Эконометрика Вариант 1

2. Практическая часть.
ЗАДАЧА 1
Задание:
1. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи.
2. Рассчитайте параметры уравнений парной регрессии, вид функциональной связи для расчета зависит от варианта:
Степенная функция (1, 3, 5 варианты);
Показательная функция (2, 6, 8 варианты);
Равносторонняя гипербола (4, 7 варианты).
3. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.
4. Дайте с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.
5. Оцените с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.
6. Оцените с помощью F-критерий Фишера статистическую надежность результатов регрессивного моделирования.
7. Оцените с помощью t-критерия Стьюдента качество параметров уравнения.
8. Рассчитайте ...

Вариант 1
По территориям Центрального района известны данные за 200х г. (табл. 1).
Таблица 1.
Район Доля денежных доходов, направленных на прирост сбережений во вкладах, займах, сертификатах и на покупку валюты, в общей сумме среднедушевого денежного дохода, %, у Среднемесячная начисленная заработная плата, тыс.руб., х
Брянская обл. 6,9 289
Владимирская обл. 8,7 334
Ивановская обл. 6,4 300
Калужская обл. 8,4 343
Костромская обл. 6,1 356
Орловская обл. 9,4 289
Рязанская обл. 11,0 341
Смоленская обл. 6,4 327
Тверская обл. 9,3 357
Тульская обл. 8,2 352
Ярославская обл. 8,6 381

При проведении анализа взаимосвязи доли денежных доходов, направленных на прирост сбережений во вкладах, займах, сертификатах и на покупку валюты, в общей сумме среднедушевого денежного дохода и среднемесячной начисленной заработной платой, получили уравнение регрессии ŷ(x) =0,558935* x0,45826

руб., хБрянская обл.6,9289Владимирская обл.8,7334Ивановская обл.6,4300Калужская обл.8,4343Костромская обл.6,1356Орловская обл.9,4289Рязанская обл.11,0341Смоленская обл.6,4327Тверская обл.9,3357Тульская обл.8,2352Ярославская обл.8,6381Решение:Рисунок 1. Поле корреляцииНа основании поля корреляции можно выдвинуть гипотезу о том, что связь между всеми возможными значениями x и y носит экспоненциальный характер. Предварительное мнение о форме зависимости случайных величин, связь очень слабая или отсутствует, так как точки случайно разбросаны.Степенная модель: y=axb.Проведем процедуру линеаризации переменных, путем логарифмирования, и составим расчетную таблицу № 2.Y=lg y; X= lg x; C = lg alg y =lg a + b*lg xY = C +b*X, получимb = XY- XYX2-X2 = 2,277289-2,521531*0,9028780,001428 = 0,45826C = Y– b*X = 0,902878 – 0,45826*2,521531 = – 0,25264Уравнение регрессии: Y = –0,25264 + 0,45826 *X ŷ(x) = 10-0,25264 * x0,45826ŷ(x) =0,558935* x0,45826Рисунок 2. Корреляционное поле и график линии регрессии.Индекс корреляции:xy = 1 – (y-ŷx)2)y-ӯ2 = 1- 22,57323,462 = 0,194Таблица 3.Шкала Чеддока.Показательтесноты связи0,1 – 0,30,3 – 0,50,5 – 0,70,7 – 0,90,9 – 0,99Характеристикасилы связиСлабаяУмереннаяЗаметнаяВысокаяВесьма высокаяИндекс детерминации: (xy)2 = 0,038Средний коэффициент эластичности:Э = b; Э = 0,46Средняя ошибка аппроксимации: A=1n*iyi - yxiyi*100% = 1/11 * 1,575*100% = 14,3%F-Критерий Фишера:H0 – нулевая гипотеза о статистической не значимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи.Fтабл ( = 0,05; к1 = 1; к2 = 11-1-1=9)Fтабл = 5,12Fфакт = 2xy1-2xy *n-m-1m = 0,0381 – 0,038*11-21 = 0,354Получим Fфакт < Fтабл, H0 – гипотезу о случайной природе, оцениваемых характеристик не отклоняется и признается их статистическая не значимость и ненадежность уравнения регрессии.t-критерий Стъюдента:H0 - гипотеза о случайной природе показателей, т.е. о незначимом их отличие от нуля.tтабл = 2,2622 ( =0,05; n – 2 =9)Рассчитаем стандартные ошибки:S2ост = iyi-yxi2n-m-1 = 22,5733511-2 = 2,5081ma=Sост2*ixi2n22; ma=2,5081*1232707112*811,7025 = 5,6107mb=Sост2n*2; mb=2,508111*811,7025 = 0,0168mρxy=1-ρxy2n-m-1; mρxy=1-0,0389 = 0,3269Расчетные значения критерия равны: ta=ama; ta = 0,558935/5,6107 = 0,0996 < tтабл tb=bmb; tb = 0,45826/0,0168 = 27,3419 > tтабл tρ=ρxymρ; tp = 0,194598/0,3269 = 0,5952 < tтабл Рассчитаем доверительный интервал для a и b. Определим предельную ошибку:a =tтабл *ma = 2,2622*5,6107 = 12,6925b = tтабл *mb = 2,2622*0,0168 = 0,0379a = a ± a; a = 0,5589 ± 12,6925a min = - 12,1336; a max = 13,2514Оцениваемый параметр принимаем за ноль, так как границы интервала принимают отрицательное и положительное значения.b = b ± b; b = 0,45826± 0,0379b min = 0,4203; b max = 0,4962Если прогнозное значение составит: xp = 110%* x;xp = 1,1* 333,5455 = 366,9, то тогда:ŷp = 0,558935*366,90,45826ŷp = 8,3673Рассчитаем ошибку прогноза и доверительный интервал прогноза:mŷp = Sост2*(1+1n+(xp-x)2n*σx2 = 2,5081*(1+111+(366,9-333,5455)211*811,7025) = 1,7460 ŷp = tтабл * mŷp = 2,2622*1,7460 = 3,9499Доверительный интервал прогноза составит:ŷp – ŷp ≤ ŷxp ≤ ŷp + ŷp8,3673 – 3,9499 ≤ ŷxp ≤ 8,3673 + 3,94994,4174 ≤ ŷxp ≤ 12,3172Выводы:При проведении анализа взаимосвязи доли денежных доходов, направленных на прирост сбережений во вкладах, займах, сертификатах и на покупку валюты, в общей сумме среднедушевого денежного дохода и среднемесячной начисленной заработной платой, получили уравнение регрессии ŷ(x) =0,558935* x0,45826Чтобы оценить полученную модель, необходимо было вычислить индекс корреляции и индекс детерминации. Индекс корреляции равен 0,194, на основании шкалы Чеддока, связь между показателями слабая.Индекс детерминации получили 0,038, таким образом, вариация доли денежных доходов, направленных на прирост сбережений во вкладах, займах, сертификатах и на покупку валюты, в общей сумме среднедушевого денежного дохода на 3,8 % объясняется вариацией среднемесячной начисленной заработной платы, а 96,2 % – объясняется факторами не учтенными в модели.Только для степенных функций y=a·xb коэффициент эластичности представляет собой постоянную независящую от x величину (равную в данном случае параметру b). Параметр b в таких функциях имеет четкую экономическую интерпретацию – он показывает процентное изменение результата при увеличении фактора на 1%.