Контрольная 1 "Эконометрика" ТОГУ Вариант 4

Контрольная состоит из 4 задач с подробным решением. (Задачи №4, 14, 24,34). Дата сдачи - 17.05.2016. Оценка зачтено. ...

Задача № 4
Имеются данные за 12 месяцев года по району города о рынке вторичного жилья (у – стоимость квартиры (тыс.у.е.), х- размер общей площади (м2)).
Мес. у х
1 22,5 29,0
2 25,8 36,2
3 20,8 28,9
4 15,2 32,4
5 25,8 49,7
6 19,4 38,1
7 18,2 30,0
8 21,0 32,6
9 16,4 27,5
10 23,5 39,0
11 18,8 27,5
12 17,5 31,2

Задание:
Рассчитайте параметры уравнений регрессий y=a+bx+ε и y=a+b√x+ε.
Оцените тесноту связи с показателем корреляции и детерминации.
Рассчитайте средний коэффициент эластичности и дайте сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.
Рассчитайте среднюю ошибку аппроксимации и оцените качество модели.
С помощью F-статистики Фишера (при a = 0,05) оцените надежность уравнения регрессии.
Рассчитайте прогнозное значение y ̂прогн, если прогнозное значение фактора увеличится на5% от его среднего значения. Определите доверительный интервал прогноза а = 0,01.
Расчеты должны быть подробными и сопровождены пояснениями.

Задача № 14
Имеются данные о деятельности крупнейших компаний в течение двенадцати месяцев 199х года. Известны чистый доход (у), оборот капитала (х1), использованный капитал (х2) в млрд. у.е.
у х1 х2
1,5 5,9 5,9
5,5 53,1 27,1
2,4 18,8 11,2
3,0 35,3 16,4
4,2 71,9 32,5
2,7 93,6 25,4
1,6 10 6,4
2,4 31,5 12,5
3,3 36,7 14,3
1,8 13,8 6,5
2,4 64,8 22,7
1,6 30,4 15,8
Задание:
1.Рассчитайте параметры линейного уравнения множественной регрессии.
2.Дайте оценку силы связи факторов с результатом с помощью средних коэффициентов эластичности.
3.Оцените статистическую зависимость параметров и уравнения регрессии в целом с помощью соответственно критериев Стьюдента и Фишера (а = 0,01).
4.Рассчитайте среднюю ошибку аппроксимации. Сделайте вывод.
5.Составьте матрицы парных и частных коэффициентов корреляции и укажите информативные факторы.
6.Оцените полученные результаты, оформите выводы.

Задача № 24
Модель денежного рынка и рынка товаров:
где R – процентные ставки;
Y - реальный ВВП;
M – денежная масса;
I – внутренние инвестиции;
G – реальные государственные расходы.
1. Используя необходимое и достаточное условие идентификации, определить, идентифицировано ли каждое уравнение модели.
2. Определите тип модели.
3. Определите метод оценки параметров модели.
4. Опишите последовательность действий при использовании указанного метода.

Задача № 34
Имеются данные за пятнадцать дней по количеству пациентов клиники, прошедших через соответствующие отделения в течение дня. Данные приведены в таблице.
День Глазное отделение
1 30
2 22
3 19
4 28
5 24
6 18
7 35
8 29
9 40
10 34
11 31
12 29
13 35
14 23
15 27
Задание:
1.Определить коэффициенты автокорреляции уровней первого и второго порядка.
2.Обосновать выбор уравнения тренда и определить его параметры.
3.Сделать выводы.

Не требуется.

Дайте оценку силы связи факторов с результатом с помощью средних коэффициентов эластичности.Оцените статистическую зависимость параметров и уравнения регрессии в целом с помощью соответственно критериев Стьюдента и Фишера (а = 0,01).Рассчитайте среднюю ошибку аппроксимации. Сделайте вывод.Составьте матрицы парных и частных коэффициентов корреляции и укажите информативные факторы.Оцените полученные результаты, оформите выводы.Решение. Результаты расчетов приведены в таблице.№ух1х2y*х1y*х2х1 * х2х12х22у211,505,905,908,858,8534,8134,8134,812,2525,5053,1027,10292,05149,051439,012819,61734,4130,2532,4018,8011,2045,1226,88210,56353,44125,445,7643,0035,3016,40105,9049,20578,921246,09268,969,0054,2071,9032,50301,98136,502336,755169,611056,2517,6462,7093,6025,40252,7268,582377,448760,96645,167,2971,6010,006,4016,0010,2464,00100,0040,962,5682,4031,5012,5075,6030,00393,75992,25156,255,7693,3036,7014,30121,1147,19524,811346,89204,4910,89101,8013,806,5024,8411,7089,70190,4442,253,24112,4064,8022,70155,5254,481470,964199,04515,295,76121,6030,4015,8048,6425,28480,32924,16249,642,56Сумма32,40465,80196,701448,33617,9510001,0326137,304073,91102,96Средн.2,7038,8216,39120,6951,50833,42  8,58σ  1,14 27,06 8,79       σ2 1,3 732,24 77,26      Рассматриваем уравнение вида:y=a+b1x1+b2x2+εПараметры уравнения можно найти из решения системы уравнений:Или, перейдя к уравнению в стандартизированном масштабе:y0=a+β1х10+β2х20+ε,где y0=y-yσy, хj0=xj-xjσxj - стандартизированные переменные, βj - стандартизированные коэффициенты:Коэффициенты βj определяются из системы уравнений: , ryx12 = 0,29 , ryx22 = 0,57 , rx1x22 = 0,82β1=0,54-0,757*0,9041-0,82=-0.78, β2=0,757-0,54*0,9041-0,82=1,48b1=-0,78*1,1427,06=-0,033, b2=1,48*1,148,79=0,19a=y-b1x 1 -b2x 2 = 2,7-(-0,033)*38,83-0,19*16,39= 2,7+1,28-3,11=0,87Стандартизированная форма уравнения регрессии имеет вид:y0=-0,78x10+1,48x20.Естественная форма уравнения регрессии имеет вид:y=0,87-0,033x1+0,19x2.Для выяснения относительной силы влияния факторов на результативный признак рассчитываются средние коэффициенты эластичности:Э1=-0,033*38,822,7=-3,46, Э2=0,19*16,392,7=1,15Следовательно, при увеличении среднегодовой стоимости основных фондов (х1) на 1% валовой доход (у) уменьшается на 3,46% от своего среднего уровня. При повышении среднегодовой стоимости оборотных средств на 1% валовой доход повышается на 1,15% от своего среднего уровня.Число наблюдений n = 12. Число независимых переменных в модели равно 2, а число регрессоров с учетом единичного вектора равно числу неизвестных коэффициентов. С учетом признака Y, размерность матрицы становится равным 4. Матрица, независимых переменных Х имеет размерность (12 х 4).Матрица, составленная из Y и X11,505,905,9015,5053,1027,1012,4018,8011,2013,0035,3016,4014,2071,9032,5012,7093,6025,4011,6010,006,4012,4031,5012,5013,3036,7014,3011,8013,806,5012,4064,8022,7011,6030,4015,80Транспонированная матрица.1111111111111,55,52,434,22,71,62,43,31,82,41,65,953,118,835,371,993,61031,536,713,864,830,45,927,111,216,432,525,46,412,514,36,522,715,8Матрица XTX.1232,4465,8196,732,4102,961448,33617,95465,81448,3326137,310001,03196,7617,9510001,034073,91Полученная матрица имеет следующее соответствие:∑n∑y∑x1∑x2∑y∑y2∑x1 y∑x2 y∑x1∑yx1∑x1 2∑x2 x1∑x2∑yx2∑x1 x2∑x2 2Парные коэффициенты корреляции найдены выше. Матрица парных коэффициентов корреляции R:-yx1x2y10.540.757x10.5410.904x20.7570.9041Проверим значимость полученных парных коэффициентов корреляции с помощью t-критерия Стьюдента. Коэффициенты, для которых значения t-статистики по модулю больше найденного критического значения, считаются значимыми.Рассчитаем наблюдаемые значения t-статистики для ryx1 по формуле:где m = 1 - количество факторов в уравнении регрессииПо таблице Стьюдента находим Tтаблtкрит(n-m-1;α/2) = (10;0.005) = 3.169Поскольку tнабл < tкрит, то принимаем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - не значимРассчитаем наблюдаемые значения t-статистики для ryx2 по формуле:Поскольку tнабл > tкрит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически – значимТаким образом, связь между (y и xx2 ) является существенной.Наибольшее влияние на результативный признак оказывает фактор x2 (r = 0.76), значит, при построении модели он войдет в регрессионное уравнение первым.Проверим переменные на мультиколлинеарность по второму виду статистических критериев (критерий Фишера).Определяем обратную матрицу D = R-1:3,2132,553-4,7422,5537,513-8,727-4,742-8,72712,483Вычисляем F-критерии Фишера:где dkk - диагональные элементы матрицы.Рассчитанные значения критериев сравниваются с табличными при v1=n-m и v2=m-1 степенях свободы и уровне значимости α. Если Fk > FТабл, то k-я переменная мультиколлинеарна с другими.v1=12-2 = 10; v2=2-1 = 1. FТабл(10;1) = 6055.85Поскольку F1 ≤ Fтабл, то переменная y немультиколлинеарна с другими.Поскольку F2 ≤ Fтабл, то переменная x1 немультиколлинеарна с другими.Поскольку F3 ≤ Fтабл, то переменная x2 немультиколлинеарна с другими.Проверим переменные на мультиколлинеарность по третьему виду статистических критериев (критерий Стьюдента). Для этого найдем частные коэффициенты корреляции.Коэффициент частной корреляции отличается от простого коэффициента линейной парной корреляции тем, что он измеряет парную корреляцию соответствующих признаков (y и xi) при условии, что влияние на них остальных факторов (xj) устранено.На основании частных коэффициентов можно сделать вывод об обоснованности включения переменных в регрессионную модель. Если значение коэффициента мало или он незначим, то это означает, что связь между данным фактором и результативной переменной либо очень слаба, либо вовсе отсутствует, поэтому фактор можно исключить из модели.Теснота связи умереннаяОпределим значимость коэффициента корреляции ryx1 /x2 .Для этого рассчитаем наблюдаемые значения t-статистики по формуле:где k = 1 - число фиксируемых факторов.По таблице Стьюдента находим Tтаблtкрит(n-k-2;α/2) = (9;0.005) = 3.25Поскольку tнабл < tкрит, то принимаем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - не значимКак видим, связь y и x1 при условии, что x2 войдет в модель, снизилась. Отсюда можно сделать вывод, что ввод в регрессионное уравнение x1 остается нецелесообразным.Теснота связи сильнаяОпределим значимость коэффициента корреляции ryx2 /x1 .Для этого рассчитаем наблюдаемые значения t-статистики по формуле:Поскольку tнабл > tкрит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически – значимКак видим, связь y и x2 при условии, что x1 войдет в модель, снизилась. Отсюда можно сделать вывод, что ввод в регрессионное уравнение x2 остается нецелесообразным.Теснота связи сильнаяОпределим значимость коэффициента корреляции ryx2 /y.Для этого рассчитаем наблюдаемые значения t-статистики по формуле:Поскольку tнабл > tкрит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции.