Методы оптимальных решений контрольная работа СЗТУ

В рамках контрольной работы выполнено 2 задания:
Задание 1. Графическое решение задачи распределения ресурсов.
Задание 2. Двойственная задача.
Вариант 8.
...

подробное решение задач + графики и таблицы

Фирма выпускает два вида изделий A и B. Каждое изделие проходит обработку на двух технологических линиях. Известна таблица технологических коэффициентов tij – времени обработки (в минутах) каждого изделия на каждой технологической линии. (табл. 1). Кроме этого, известны рыночная цена каждого изделия c1 и c2 и общее время работы каждой линии T1 и T2.

Время работы I линии полностью используется в производстве.Для производства не хватает 1320 минут работы II линии.Это базисное решение не является допустимым.Пусть x1, s2 – свободные переменные.Подставляя значения x1 = 0, s2 = 0 в систему, получим:60*0 + 21*x2 + s1 = 126038*0 + 60*x2 + 0 = 2280x2 = 2280/60 = 38s1 = 1260 – 21*38 = 462Следовательно, базисное решение имеет вид:x1 = 0, x2 = 38, s1 = 462, s2 = 0Это базисное решение означает, что первый продукт не производится, второго продукта производится 38 единиц.Время работы I линии не полностью используется в производстве и его остаток составляет 462 минуты.Время работы II линии полностью используется в производстве.Это базисное решение является допустимым. Выручка от реализации этого плана составит:Z = 20*0 + 15*38 = 570Пусть x2, s1 – свободные переменные.Подставляя значения x2 = 0, s1 = 0 в систему, получим:60*x1 + 21*0 + 0 = 126038*x1 + 60*0 + s2 = 2280x1 = 1260/60 = 21s2 = 2280 – 38*21 = 1482Следовательно, базисное решение имеет вид:x1 = 21, x2 = 0, s1 = 0, s2 = 1482Это базисное решение означает, что первого продукта производится 21 единица, второй продукт не производится.Время работы I линии полностью используется в производстве.Время работы II линии не полностью используется в производстве и его остаток составляет 462 минуты.Это базисное решение является допустимым.Выручка от реализации этого плана составит:Z = 20*21 + 15*0 = 420Пусть x2, s2 – свободные переменные.Подставляя значения x2 = 0, s2 = 0 в систему, получим:60*x1 + 21*0 + s1 = 126038*x1 + 60*0 + 0 = 2280x1 = 2280/38 = 60s1 = 1260 – 60*60 = -2340Следовательно, базисное решение имеет вид:x1 = 60, x2 = 0, s1 = -2340, s2 = 0Это базисное решение означает, что первого продукта производится 60 единиц, второй продукт не производится.Для производства не хватает 2340 минут работы I линии.Время работы II линии полностью используется в производстве.Это базисное решение не является допустимым.Пусть x1, x2 – свободные переменные.Подставляя значения s1 = 0, s2 = 0 в систему, получим:60*x1 + 21*x2 + 0 = 126038*x1 + 60*x2 + 0 = 2280Выразим x1 через x2:x1 = (1260 – 21x2)/60Подставим полученное выражение во второе уравнение и решим его:38*((1260 – 21x2)/60) + 60x2 = 228038*(21 – 21/60x2) + 60x2 = 2280798 – 798/60x2 + 60x2 = 228060x2 – 13.3x2 = 2280 – 79846.7x2 = 1482x2 = 31.73Найдем x1x1 = (1260 – 21 *31.73)/60 = 593.67/60 = 9.89Следовательно, базисное решение имеет вид:x1 = 9.89, x2 = 31.73, s1 = 0, s2 = 0Это базисное решение означает, что первого продукта производится 9,89 единиц, второго продукта производится 31,73 единиц.Время работы обеих линий полностью используется в производстве.Это базисное решение является допустимым.Выручка от реализации этого плана составляет:Z = 20*9,89 + 15*31,73 = 197,8 + 475,95 = 673,75Для нахождения оптимального решения все допустимые решения сводим в таблицу (Табл. 2).Таблица 2№Базисные переменныеНебазисные переменныеZ1s1 = 1260s2 = 2280x1 = 0x2 = 002x2 = 38s1 = 462x1 = 0s2 = 05703x1 = 21s2 = 1482x2 = 0s1 = 04204x1 = 9.89x2 = 31.73s1 = 0s2 = 0673.75Максимальное значение выручки достигается при четвертом базисном решении этой задачи.Решение:X* = {x1 = 9.89, x2 = 31.73, s1 = 0, s2 = 0}Найти оптимальное базисное решение графически.Построим множество допустимых решений.Проведем прямые на основе имеющихся ограничений.Первое ограничение:60x1 + 21x2 = 1260Положим x1 = 0, тогда:21x2 = 1260x2 = 60Мы получили первую точку для первой прямой:X1 = 0, x2 = 60Положим x2 = 0, тогда:60x1 = 1260x1 = 21Мы получили вторую точку для первой прямой:X1 = 21, x2 = 0Второе ограничение:38x1 + 60x2 = 2280Положим x1 = 0, тогда:60x2 = 2280x2 = 38Мы получили первую точку для второй прямой:X1 = 0, x2 = 38Положим x2 = 0, тогда:38x1 = 2280x1 = 60Мы получили вторую точку для второй прямой:x1 = 60, x2 = 0Построим прямые:Для нахождения оптимального решения проведем линию уровня.Z = 20 x1 + 15x2 = 0Первая точка:x1 = 0, x2 = 0Вторая точка:Произвольно выбираем x1Возьмем x1 = 15, тогда20 * 15 + 15x2 = 015x2 = - (20 * 15)x2 = -20Чтобы найти оптимальный план выпуска продукции нужно переместить линию уровня вверх параллельно самой себе до пересечения с границей допустимой области:Координаты точки М определяют оптимальный план выпуска продукции:x1 ≈ 31.73, x2 ≈ 9.