Динамические модели. Модели с распределёнными лагами.

Работа защищена в июне 2016 года в ТюмГНГУ(ТИУ) на отлично. Наполнена расчётами и графиками. ...

Содержание
Введение……………………………………………………………………………...3
1. Динамические эконометрические модели………………………………………4
1.1 Модели с распределенным лагом………………………………………………5
1.2 Основные случаи структуры лага………………………………………………7
2. Метод лагов Алмон…………………………………………………………….....8
3. Метод Койка……………………………………………………………………..10
4. Оценка параметров авторегрессии……………………………………………..12
5. Модели адаптивных ожиданий…………………………………………………14
6. Практическое применение динамических эконометрических моделей……..16
Заключение………………………………………………………………………….24
Список использованных источников……………………………………………...25

Введение
В эконометрическом анализе исследуются воздействия ряда экономических факторов на результативную переменную, осуществляющих как мгновенно, так и с некоторым запаздыванием.
В качестве причин запаздывания рассматриваются следующие:
‒ Психологические факторы, выражающиеся в инертности поведения людей;
‒ Технологические факторы;
‒ Институциональные факторы;
‒ Механизмы формирования экономических показателей.
Эконометрическую модель называют динамической, если эта модель отражает динамику последующих переменных в каждый момент времени, т.е. если в данный момент времени t она учитывает значения входящих в нее переменных, относящихся как к текущему, так и к предыдущим моментам времени.
Динамические модели используются при изучении зависимостей между показателями, для анализа развития во времени которых, в качестве объясняющих переменных используются как текущие значения переменных, так и предыдущие во времени, а также само время t.

Все это приводит к тому, что получаются неустойчивые и неэффективные оценки параметров, поэтому в большинстве случаев предположение о структуре лага основано на рассуждениях экономического характера и проведенных ранее экономических исследованиях.2. Метод лагов АлмонЛаги Алмон – лаги, которые имеют структуру, описываемую с помощью полиномов различных порядков (степень полинома R меньше максимальной величины лага e)В этом случае зависимость bi от величины лага в форме полинома R можно записать: bi = c0 + c1*i + c2*i2+…+cR*iR (5)Тогда коэффициенты модели (1) bi можно записать :39782757048500 b0 = c0 b1 = c0+c1+c2+…+cR255270018605500b2 = c0+2c1+4c2+…+2RcR …………………… be = c0+e*c1+e2*c2+…+eR*cR (6) Подставим (6) в (1)yt = a + с0 * xt + (c0+c1+c2+…+cR) * xt-1 + (c0+2c1+4c2+…+2RcR)+ be * xt-2+…+ (c0+e*c1+e2*c2+…+eR*cR) *xt-e + Etyt = a + с0 (xt+xt-1+…+xt-e)+c1(xt-1+xt-2+…+xt-e)+c2(xt-1+2xt-2+…+2xt-e)+…+c2(xt-1+2xt-2+…+e*xt-e)+Etzi – коэффициенты при c1 ; z0 = i=0ext-i ; z1 = i=0ei*xt-i ; zR = i=0eiR*xt-iТаким образом, модель примет вид: yt = a+c0*z0+c1*z1+…+cR*zR+ER (7)Алгоритмы применения метода Алмон:Определение максимальной величины лага еОпределение степени полинома R, описывающий структуру лага (R<е)По соотношениям рассчитать значения z0, z1,….,zR.Определение параметров уровня линейной регрессии (7) с помощью обычного МНК. (необходима проверка zi на мультиколлинеарность)С помощью соотношения (6) рассчитываем параметры модели.Для определения максимальной величины лага е можно использовать:Измерение тесноты связи между результатом и лаговыми значениями;Построение нескольких уровней регрессии при разных е и выбор лучшего;Априорную информацию о величине лага.Для определения степени полинома R можно использовать следующие рекомендации:Полином n-ой степени должен быть на единицу больше числа экстремумов в структура лага, если эмпирических данных о структуре лага нет, то степень полинома R определяется по наилучшей модели сравнительной оценкой уровней, построенных для различных значений n. На практике обычно ограничиваются полиномами 2-3-го порядков.3. Метод КойкаДопустим для описания некоторого процесса используется модель с бесконечным лагом: yt=a+b0xt+ b1xt-1+ b2xt-2+…+εt (8)Параметры данной модели обычным МНК или с помощью иных стандартных математических методов определить нельзя поскольку модель включает бесконечное число факторных переменных. Поэтому нужны допущения относительно структуры модели.Рассмотрим случай, когда воздействие лаговых переменных уменьшается с увеличением лага в геометрической прогрессии.Пусть лаговые воздействия описываются соотношением: bi= b0λi , 0,1,2… (9) 1) λ> 0 обеспечивает оптимальные знаки для всех коэффициентов bi>02) λ<1 означает, что с увеличением лага значения параметров bi модели убывают в геометрической прогрессии. Чем ближе λ к 0 тем выше темп снижения воздействия.Подставим (9) в (8): yt=a+b0xt+ b1λxt-1+ b2λ2xt-2+…+εt (10)Рассмотрим для периода (t-1) и умножим полученное выражение на λ слева и справа: λyt-1=aλ+b0λxt-1+ b0λ2xt-2+ b0λ3xt-3+…+λεt (11)Вычтем из выражения (3) выражение (4), и получим:yt=a+b0xt-aλ+εt-λεt+λyt-1, εt-λεt=Ut , a1-λ+b0xt+λyt-1+Ut (12)Полученная модель является двух факторной моделью регрессии (авторегрессии). Определив её параметры a,b0, λ , затем можно рассчитать параметры исходной модели (8).Применение обычного МНК к оценке параметров модели (12) приведет к получению смещенных и несостоятельных оценок. Поэтому вместо МНК может быть применены инструментальные переменные или ММП.Геометрическая структура лага позволяет определить величину среднего и медианного лага в модели Койка.Средний лаг:e=i=0∞(ibi)i=0∞bi=0*b0+1*b1+2*b2+…b0+b1+b2+…=b0λ+2b0λ2+3b0λ3+…b0+b0λ+b0λ2+b0λ3+…=b0λ(1+2λ+3λ2+…)b0(1+λ+λ2+λ3+…)=λ(1-λ)(1-λ)2=λ(1-λ)Величина (1-λ) интерпретируется как скорость, с которой происходит адаптация результата во времени к изменению факторных признаков.Медианный лаг:lмед=ln⁡(0.5)ln⁡(λ)4. Оценка параметров авторегрессииВ общем виде модель авторегрессии (13) выглядит следующим образом: yt=a+b0xt+cyt-1+εt (13)bp=cb0 – промежуточный мультипликатор, который определяет общее абсолютное изменение результата у в момент времени (t+1)bd=b01+c+c2+c3+…=b011-c это долгосрочный мультипликатор.Если с<1- рынок стабильный.Одним из возможных методов оценивания параметров модели (13) является метод инструментальных переменных.Суть метода состоит в том, что вместо лаговой зависимой переменной yt-1, для которой нарушаются предпосылки МНК об отсутствии автокорреляции и гомоскедастичности остатков используется другая переменная, называемая инструментальной.Инструментальная переменная должна обладать следующими свойствами:1) Должна быть тесно коррелированна с лаговой переменной yt-12) Не должна коррелировать с остатками εtТогда от модели (13) перейдем к модели (14): yt=a+bxt+cZt+εt (14)В качестве Zt берутyt-1=A+Bxt-1 (обычная регрессия)Далее применяют МНК к (13): yt=a+b0xt+cA+Bxt-1+εt=а+сА+b0xt+сBxt-1+εt (15)Таким образом, используют в качестве инструментальной переменной оценки yt-1, исходя из регрессии xt-1. Модель авторегресии (13) заменяется на модель с распределенным лагом (15).Замечание:Метод инструментальных переменных часто приводит к появлению мультиколлиниарности факторов в модели. Эту проблему в определенных случаях разрешают путем включения в модель с инструментальными переменными фактора времени.Критерий Дарбина-Уотсона для модели авторегресии не применим, так как она содержит в качестве объясняющих переменных лаговые значения зависимой переменной.В этом случае критерий Дарбина-Уотсона может принимать значение близкое к 2, как при наличии, так и при отсутствии автокорреляции остатков.В этом случае Дарбин предложил применять h – статистику Дарбина, которая рассчитывается как: h=ρn1-nV ρ=(ct-ct-1)ct2 (16)ρ – коэффициент автокорреляции в остатках первого порядкаn – число наблюдений в моделиV – выборочная дисперсия коэффициента при лаговой зависимой переменной yt-1Если: h≥1.96 – гипотеза об отсутствии автокорреляции отвергается.Если: h<1.96 – гипотеза об отсутствии автокорреляции не отвергается.Замечание:Автокорреляция в остатках по авторегрессионным моделям может быть устранена с помощью авторегрессионных преобразований, например, с помощью моделей ARMA и ARIMA.5. Модели адаптивных ожиданийМодели адаптивных ожиданий – это такие модели, в которых учитывается ожидаемое значение факторного признака в момент времени (t+1), т.е. xt+1*.Такая модель в основном характерна для макроэкономических процессов, когда на инвестиции, сбережения и спрос на активы оказывает влияние ожидания относительного будущего.Рассмотрим долгосрочную функцию модели адаптивных ожиданий: yt=a+bxt+1*+εt (17)yt - фактическое значение результативного признака.xt+1* - ожидаемое значение факторного признака.Механизм формирования ожиданий в этой модели:Каждый следующий период ожидания корректируется на некоторую долю α (разность между фактическим значением независимой переменной и её ожидаемым значением): xt+1*-xt*= α (xt-xt*) 0≤ α≤1 α-коэффициент ожидания. (18) xt+1*=xt*+α xt-αxt*=α xt+(1-α)xt* (19)Чем ближе α к единице, тем быстрее ожидаемое значение xt+1* адаптируется к предыдущим реальным значениям.Чем ближе α к нулю, тем менее ожидаемое значение xt+1* отличается от ожидаемого предыдущего периода xt*.Подставим в (17) выражение (19): yt=a+bα xt+1-αxt*+εt=a+bα xt+b1-αxt*+εt (20)Запишем (17) для периода (t-1) и умножим полученное выражение на 1-α: 1-αyt-1=a1-α+1-αbxt*+1-αεt (21)Вычтем из выражения (20) выражение (21): yt-1-αyt-1=a+bα xt+b1-αxt*+εt-a1-α-1-αbxt*-1-αεt yt=aα+bα xt+1-αyt-1+ Ut , Ut=εt-1-αεt (22)(22) – краткосрочная функция модели адаптивных ожиданий. В отличии от модели долгосрочных ожиданий (17) не содержит ожидаемые значения факторной переменной xt+1*, которые не возможно получить эмпирическим путем.Для оценки параметров модели (17), сначала оцениваем параметры модели (22), а затем находим параметры модели (17).6. Практическое применение динамических эконометрических моделейДля исходных данных таблицы 1 по значениям ВВП и экспорта выполнить:Графическое отображение и коинтеграцию временных рядов;Построение и оценку модели авторегрессии;Построение модели с распределенным лагом для l=4 в предположении, что структура лага описывается полиномом второй степени;Построение модели с распределенным лагом методом Койка;Определение серединного и медианного лага для каждой модели;Оценку полученных результатов.Таблица 1 Валовый внутренний продукт, 1968-2015 гг.