Теория статистики

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«РЫБИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ
ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ П. А. СОЛОВЬЕВА»

Оценка отлично. ...

Перечень заданий
Задание 1
В таблице 1 представлены данные об объёме производства предприятия за 1996-2007 годы. Рассчитайте абсолютные, относительные и средние показатели представленного ряда динамики (при расчете показателей используйте табличную форму представления информации, цепную и базисную схему расчета).
Таблица 1- Объём производства предприятия
Годы Объём выпуска, тыс.шт.
1996 912
1997 973
1998 931
1999 982
2000 1125
2001 1260
2002 1218
2003 933
2004 810
2005 863
2006 940
2007 1013
Сформируйте выровненный ряд динамики, используя метод скользящей средней (интервал сглаживания равен 3). Проведите аналитическое выравнивание ряда. Постройте графики, характеризующие фактическую динамику производства и выровненные ряды. Сделайте прогноз объёма выпуска на 2010 год и выводы по итогам анализа.
Задание 2
Имеются экспериментальные данные исследования влияния времени вулканизации на сопротивление резины разрыву (таблица 2).
Таблица 2- Информация о сопротивлении резины разрыву
№ анализа Время вулканизации, мин. Сопротивление разрыву, кг/см²
1. 35 162
2. 40 174
3. 30 155
4. 42 172
5. 37 173
6. 38 166
Продолжение таблицы 2
7. 34 162
8. 3 160
9. 36 167
10. 31 153
11. 36 163
12. 43 173
13. 39 168
14. 44 176
15. . 39 170
Проведите исследование взаимосвязи сопротивления резины разрыву и времени её вулканизации. Постройте график зависимости сопротивления резины разрыву от времени её вулканизации. Определите параметры линейного уравнения регрессии по представленным данным. Изобразите данное уравнение графически.
Задание 3
По ряду предприятий получены данные, представленные в таблице 3. Постройте ряд распределения предприятий по объёму основных средств, образовав четыре группы с равными закрытыми интервалами. Охарактеризуйте ряд числом рабочих, объёмом произведённой продукции за год; объёмом основных средств. Рассчитайте по полученным данным показатели вариации; средний, модальный и медианный объём основных средств. Сделайте выводы.
Таблица 3 - Показатели деятельности предприятий
Наблюде-ние Среднесписочное число рабочих, чел Основные средства (тыс. руб.) Объём произведённой продукции за год, млн. руб.
1 100 369 5,6
2 140 473 7,6
3 94 251 4,4
4 83 280 5,2
5 157 590 8,0
6 195 1200 9,6
7 61 160 3,1
8 120 480 5,7
9 180 970 8,2
10 125 400 4,4
11 51 122 1,0
12 256 900 9,9
13 182 670 8,7
Продолжение таблицы 3
14 124 500 4,1
15 110 379 3,1
16 102 256 4,1
17 96 220 3,7
18 98 240 3,3
19 84 106 2,1
20 116 180 1,6
21 96 250 3,0
22 85 230 2,4
23 110 370 2,4
24 112 350 2,3
25 67 125 1,5
26 63 140 1,3
27 250 1150 9,2
28 212 790 6,5
29 184 290 3,4
30 137 275 3,2

Нет

Скользящая средняя - это такая динамическая средняя, которая последовательно рассчитывается при передвижении на один интервал при заданной продолжительности периода. Если, предположим, продолжительность периода равна 3, то скользящие средние рассчитываются следующим образом:При четных периодах скользящей средней можно центрировать данные, т.е. определять среднюю из найденных средних. К примеру, если скользящая исчисляется с продолжительностью периода, равной 2, то центрированные средние можно определить так:Первую рассчитанную центрированную относят ко второму периоду, вторую - к третьему, третью - к четвертому и т.д. По сравнению с фактическим сглаженный ряд становится короче на (m - 1)/2, где m - число уровней интервала.Выполнение задания целесообразно осуществить в MS Excel.Таблица 5 - Выравнивание ряда динамикиГодыФактические уровни рядаВыровненный ряд динамики19969121997973938,6667199893196219999821012,667200011251122,33320011260120120021218113720039339872004810868,666720058638712006940938,666720071013Рис.1- Динамика производства, тыс. шт.Аналитическое выравнивание является наиболее эффективным способом выявления основной тенденции развития; может быть осуществлено по любому рациональному многочлену.Таблица 6 - Результаты аналитического выравниванияФункцияУравнениеКоэффициент детерминацииЛинейнаяy = -3,986x + 1022,6R² = 0,011Логарифмическаяy = 8,685ln(x) + 982,2R² = 0,0023Полиномиальная (2)y = -5,3402x2 + 65,436x + 860,59R² = 0,1946Полиномиальная (3)y = 1,6967x3 - 38,426x2 + 244,44x + 628,99R² = 0,3554Степеннаяy = 979,54x0,0054R² = 0,001Коэффициент детерминации используется для оценки точности трендовой модели. При вычислении уровней, наиболее точно отразит тенденцию то, при котором R2 будет наибольшим. Чтобы сделать прогноз, в выбранное уравнение вместо t нужно подставить порядковый номер года на который делается прогноз. Т.о. наиболее точно тенденцию отразит полиномиальная функция 3-го порядка (R² = 0,3554). По ней произведём расчет прогноза объёма выпуска на 2010 год:y = 1,6967*153 - 38,426*152 + 244,44*15 + 628,99= 1376,10 тыс.шт.При выборе уравнения для аналитического сглаживания необходимо учитывать особенности изменения конкретных показателей. Уравнение прямой отражает равномерное изменение функции, уравнение параболы второго порядка - равноускоренное. Если изменение иное, то прибегают к параболам более высоких порядков, показательной функции, гиперболе.Решение 2.Любое общественное явление находится в связи с другими явлениями; исследование таких взаимосвязей - важнейшая задача статистики. Наиболее часто для этого используют метод корреляции.Расчет параметров линейного уравнения регрессии чаще всего производится по способу наименьших квадратов при использовании системы нормальных уравнений.-123190501650015а+527b= 2494527а+19847b =88189а = 166,267-35,133b527*(166.267-35.133b)+19847b=88189b= 0,4254 а = 166,267-35,133*0,4254=151,32-323852095500Ух=151,32+0,4254b – уравнение парной линейной регрессии Параметр уравнения регрессии b= 0,4254 показывает, что с увеличением времени вулканизации на 1 мин, сопротивление разрыву в среднем возрастёт на 151,32 кг/см²Таблица 7- Расчетные данныеНомер анализаХУХ²Х*УУ²135162122556702624424017416006960302763301559004650240254421721764722429584Продолжение таблицы 753717313696401299296381661444630827556734162115655082624483160948025600936167129660122788910311539614743234091136163129658682656912431731849743929929133916815216552282241444176193677443097615391701521663028900ИТОГО52724941984788189415354- коэффициент корреляцииr = 15*88189 – 527*2494____________________= 0,593119 связь средняя, √(15*415354-6220036) * (15* 19847– 277729)прямо пропорциональнаяРис1.- Графическое изображение поля корреляции и линии регрессии.Решение 3. Группировка- это расчленение множества единиц изучаемой совокупности на группы по определённым существенным для них признакам.Интервал - это значения варьирующего признака, лежащие в определённых границах. Каждый интервал имеет свою величину, верхнюю и нижнюю границы или хотя бы одну из них.Нижней границей интервала называется наименьшее значение признака в интервале, верхней- наибольшее значение признака в нём.Величина интервала - разность между верхней и нижней границами интервала.Если вариация признака проявляется в узких границах, то строят группировку с равными интервалами. Величина равного интервала определяется по следующей формуле:h= R/n= (Xmax-Xmin)/n, где R – размах вариации; X max и Xmin- минимальное и максимальное значения признака в совокупности; h- шаг интервала.Интервалы бывают открытыми и закрытыми. Открытые – это те интервалы, у которых указана только одна граница; закрытые – у которых обозначены обе границы.Ширина открытого интервала принимается равной ширине смежного с ним интервала.Для проведения группировки необходимо рассчитать шаг интервала: = (1200-106)/4= 273,5 тыс.руб.Таблица 8- Распределение предприятий по объёму основных средств№ груп-пыИнтервалы распределения предприятий по объёму основных средствКоличество предприятийУдельный вес каждой группы в общем объёме совокупности, %Среднесписочное число рабочих, челОбъём произведённой продукции за год, млн. руб.Основ-ные средства (тыс. руб.)Кумулятивные частоты или сумма накоплен-ных частотСередина интервала, тыс.руб1106-379,51963,33184956,7459319242,752379,5-653,0516,6766629,8244324516,253653,0-926,5310,0065025,1236027789,754926,5-1200310,0062527,03320301063,25ИТО-ГО---30100,003790138,612716Х-Для расчета средней арифметической взвешенной используется формула:= (242,75*19+516,25*5+789,75*3+1063,25*3) / (19+5+3+3)= =425,083 тыс.руб.Следовательно, средний размер основных средств на предприятиях изучаемой совокупности составляет 425,083 тыс.руб.В качестве статистических характеристик вариационных рядов распределения рассчитываются структурные средние- мода и медиана.Мода (Мо)- значение изучаемого признака, повторяющегося с наибольшей частотой. В нашем случае в интервальном вариационном ряду с равными интервалами мода определяется по формуле:;где- нижняя граница модального интервала; i - величина модального интервала; - частота соответственно модального, предмодального и послемодального интервала.Моду определяют по наибольшей частоте. В нашем случае можно определить модальный интервал - от 106 до 379,5 тыс. руб., т.к. здесь наибольшая частота =19.= 106+273,5* (19-0)/((19-0)+(19-5)) =263,47 тыс.руб.Значение моды получилось равным 263,47 тыс.руб. Таким образом, наибольшее число предприятий имеют величину основных средств, равную 263,47.