Эконометрика. Вариант 2

ЗАДАЧА 1
Задание:
1. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи.
2. Рассчитайте параметры уравнений парной регрессии, вид функциональной связи для расчета зависит от варианта:
Степенная функция (1, 3, 5 варианты);
Показательная функция (2, 6, 8 варианты);
Равносторонняя гипербола (4, 7 варианты).
3. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.
4. Дайте с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.
5. Оцените с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.
6. Оцените с помощью F-критерий Фишера статистическую надежность результатов регрессивного моделирования.
7. Оцените с помощью t-критерия Стьюдента качество параметров уравнения.
8. Рассчитайте прогнозное значение рез ...

1.Теоретический вопрос:Нелинейные модели регрессии и их линеаризация.
2. Практическая часть: Задача 1.

ВАРИАНТ 2
По территориям Центрального района известны данные за 200х г.
Таблица 1.
Район Средний размер назначенных ежемесячных пенсий, тыс.руб., у Прожиточный минимум в среднем на одного пенсионера в месяц, тыс.руб., х
Брянская обл. 240 178
Владимирская обл. 226 202
Ивановская обл. 221 197
Калужская обл. 226 201
Костромская обл. 220 189
г. Москва 250 302
Московская обл. 237 215
Орловская обл. 232 166
Рязанская обл. 215 199
Смоленская обл. 220 180
Тверская обл. 222 181
Тульская обл. 231 186
Ярославская обл. 229 250

Оцените с помощью t-критерия Стьюдента качество параметров уравнения.Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 10 % от его среднего уровня. Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости α=0,05.Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитической записке.ВАРИАНТ 2По территориям Центрального района известны данные за 200х г. Таблица 1.РайонСредний размер назначенных ежемесячных пенсий, тыс.руб., уПрожиточный минимум в среднем на одного пенсионера в месяц, тыс.руб., хБрянская обл.240178Владимирская обл.226202Ивановская обл.221197Калужская обл.226201Костромская обл.220189г. Москва250302Московская обл.237215Орловская обл.232166Рязанская обл.215199Смоленская обл.220180Тверская обл.222181Тульская обл.231186Ярославскаяобл.229250Решение:Корреляционное поле, построенное по статистическим данным, приведено на рис. 1Рисунок 1Можно предположить, что чем больше размер прожиточного минимума в среднем на одного пенсионера, тем больше при прочих равных условиях размер средней назначенной ежемесячной пенсии. Так как точки поля корреляции располагаются разбросанно от некой прямой линии, не очень плотно, можно предположить, что связь не очень тесная.Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу 2,и рассчитаем необходимые значения:Выборочные средние:x=ixin=264613=203,54;y=iyin=296913=228,38;Выборочные дисперсии:σx2=x2-x2= 42635,54 – 203,542 = 1207,63σy2=y2-y2= 52245,92 – 228,382 = 86,39Средние квадратические отклонения:σx=σx2=1207,63=34,75;σy=σy2=86,39=9,29;Таблица 2. Промежуточные результаты расчетов№xyx*yx^2y^2Yx*Y11782404272031684576002,38423,6822022264565240804510762,35475,5331972214353738809488412,34461,8542012264542640401510762,35473,1851892204158035721484002,34442,7263022507550091204625002,40724,1872152375095546225561692,37510,5781662323851227556538242,37392,6791992154278539601462252,33464,16101802203960032400484002,34421,64111812224018232761492842,35424,69121862314296634596533612,36439,63132502295725062500524412,36589,96Итого2646296960666555426267919730,666244,44Ср. зн-ие203,54228,3846666,5442635,5452245,922,36480,34^21207,6386,3934,759,29Показательная модель имеет вид: y = a * bx.Для построения показательной модели необходимо произвести линеаризацию переменных: lg y = lg a + x*lg b, где Ŷ = lg y; A = lg a; B = lg b.получим Ŷ = A+B*xНайдем параметры:B = x*Y-x*Yx2-x2 ≈0,00028А = ̅Y – B* ̅x ≈ 2,3Получим уравнение: Y = 2,3 + 0,00028*xТеперь необходимо провести потенцирование – операцию обратную логарифмированию:ŷ(x) = 102,3 *(100,00028)xŷ(x) =199,5*1,0006x Отобразим на графике линию регрессии и поле корреляции.Рассчитаем теоретические значения уравнения регрессии, данные занесем в таблицу 3.Таблица 3.Промежуточные результаты расчетов№ŷ(x)y-ŷ(x)(y-ŷ(x))2(y-ӯ)21224,5215,48239,64134,922227,98-1,983,9019490,803227,25-6,2539,0844819,154227,83-1,833,35510765226,10-6,1037,18484006294,69-44,691997,42625007229,877,1350,84561698222,819,1984,43538249227,54-12,54157,274622510224,81-4,8123,104840011224,95-2,958,704928412225,675,3328,455336113235,05-6,0536,5852441Итого3019,06-2709,93586124,88Ср.зн-ие232,24-208,4645087Тесноту связи рассчитаем через индекс корреляции:xy = 1-(y-ŷx)2)y-ӯ2 = 1-2709,93586124,88 = 0,998Величина данного показателя находится в пределах 0≤xy≤ 1.Чем ближе значение индекса корреляции к единице, тем теснее связь рассматриваемых признаков, тем более надежно уравнение регрессии.Для получения выводов с практической значимости синтезированных в анализе моделей показателям тесноты связи дается качественная оценка. Это осуществляется на основе шкалы Чеддока.Таблица 4. Шкала ЧеддокаПоказатели тесноты связи0,1-0,30,3-0,50,5-0,70,7-0,90,9-0,99Характеристика силы связислабаяумереннаязаметнаявысокаявесьмавысокаяСогласно полученным данным, связь весьма высокая.Квадрат индекса корреляции носит название индекса детерминации и характеризует долю дисперсии результативного признака y, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака:(xy)2 = 0,996Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов измениться в среднем результат, если фактор изменится на 1%. Формула для расчета коэффициента эластичности имеет вид:Э=y'x∙xyx,где y'x – значение функции y при среднем значении факторной переменной x.Для показательной функции вида:y=a∙bx, (y'=a∙bx'=a∙lnb∙bx),средний коэффициент эластичности определяется по формуле:Э=x∙lnb.Получим, Э = 203,54 * ln 1,0006 = 0,122Чтобы иметь общее суждение о качестве модели из относительных отклонений по каждому наблюдению, определяют среднюю ошибку аппроксимации:A=1n∙iyi-yxiyi∙100%.Средняя ошибка аппроксимации не должна превышать 8-10%.Таблица 4.Промежуточные результаты расчетов№Ai16,45 20,8732,8340,8152,77617,8873,0183,9695,83102,18111,33122,31132,64Итого52,88Ср.зн-ие4,07 В столбце 2 таблицы 4 рассчитаны ошибки аппроксимации по каждому региону отдельно по формуле: Ai=yi-yxiyi∙100%.Общая величина ошибки составила 52,88%, следовательно средняя ошибка аппроксимации будет определена как А =52,88/13 = 4,07%Оценка значимости уравнения регрессии в целом производится на основе F-критерия Фишера.Выдвинем нулевую гипотезу Н0: о статистической не значимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи.Фактическое значение F-критерия Фишера сравнивается с табличным значением Fтабл (; k1; k2) при уровне значимости и степенях свободы k1 = m и k2 = n – m – 1. При этом если фактическое значение F-критерия больше табличного, то признается статистическая значимость уравнения в целом.Fфакт = 0,9961-0,996 * (13 – 2) = 2739Fтабл = 4,67Fфакт Fтабл – гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность.Проверим статистическую гипотезу Н0 : равенство показателей a, b и ρxy нулю.При ее отклонении принимается альтернативная гипотеза H1 о неравенстве нулю параметров.Для проверки гипотез используется t-критерий Стьюдента.Найдем стандартные ошибки коэффициентов и наблюдаемые значения t-критерия Стьюдента. Случайные ошибки коэффициентов регрессии и индекса корреляции определяются по формулам:ma=iyi-yxi2n-m-1∙ixi2n∙i(xi-x)2;mb=iyi-yxi2n-m-1∙i(xi-x)2;mρxy=1-ρxy2n-m-1.Расчетные значения критерия равны: ta=ama; tb=bmb; tρ=ρxymρ.ma = 2709,9311*554262132*1207,63 = 25,866 ; ta = 200,4725,866 = 7,75mb = 2709,93/1113*1207,63 = 0,125 ; tb = 1,00060,125 = 7,99mpxy = 1-0,998211 = 0,0205 ; tp = 0,9980,0205 = 48,66Табличное значение t-критерия Стьюдента для числа степеней свободы n – 2 = 11 и = 0,05 составит 2,201.Сравним фактические значения t-критерия с табличным.