения F(x):Fx=0, x≤00,209715, 0<x≤10,576717, 1<x≤20,851968, 2<x≤30,966656, 3<x≤40,995328, 4<x≤50,999629, 5<x≤60,999987, 6<x≤71, x>7г) определим вероятность того, что как минимум две разработки принесут успех. «как минимум две»- «или две, или три, или четыре, или пять, или шесть, или семь»Используем теорему сложения вероятностей несовместных событий:PX≥2=PX=2+PX=3+PX=4+PX=5+PX=6+PX=7=0,275251+0,114688+0,028672+0,004301+0,000358+0,000013=0,42328311. В мастерскую по ремонту бытовой техники поступили 8 холодильников, из которых 3 подлежали гарантийному обслуживанию. Бригада специалистов, работающая в первую смену, получила наряд на ремонт 4 холодильников:а) составьте ряд распределения числа холодильников, отремонтированных по гарантии в первую смену, если холодильники для ремонта отбирались случайным образом, и построите его график;б) найдите числовые характеристики этого распределения;в) запишите функцию распределения вероятностей и постройте её график;г) определите вероятность того, что по гарантии было отремонтировано не более двух холодильников.Решение:а) Составим ряд распределения случайной величины X – холодильники, отремонтированные по гарантии. Возможные значения этой случайной величины: 0, 1, 2, 3.Для этого воспользуемся формулой классической вероятности:P=mn, где m – число благоприятных исходов, n – число всех исходов.В данной задаче:n=C84=8!4!8-4!=4!*5*6*7*81*2*3*4*4!=70X=0: m=C30*C54=3!0!3-0!*5!4!5-4!=4!*54!=5PX=0=570=0,0714X=1: m=C31*C53=3!1!3-1!*5!3!5-3!=2!*32!*3!*4*51*2*3!=3*10=30PX=1=3070=0,4286X=2: m=C32*C52=3!2!3-2!*5!2!5-2!=2!*32!*3!*4*52*3!=3*10=30PX=2=3070=0,4286X=3: m=C33*C51=3!3!3-3!*5!1!5-1!=4!*54!=5PX=2=570=0,0714Получим ряд распределения числа холодильников, отремонтированных по гарантии:X0123P0,07140,42860,42860,0714Полигон распределения:б) Найдем числовые характеристики полученного распределения.Математическое ожидание числа холодильников, отремонтированных по гарантии, найдем с помощью формулы:MX=xipi=0*0,0714+1*0,4286+2*0,4286+3*0,0714=0+0,4286+0,8572+0,2142=1,5Дисперсию найдем, используя формулу:DX=xi2pi-MX2=02*0,0714+12*0,4286+22*0,4286+32*0,0714-1,52=0+0,4286+1,7144+0,6426-2,25=0,5356Рассчитаем среднее квадратическое отклонение по формуле:σX=D(X)=0,5356=0,7318в) Дискретную величину можно задать функцией распределения:FX=PX<x=ixi<xPX=xFXi=PX1+PX2+…+PXi-2+PXi-1Рассчитаем значения F(x):Fx=0, x≤0 0,0714, 0<x≤10,5, 1<x≤20,9286, 2<x≤31, x>5 Функция распределения:г) определим вероятность того, что по гарантии отремонтировано не более двух холодильников. «не более двух»- «или ноль, или один, или два»Используем теорему сложения вероятностей несовместных событий:PX≤2=PX=0+PX=1+PX=2=0,0714+0,4286+0,4286=0,9286Непрерывные случайные величины1. Компьютерная система содержит 50 одинаковых микрочипов. Вероятность того, что любой микрочип будет работать в заданное время, равна 0,9. Для выполнения некоторой операции требуется, чтобы, по крайней мере, 30 микрочипов были в рабочем состоянии.а) чему равна вероятность того, что операция будет выполнена успешно?б) чему равна вероятность того, что будут работать 47 микрочипов?Решение:Случайная величина X – число работающих микрочипов распределена по биномиальному закону с параметрами n=50, p=0,9Можем найти среднее и дисперсиюa=np=50*0,9=45σ=npq=50*0,9*0,1=2,12а) Найдем вероятность того, что хотя бы 30 микрочипов будут в рабочем состоянииPm1<m<m2=Φ0m2-npnpq-Φ0m1-npnpqP30<X<50=Φ050-452,12-Φ030-452,12=Φ02,36-Φ0-7,08Φ02,36=0,49086Φ0-7,08=-Φ07,08=-0,5P30<X<50=0,49086+0,5=0,99086б) Найдем вероятность того, что будут работать 47 микрочиповВоспользуемся локальной теоремой Лапласаn=50, m=47, p=0,9σ=2,12x=m-npσ=47-50*0,92,12=22,12=0,94Определяем значение:φ0,94=0,2565P=φ(0,94)σ=0,25652,12=0,12111. Дневная добыча угля в некоторой шахте распределена по нормальному закону с математическим ожиданием 870 тонн и стандартным отклонением 90 тонн.а) найдите вероятность того, что в определенный день будут добыты по крайней мере 900 тонн угляб) определите долю рабочих дней, в которые будут добыто от 860 до 940 тонн угляв) найдите вероятность того, что в данный день добыча угля окажется ниже 750 тонн.Решение:а) Формула расчет вероятности попадания в заданный интервал нормально распределенной случайной величины X имеет вид:Pα<X<β=Φ0β-aσ-Φ0α-aσгде Φ0(z) – функция ЛаплассаНайдем вероятность, что в определенный день будут добыты по крайней мере 900 тонн угля, т.е. больше либо равно.P900<X<+∞=Φ0+∞-87090-Φ0900-87090=Φ0+∞-Φ00,33Φ0+∞=0,5Φ00,33=0,1293P900<X<+∞=0,5-0,1293=0,3707б) определим долю рабочих дней, в которые будут добыто от 860 до 940 тонн угляP860<X<940=Φ0940-87090-Φ0860-87090=Φ00,78-Φ0-0,11Φ00,78=0,2823Φ0-0,11=-Φ00,11=-0,0438P860<X<940=0,2823+0,0438=0,3261в) найдем вероятность того, что в данный день добыча угля окажется ниже 750 тоннP-∞<X<750=Φ0750-87090-Φ0-∞-87090=Φ0-1,33-Φ0-∞Φ0-1,33=-Φ01,33=-0,40824Φ0-∞=-Φ0+∞=-0,5P-∞<X<750=-0,40824+0,5=0,09176Вариационные ряды и их характеристики1. В течение месяца страховой компанией было выплачено 6 страховых возмещений по договорам имущественного страхования. Размер выплат составил (тыс.руб): 128, 256, 347, 141, 95, 107. Определите средний размер выплат. Охарактеризуйте колеблемость размеров страховых возмещений с помощью различных показателей вариации. Сделайте выводы.Решение:Рассчитаем статистические показатели:Для расчета среднедневного объема отправлений используем формулу:X=1ni=16xi=16128+256+347+141+95+107=16*1074=179Для расчета среднего квадратического отклонения используем формулу:DX=16i=18xi2-x2=161282+2562+3472+1412+952+1072-1792=1616384+65536+120409+19881+9025+11449-32041=16*242684-32041=40447-32041=8406σX=D(X)=8406=91,686Для расчета коэффициента вариации используем формулу:VX=σXX=91,686179*100%=51,22%По полученным данным можно сделать вывод, что выборка не является однородной, так как коэффициент вариации превышает 33%11. Для выяснения возрастных особенностей кадрового состава сотрудников фирмы было произведено обследование, в результате которого получены следующие данные:Возраст(лет)20-2525-3030-3535-4040-4545-50старше 50Мужчины20253020281512Определить средний возраст сотрудника фирмы, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации. Построить гистограмму распределения числа сотрудников по интервалам возраста. Сделать анализ полученных результатов.Решение:Данные о возрастном составе кадров представлены в виде интервального вариационного ряда с равными интервалами. При этом последний интервал открытый.Условно закроем границу открытого интервалаИнтервальная разность предпоследнего интервала равна: 50-45=5. Следовательно, верхняя граница последнего интервала составит: 50+5=55.