Теория вероятностей

ЗАДАНИЯ 1
Найдите дисперсию и среднеквадратическое отклонение, асимметрию и эксцесс. Определите какой из работников лучше и по чему?
Дни недели Пн Вт Ср Чт Пт
1 раб. 50 54 52 49 45
2 раб. 60 40 54 51 45
ЗАДАНИЯ 2
Найти: а) Плотность распределения; б) математическое ожидание; в) дисперсию случайной величины Х , заданной функцией распределения F(X).

ЗАДАНИЯ 3
По данным задания построим график выборочной функции распределения (график накопленных частот) и полигон частот. Определить доверительный интервал для генеральной средней Х с уровнем доверительной вероятности .
Х: 42, 45, 46, 49, 52, 56, 57, 58.
Задания 4
Две лаборатории одним и тем же методом определяли содержание углерода в 10 пробах нелегированной стали. Получены следующие результаты в процентах:
X 0,18 0,12 0,12 0,08 0,08 0,12 0 ...

ЗАДАНИЯ 1
Найдите дисперсию и среднеквадратическое отклонение, асимметрию и эксцесс. Определите какой из работников лучше и по чему?
Дни недели Пн Вт Ср Чт Пт
1 раб. 50 54 52 49 45
2 раб. 60 40 54 51 45
ЗАДАНИЯ 2
Найти: а) Плотность распределения; б) математическое ожидание; в) дисперсию случайной величины Х , заданной функцией распределения F(X).

ЗАДАНИЯ 3
По данным задания построим график выборочной функции распределения (график накопленных частот) и полигон частот. Определить доверительный интервал для генеральной средней Х с уровнем доверительной вероятности .
Х: 42, 45, 46, 49, 52, 56, 57, 58.
Задания 4
Две лаборатории одним и тем же методом определяли содержание углерода в 10 пробах нелегированной стали. Получены следующие результаты в процентах:
X 0,18 0,12 0,12 0,08 0,08 0,12 0,19 0,32 0,27 0,22
Y 0,16 0,09 0,08 0,05 0,13 0,10 0,14 0,30 0,31 0,24
Согласованы ли результаты двух лабораторий, если принять уровень значимости α≤0,05?
Задание 5
Изучали зависимость между массой детенышей обезьян (Y кг) и массой самки (Х кг) некоторых животных. Результаты приведены в выборке объема n = 9. Определите, существует ли взаимосвязь между этими явлениями и насколько она тесная. Найдите средне ожидаемую массу детеныша, если масса самки будет 37 кг.
Х 23 24 25 27 28 31 32 34 35
Y 2,1 2 2,5 2,4 3 2,8 2,5 2,7 3,1
ЗАДАНИЯ 5
Имеется выборка значений. Выяснить, можно ли на уровне значимости 0,05 считать, что распределение пуассоновское.
X 34,8 34,9 35,0 35,1 35,2
N 2 3 4 6 5
ЗАДАНИЯ 6
Имеется выборка значений. Выяснить, можно ли на уровне значимости 0,05 считать, что распределение нормально.
X 34,8 34,9 35,0 35,1 35,2
N 2 3 4 6 5

ЗАДАНИЯ 1
Найдите дисперсию и среднеквадратическое отклонение, асимметрию и эксцесс. Определите какой из работников лучше и по чему?
Дни недели Пн Вт Ср Чт Пт
1 раб. 50 54 52 49 45
2 раб. 60 40 54 51 45
ЗАДАНИЯ 2
Найти: а) Плотность распределения; б) математическое ожидание; в) дисперсию случайной величины Х , заданной функцией распределения F(X).

ЗАДАНИЯ 3
По данным задания построим график выборочной функции распределения (график накопленных частот) и полигон частот. Определить доверительный интервал для генеральной средней Х с уровнем доверительной вероятности .
Х: 42, 45, 46, 49, 52, 56, 57, 58.
Задания 4
Две лаборатории одним и тем же методом определяли содержание углерода в 10 пробах нелегированной стали. Получены следующие результаты в процентах:
X 0,18 0,12 0,12 0,08 0,08 0,12 0 ,19 0,32 0,27 0,22
Y 0,16 0,09 0,08 0,05 0,13 0,10 0,14 0,30 0,31 0,24
Согласованы ли результаты двух лабораторий, если принять уровень значимости α≤0,05?
Задание 5
Изучали зависимость между массой детенышей обезьян (Y кг) и массой самки (Х кг) некоторых животных. Результаты приведены в выборке объема n = 9. Определите, существует ли взаимосвязь между этими явлениями и насколько она тесная. Найдите средне ожидаемую массу детеныша, если масса самки будет 37 кг.
Х 23 24 25 27 28 31 32 34 35
Y 2,1 2 2,5 2,4 3 2,8 2,5 2,7 3,1
ЗАДАНИЯ 5
Имеется выборка значений. Выяснить, можно ли на уровне значимости 0,05 считать, что распределение пуассоновское.
X 34,8 34,9 35,0 35,1 35,2
N 2 3 4 6 5
ЗАДАНИЯ 6
Имеется выборка значений. Выяснить, можно ли на уровне значимости 0,05 считать, что распределение нормально.
X 34,8 34,9 35,0 35,1 35,2
N 2 3 4 6 5

1 – График выборочной функции распределенияПолигон частот примет вид:Рис. 2 – Полигон частотТак как каждое значение ряда встречается лишь 1 раз, то график представляет собой прямую горизонтальную линию.Определим значение средней:x=xin=42+45+46+49+52+56+57+588=50,625Доверительный интервал для среднего имеет вид:x-σ∙tγn<a<x+σ∙tγnРассчитаем значение среднего квадратического отклонения:σ=(xi-x)2nСоставим таблицу.x4245464952565758∑xi-x-8,625-5,625-4,625-1,6251,3755,3756,3757,375-(xi-x)274,3931,6421,392,641,8928,8940,6454,39255,88σ=255,888=5,656Для уровня значимости 0,95 и k=m-1=8-1=7: tγ=1,895Подставим данные:σ∙tγn=5,656∙1,8958=3,7950,625-3,79<x<50,625+3,79То есть с вероятностью 95% можно утверждать, что генеральное среднее будет находиться в пределах от 46,835 до 54,415.Тема: Проверка гипотез относительно средних и дисперсий.Цель:Составление гипотез относительно средних и дисперсий, нахождение значения критерий.ЗАДАНИЕ 4Две лаборатории одним и тем же методом определяли содержание углерода в 10 пробах нелегированной стали. Получены следующие результаты в процентах:X0,180,120,120,080,080,120,190,320,270,22Y0,160,090,080,050,130,100,140,300,310,24Согласованы ли результаты двух лабораторий, если принять уровень значимости α≤0,05?РешениеВыдвинем гипотезу о равенстве дисперсий. Для проверки рассчитаем значение критерия Фишера по формуле:Fнабл=sy2sx2Рассчитаем средний значения по каждой выборке:x=0,18+0,12+0,12+0,08+0,08+0,12+0,19+0,32+0,27+0,2210=0,17y=0,16+0,09+0,08+0,05+0,13+0,1+0,14+0,3+0,31+0,2410=0,16Для расчета дисперсий составим вспомогательную таблицу.Xi-X(Xi-X)2Yi-Y(Yi-Y)20,010,000100-0,050,0025-0,070,0049-0,050,0025-0,080,0064-0,090,0081-0,110,0121-0,090,0081-0,030,0009-0,050,0025-0,060,00360,020,0004-0,020,00040,150,02250,140,01960,10,01000,150,02250,050,00250,080,00640,05920,0768sx2=0,059210-1=0,00658sy2=0,076810-1=0,00853Подставим полученные данные:Fнабл=0,008530,00658=1,296Табличное значение равно: Fтабл=3,18Рассчитанное значение меньше табличного, следовательно, можно принять гипотезу о равенстве дисперсий – данные исследований лабораторий согласованы.Тема: Вычисление коэффициента линейной корреляции.Цель:Вычислить коэффициент линейной корреляции и нахождение уравнения регрессии.ЗАДАНИЕ 5Изучали зависимость между массой детенышей обезьян (Y кг) и массой самки (Х кг) некоторых животных. Результаты приведены в выборке объема n = 9. Определите, существует ли взаимосвязь между этими явлениями и насколько она тесная. Найдите средне ожидаемую массу детеныша, если масса самки будет 37 кг.Х232425272831323435Y2,122,52,432,82,52,73,1РешениеКоэффициент корреляции определим следующим образом:rxy=xy-x∙ySx∙SySx=x2-(x)2; Sy=y2-(y)2Проведем дополнительные расчеты.XYXYX2Y2232,148,35294,41242485764252,562,56256,25272,464,87295,76283847849312,886,89617,84322,58010246,25342,791,811567,29353,1108,512259,6125923,1674,7760960,4128,782,5774,97845,446,71Sx=845,44-28,782=4,14Sy=6,71-(2,57)2=0,324rxy=74,97-28,78∙2,574,14∙0,324=0,75По шкале Чеддока связь между массой самки и массой детенышей обезьян тесная.Составим уравнение регрессии вида:y=a+bxКоэффициент регрессии a и b рассчитаем методом наименьших квадратов. Для этого составим систему нормальных уравнений. an+bx=yax+bx2=xyПодставим данные:9a+259b=23,1259a+845,44b=674,7Домножим уравнение 1 на (-28,78):-259a-7454,02b=-664,818259a+845,44b=674,7Сложим уравнения и получим:-6608,58b=9,882 b=-0,00159a+259∙-0,0015=23,1 9a=23,4885 a=2,61Уравнение регрессии примет вид:y=2,61-0,0015xТогда средне ожидаемая масса детеныша при массе самки 37 кг будет равна:y=2,61-0,0015∙37=2,55 кгТема: Проверка гипотез о Пуассоновском законе распределения выборки.Цель:Составление гипотез о законах распределения, нахождение значения критерий.ЗАДАНИЕ 5Имеется выборка значений. Выяснить, можно ли на уровне значимости 0,05 считать, что распределение пуассоновское.X34,834,935,035,135,2N23465РешениеПроверим гипотезу о том, что заданный ряд распределен по закону Пуассона.