Эконометрика, вариант 8

По выборке из 20 литейных цехов заводов анализируется зависимость себестоимости литья от выработки литья на одного работающего и брака.
1. Построить линейное уравнение множественной регрессии и пояснить экономический смысл его параметров.
2. Рассчитать средние частные коэффициенты эластичности.
3. Определить стандартизированные коэффициенты регрессии.
4. На основе полученных результатов сделать вывод о силе связи результата с каждым из факторов.
5. Определить парные и частные коэффициенты корреляции, а также множественный коэффициент корреляции; сделать выводы.
6. Дать оценку полученного уравнения на основе коэффициента детерминации и общего F-критерия Фишера.
ЗАДАНИЕ 2
Дана система одновременных уравнений.
1. Проверьте идентификацию каждого уравнения и системы в целом.
2. Найдите приведен ...

По выборке из 20 литейных цехов заводов анализируется зависимость себестоимости литья от выработки литья на одного работающего и брака.
1. Построить линейное уравнение множественной регрессии и пояснить экономический смысл его параметров.
2. Рассчитать средние частные коэффициенты эластичности.
3. Определить стандартизированные коэффициенты регрессии.
4. На основе полученных результатов сделать вывод о силе связи результата с каждым из факторов.
5. Определить парные и частные коэффициенты корреляции, а также множественный коэффициент корреляции; сделать выводы.
6. Дать оценку полученного уравнения на основе коэффициента детерминации и общего F-критерия Фишера.
ЗАДАНИЕ 2
Дана система одновременных уравнений.
1. Проверьте идентификацию каждого уравнения и системы в целом.
2. Найдите приведенную форму модели.
Дана выборка курса биржевой стоимости акции некоторого предприятия за 12 месяцев
Требуется:
1. Проверить наличие аномальных наблюдений.
2. Построить линейную модель Y(t) = a0 +a1t , параметры которой оценить МНК (Y(t) -расчетные, смоделированные значения временного ряда):
- использованием Поиска решений;
- использованием матричных функций;
- использованием Мастера диаграмм.
3. Оценить адекватность модели, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7— 3,7).
4. Оценить точность модели с помощью средней относительной ошибки аппроксимации.
5. Осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 80%).
6. Построить адаптивную модель Брауна Y(t) = a0 +a1k с параметром сглаживания α=0,4 и α= 0,7; выбрать лучшее значение параметра сглаживания α.
7. Фактические значения показателя, результаты моделирования по двум моделям (Y(t)= a0 +a1t и лучшей модели Брауна) и прогнозирования представить графически.

По выборке из 20 литейных цехов заводов анализируется зависимость себестоимости литья от выработки литья на одного работающего и брака.
1. Построить линейное уравнение множественной регрессии и пояснить экономический смысл его параметров.
2. Рассчитать средние частные коэффициенты эластичности.
3. Определить стандартизированные коэффициенты регрессии.
4. На основе полученных результатов сделать вывод о силе связи результата с каждым из факторов.
5. Определить парные и частные коэффициенты корреляции, а также множественный коэффициент корреляции; сделать выводы.
6. Дать оценку полученного уравнения на основе коэффициента детерминации и общего F-критерия Фишера.
ЗАДАНИЕ 2
Дана система одновременных уравнений.
1. Проверьте идентификацию каждого уравнения и системы в целом.
2. Найдите приведен ную форму модели.
Дана выборка курса биржевой стоимости акции некоторого предприятия за 12 месяцев
Требуется:
1. Проверить наличие аномальных наблюдений.
2. Построить линейную модель Y(t) = a0 +a1t , параметры которой оценить МНК (Y(t) -расчетные, смоделированные значения временного ряда):
- использованием Поиска решений;
- использованием матричных функций;
- использованием Мастера диаграмм.
3. Оценить адекватность модели, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7— 3,7).
4. Оценить точность модели с помощью средней относительной ошибки аппроксимации.
5. Осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 80%).
6. Построить адаптивную модель Брауна Y(t) = a0 +a1k с параметром сглаживания α=0,4 и α= 0,7; выбрать лучшее значение параметра сглаживания α.
7. Фактические значения показателя, результаты моделирования по двум моделям (Y(t)= a0 +a1t и лучшей модели Брауна) и прогнозирования представить графически.

6. Коэффициент детерминации определим по формуле:D=Rмнож2=0,9672=0,935Таким образом, изменения результата на 93,5% зависят от изменений факторов, на остальные 6,5% влияют иные, не учтенные в данной модели факторы.Оценим значимость множественного коэффициента корреляции. Для этого рассчитаем значение F – статистики по формуле:Fнабл=R2(n-m-1)m(1-R2)=0,9672∙(20-2-1)2(1-0,9672)=122,27Сравним полученное значение с критическим (по таблице Фишера):Fкрит0,05;2;17=3,59Полученное значение больше табличного – коэффициент множественной корреляции статистически значим, уравнение множественной регрессии можно с вероятностью 95% считать статистически надежным и применять его для анализа данной зависимости.ЗАДАНИЕ 2Дана система одновременных уравнений.1. Проверьте идентификацию каждого уравнения и системыв целом.2. Найдите приведенную форму модели.y1=b13y3+a11∙x1+a12∙x2+a13∙x3y2=b21y1+b23∙y3+a22∙x2+a23∙x3y3=b31y1+b32∙y2+a31∙x1+a33∙x3РешениеОценим заданную модель на идентификации, проверим необходимое условие идентификации для уравнений модели.Данная модель включает в себя K=3 эндогенные переменные (y1, y2, y3) и M=3 экзогенные переменные (x1, x2, x3).K-1=2; K+M=6Уравнение 1 включает в себя 2 эндогенные переменные и 3 экзогенные:3-3=0<2-1=1Данное уравнение неидентифицируемо.В уравнение 2 входят 2 эндогенные и 3 экзогенные переменные:3-2=1<3-1=2Уравнение 2 неидентифицируемо.Уравнение 3 состоит из 3-х эндогенных и 2-х экзогенных переменных:3-2=1<3-1=2Уравнение неидентифицируемо.Для проверки выполнения достаточного условия идентификации составим матрицу коэффициентов при переменных.Таблица 3Матрица коэффициентов при переменныхy1y2y3x1x2x3Уравнение №1-10b13a11a12a13Уравнение №2b21-1b230a22a23Уравнение №3b31b32-1a310a33Достаточное условие идентификации: детерминант матрицы коэффициентов при переменных, которые не входят в уравнение, должен отличаться от нуля: detA≠0.Уравнение 1.Таблица 4Матрица коэффициентов при переменных уравнения 1-1b32Ранг полученной матрицы равен 1, детерминант не равен 0.Таким образом, достаточное условие идентификации для первого уравнения не выполняется.Уравнение 2.Таблица 5Матрица коэффициентов при переменных уравнения 2a11a31Ранг полученной матрицы равен 1, детерминант не равен 0.Условие идентификации для второго уравнения также не выполняется.Уравнение 3.Таблица 6Матрица коэффициентов при переменных уравнения 3a12a22Ранг полученной матрицы равен 1, детерминант не равен 0.Достаточное условие идентификации для третьего уравнения не выполняется.Из проведенного анализа выполнения достаточного условия идентификации уравнений можно сделать вывод, что данная модель должна быть модифицирована, так как все 3 уравнения заданной системы не идентифицируемы (необходимые и достаточные условия идентификации не выполняются ни для одного уравнения).ЗАДАНИЕ 3Дана выборка курса биржевой стоимости акции некоторого предприятия за 12 месяцев.Таблица 7Исходные данные для решения Задания 3МесяцIIIIIIIVVVIVIIVIIIIXXXIXIIСтоимость акции по месяцам (руб.)13,312,512,717,215,916,120,519,219,923,922,823,5Требуется:1. Проверить наличие аномальных наблюдений.2. Построить линейную модель Y(t) = a0 +a1t , параметры которой оценить МНК (Y(t) -расчетные, смоделированные значения временного ряда):- использованием Поиска решений;- использованием матричных функций;- использованием Мастера диаграмм.3. Оценить адекватность модели, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7— 3,7).4. Оценить точность модели с помощью средней относительной ошибки аппроксимации.5. Осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 80%).6. Построить адаптивную модель Брауна Y(t) = a0 +a1k с параметром сглаживания α=0,4 и α= 0,7; выбрать лучшее значение параметра сглаживания α.7. Фактические значения показателя, результаты моделирования по двум моделям (Y(t)= a0 +a1t и лучшей модели Брауна) и прогнозирования представить графически.Решение1. Чтобы выявить наличие аномальных наблюдений, воспользуемся методом Ирвина.Критерий Ирвина рассчитаем по формуле:λ=yi-yi-1σy (4)где yi – стоимость акции в i-м месяце; yi-1 – стоимость акции в месяце, предшествующем i-му; σy – среднеквадратическое отклонение стоимостей акции.Для расчета среднеквадратического отклонения воспользуемся формулой:σy=(yi-yi)2n (5)где yi- средняя стоимость акции за весь период; n – длительность рассматриваемого периода.yi=13,3+12,5+12,7+17,2+15,9+16,1+20,5+19,2+19,9+23,9+22,8+23,512==18,125 руб.Составим вспомогательную таблицу с результатами расчетов.Таблица 8Промежуточные результаты расчетов среднеквадратического отклоненияtyi(yi-yi)2λ113,323,28-212,531,640,19312,729,430,048417,20,861,09515,94,950,31616,14,10,048720,55,641,06819,21,160,31919,93,150,171023,933,350,971122,821,860,271223,528,890,17∑217,5188,3-Пороговое значение критерия Ирвина для выборки объемом n=12 составляет λ=1,3. Все рассчитанные значения критерия не превышают данное значение, из чего делаем вывод об отсутствии аномалий в заданном ряду.2. Построим линейную модель зависимости стоимости акций от времени вида:Yt=a0+a1t (6)Используем Пакет анализа MS Excel.right40957500Введем исходные данные, используем функцию «Регрессия» и получим следующие результаты:Рис. 1 – Регрессионный анализ в MS ExcelТаким образом, линейная модель имеет вид:Yt=11,055+1,0878tПерейдем к построению линейной модели матричным методом.Вектор оценок коэффициентов регрессии имеет вид:s=(XTX)-1XTY (7)где Х – матрица значений Х; Y – матрица значений Y.Добавим единичный столбец к матрице Х и получим:Таблица 9Матрица Х с единичным столбцом111213141516171819110111112Траспонируем матрицу и получим XT:Таблица 10Транспонированная матрица Х111111111111123456789101112Перемножим матрицы XTX:Таблица 11Результат перемножения матриц 127878650Обратная матрица (XTX)-1 примет вид:Таблица 12Матрица, обратная предыдущей0,379-0,0455-0,04550,007Перемножим матрицы XTY:Таблица 13Результат перемножения матриц217,51569,3Таким образом, искомый вектор коэффициентов регрессии будет равен:Таблица 14Вектор коэффициентов регрессии11,0551,0878Линейная модель примет вид: Yt=11,055+1,0878tВоспользуемся Мастером диаграмм:Рис. 2 – Построение линейной модели зависимости при помощи Мастера диаграммКак видно, во всех трех случаях линейная модель одинакова.3. Для оценки адекватности модели используем рассчитанные при помощи Excel значения остатков:14611351524000Рис. 3 – Остатки, рассчитанные при помощи регрессионного анализаПостроим расчетную таблицу, куда внесем следующие расчеты:Рис.4 – Промежуточные расчеты для оценки адекватности моделиОпределим так называемые «пики» - значения стандартных остатков, которые превышают значение 2 (по модулю). Таких значений нет, следовательно, число нормальных значений Et2=12-0=12Проверим выполнение условия случайности отклонения значений от тренда.