Распределение простых чисел

ВЫВОДЫ
Итак, «формула простого числа» является, как правило, либо ана-литическим выражением, которое позволяет вычислить значения pn или π(х)5, либо алгоритм, с помощью которого можно найти эти величины существенно быстрее, чем при использовании известного с III века до н. э. метода решета Эратосфена.
Простые числа можно также представлять комбинацией арифметических прогрессий либо логических выражений, что крайне удобно для программирования [2]. Таких комбинаций очень большое количество, вплоть до бесконечности. Но каждая из комбинаций систем алгебраических уравнений позволяет только единственное представление простого числа при заданной разности прогрессий задающих ряды простых и составных чисел.

...

СОДЕРЖАНИЕ
Введение 3
1. Проблемы простых чисел 5
2. Начальные сведения о простых числах 8
2.1. Простейшие свойства функции π (х) 9
2.2. Критерий простоты 11
3. Теорема о распределении простых чисел 15
Выводы 21
Список использованной литературы 22

ВВЕДЕНИЕ

Многие важные задачи современной аналитической теории чисел как правило формулируются в терминах элементарной математики и понятий предела [1]. Возможно их решение даже просто с использованием понятия безгранично возрастающего параметра. Таков, например, закон простых чисел, теорема И. М. Виноградова о том, что все достаточно большие нечетные числа — суммы трех простых чисел, и количество соответствующих представлений выражается простой предельной (асимптотической) формулой, теоремы о счете целых точек внутри расширяющихся контуров, о поведении дробных частей последовательностей и так далее. Вместе с тем решение соответствующих, сформулированных в простых терминах проблем часто требует весьма сложных и на первый взгляд далеких от теории чисел средств. Так, до недавнего времени за кон простых чисел мог быть обоснован только с помощью теории функций комплексного переменного, и появление в 1949 г. полностью элементарных доказательств А. Сельберга, и П. Эрдеша и Д. Сельберга явилось крупным событием в теории чисел. Теория функций комплексного переменного существенно применялась и в аддитивных задачах (первоначальные варианты Гарди—Литтлвуда решений проблемы Варинга), различных теоремах о распределении простых чисел и их обобщений, решении А. О. Гель- фонда VII проблемы Гильберта и многих других случаях. Ряды Фурье и тригонометрические суммы играют фундаментальную роль в аддитивных задачах, теория полей функций над абстрактным полем констант и алгебраическая топология получают все возрастающее значение в современной теории чисел. Все перечисленные трансцендентные методы приводят в ряде случаев к весьма сильным и точным результатам, и от них можно ожидать еще очень многого.
Не может быть и речи об отказе от трансцендентных методов в современной теории чисел. Однако естественным желанием исследователя является определение возможно более арифметического пути к решению элементарно формулируемой проблемы. Помимо очевидного методического значения такого пути, он важен еще тем, что часто дает простой и естественный взгляд на полученные теоремы и причины, обусловливающие их существование. Часто элементарными методами можно достигнуть результатов, недоступных пока сильным аналитическим средствам, действующим в других случаях весьма эффективно. Таково, например, положение с бинарными задачами типа проблемы Гольдбаха; наиболее важные результаты здесь выводятся с помощью элементарного метода решета Эратосфена, разработанного Вигго Бруном. В большинстве известных случаев, однако, элементарные методы, в основном давая реше-ние проблемы, все же уступают трансцендентным методам в отношении дальнейших уточнений получаемых предельных соотношений.
Таким образом, распределение простых чисел — раздел теории чисел, в котором изучаются закономерности распределения простых чисел среди чисел натурального ряда. Данная теория хороша еще с той точки зрения, что все подобные процессы удобно программировать на различных языках, таких как С, Delphi и php [2]. Такое удобство повышает актуальность данной тематики. Но в данном реферате описывается распределение простых чисел именно при помощи математических методов.