Прямая на плоскости и в пространстве

Заключение

В данной работе были изучены методы исследования прямой на плоскости и в пространстве, а также практики их применения.
На основе изложенного материала были рассмотрены базовые задачи по следующим темам:
1. Расстояние от точки до прямой в пространстве
2. Определение координат точки пересечения прямой и плоскости в пространстве
3. Определение координат проекции точки на прямую на плоскости, проекции точки на плоскость в пространстве
Так как необходимость изучения прямой на плоскости и в пространстве связана с широким использованием математических методов в современной экономической практике, были предложены и решены конкретные задачи по следующим темам:
- исследование взаимосвязей социально-экономических явлений;
- линейная модель издержек. Точка безубыточности;
- законы спрос ...

Оглавление
ВВЕДЕНИЕ 2
РАЗДЕЛ 1. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ: ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ 3
РАЗДЕЛ 2. МЕТОДОЛОГИЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 11
РАЗДЕЛ 3. ПРАКТИКА ПРИМЕНЕНИЯ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ В ЭКОНОМИКЕ 14
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 19
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 20

Введение

Необходимость изучения основ аналитической геометрии, в частности прямой на плоскости и в пространстве, продиктована широким использованием математических методов в современной экономической практике. Знание основ делает возможным изучение прикладных и экономических наук.
Изучение прямых на плоскости и в пространстве сопровождается решением большого количества задач, среди которых особое место занимают задачи на доказательство и задачи конструктивного характера. Конструктивные задачи трехмерного пространства требуют как формально-логического подхода при их решении, так и знания проекционного чертежа (параллельного проектирования и его свойств).
Объект исследования в данной работе - геометрический элемент – прямая.
Цель работы состоит в изучении методов исследован ия прямой на плоскости и в пространстве, а также практики их применения.
В соответствии с поставленной целью в работе необходимо решить следующие задачи:
1) рассмотреть основные способы задания прямой на плоскости и в пространстве;
2) изучить задачи на взаимное расположение прямых в пространстве;
3) исследовать практический опыт применения прямой на плоскости и в пространстве в экономике.
В работе используются следующие методы: метод координат, метод визуализации данных (функции, графики).
Теоретическую и методологическую основу работы составляют труды отечественных и иностранных ученых по данному вопросу.

Так как cos () = cos , то cos =cos () . Поэтомуcos = = = .В случае, если прямые L 1 и L 2 заданы своими общими уравнениями:L 1: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, — вектор нормали,L 2: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, , — вектор нормали,угол между векторами нормалей равен углу или смежному с ним тупому углу , поскольку эти векторы направлены перпендикулярно прямым. Тогдаcos = cos () = = = .В случае, если прямые L 1 и L 2 заданы уравнениями y = k 1 x + b 1 и y = k 2 x + b 2с углами 1 и 2 между прямыми L 1 и L 2 и осью ОХ, то угол между L 1 и L 2 равен 1 – 2 или 2 – 1. Поэтому tg = tg ( 1 – 2) = = .Исследование прямой в пространстве ученые (Колодко Л.С., Логинов А.С. ) начинают следующими вопросами:канонические уравнения прямой= =, Тогда условия параллельности и перпендикулярностиэтих прямых описываются следующим образом:L 1 L 2 ; L 1 L 2 .Угол между прямыми L 1 и L 2 вычисляется по формуле cos = = = , так как угол между направляющими векторами и данных прямых равен либо углу , либо смежному с ним углу – .2) Уравнение прямой в пространстве как пересечение двух плоскостей (рис. 1.4.) Рис. 1.4. Прямая как пересечение двух плоскостейПараметрическое уравнение прямой в пространстве (рис. 1.5.)Рис. 1.5. Параметрическое уравнение прямойПучок прямых рассматривают Логинов А.С.. Между множеством всех прямых пучка и множеством разбиения единицы имеется взаимно однозначное соответствие, а именно: любая прямая из пучка симеет свои барицентрические координаты , с помощью которых записывается ее уравнение:.Многие исследователи (Финогенов А.А., Финогенова О.Б.) предлагают подробные решения задач по разделу аналитической геометрии – прямая на плоскости, прямая в пространстве. А также включают набор формул и сведений, требуемый для решения предлагаемых задач.Многолетнее преподавание курсов аналитической геометрии других ученых (Алания Л.А., Гусейн-Заде С.М., Дынников И.А. и др.) убедило их в необходимости создание сборника задач. Все теоретические задачи в сборнике сопровождаются упражнениями различной степени сложности, чтобы студент с их помощью незамедлительно мог проверить, усвоил ли он новые алгоритмы и определения.Сборник содержит огромное количество задач, расширенные теоретические сведения, в ответах к ряду задач даны краткие указания.С.К. Соболев и В. Я. Томашпольский в своей работе излагают основы аналитической геометрии прямых на плоскости и в пространстве: различные виды уравнений прямых, исследование их взаимного расположения, приложения к планиметрии и стереометрии. В дополнение разбирают огромное количество примеров разной степени трудности. Включают задачи для самостоятельного решения, которые сопровождаются ответами и указаниями.Бортаковский А.С. приводит основные понятия, теоремы и методы решения задач по всем уравнениям прямой. Описывает некоторые приложения аналитической геометрии в механике, теории оптимизации и математическом анализе.Среди иностранных ученых следует отметить Д. Хилберта. В качестве основы для анализа нашей интуиции пространства, профессор Гильберт начинает свое обсуждение с рассмотрения системы точек, прямых и плоскостей и выводит систему аксиом, объединяющих эти элементы в своих взаимоотношениях. Цель его исследований - обсуждение систематических отношений этих аксиом друг с другом, а также их связь друг с другом в отношении логического развития евклидовой геометрии.Раздел 2. Методология решения задачПри решении задач, прежде всего, обращают внимание на известные величины и в зависимости от них составляют уравнение прямой. Или, наоборот, по известному уравнению анализируют геометрические свойства прямой.Расстояние от точки до прямой в пространствеДано: уравнение прямой в параметрическом виде: r = r0 + l и точкаr1=.Первый способ.Составляем уравнение плоскости, проходящей через точку , перпендикулярно прямой:(r – r1 , l )=0 .Находим точку пересечения прямой и построенной плоскости:(r0 + l – r1 , l )=0, ( l , l )= (r1 – r0 , l ) = (r1 – r0 , l ) / ( l , l ) . Радиус вектор искомой точки будет равен: r2 = r0 + l (r1 – r0 , l ) / ( l , l ) . Находим расстояние между двумя точками (рис. 2.1).Рис. 2.1. Пересечение прямой и плоскостиВторой способ.Строим параллелограмм на векторах и l . Находим его площадь, как модуль векторного произведения и делим на длину основания l (рис. 2.2).Рис. 2.2. Перпендикуляр на прямуюОпределение координат точки пересечения прямой и плоскости в пространствеЕсли прямая задана в виде: то ее пересечение с плоскостью сводится к решению системы трех уравнений с тремя неизвестными (рис. 2.3)Рис. 2.3. Точка пересечения трех плоскостейОпределение координат проекции точки на прямую на плоскости, проекции точки на плоскость в пространствеПроекция точки на прямую (r – r0 , N )=0 на плоскости.Если прямая задана общим уравнением , N = , то составляется уравнение прямой r = r1 + N, проходящей через точку и направляющим вектором l = N . После чего находится точка пересечения этой прямой с исходной прямой: (r1 + N – r0 , N )=0 (N , N )= (r0 – r1 , N ) . Радиус вектор этой точки будет равен: r = r1 + N (r0 – r1 , N ) / (N , N ) (рис. 2.4) .Рис. 2.4. Проекция точки на прямуюАналогично решается задача нахождения проекции точки на плоскость (r – r0 , N )=0 в пространстве. В векторном виде решение выглядит точно так же, как и в плоском случае. Уравнение проектирующей прямой: r = r1 + N , радиус вектор-проекции будет равен: (рис. 2.5)Рис. 2.5. Проекция точки на плоскостьРаздел 3. Практика применения прямой на плоскости и в пространстве в экономикеПрактика применения уравнения прямой в экономике связано с исследованием взаимосвязей социально-экономических явлений.По аналитическому выражению выделяют линейную связь, которая представляет собой статистическую связь между явлениями приближенно выраженную уравнением прямой линии. По направлению классифицируют:- прямую связь - с увеличением или уменьшением значений факторного признака происходит увеличение или уменьшение значений результативного;- обратную связь - значения результативного признака изменяются в противоположном направлении по сравнению с изменением факторного признака.При исследовании взаимосвязей социально-экономических явлений применяется корреляционно-регрессионный анализ, метод, подразумевающий определение формы связи и измерение тесноты связи.Определение формы связи подразумевает:Нахождение уравнения регрессииАприорный теоретический анализ (с ростом факторного признака равномерно растет и результативный)Проверка априорного теоретического анализа с помощью графического анализа, т.е. наглядное представление о наличии и направлении (прямая/обратная) взаимосвязей между признаками.При прямолинейном уравнении регрессии величина явления изменяется приблизительно равномерно в соответствии с изменением величины влияющего фактора.Коэффициент регрессии а1 показывает, на сколько в среднем отклоняется величина результативного признака Y при отклонении факторного признака X на одну единицу. При: К примеру, между стоимостью основного капитала и выпуском продукции существует прямолинейная связь, выраженная уравнением прямой. Необходимо найти параметры а0 и а1.Эта задача решается методом наименьших квадратов при помощи системы нормальных уравнений. Все расчеты ведутся по данным выборочного наблюдения.Нахождение параметров позволит определить теоретические значения Y для разных значений xi. Причем а0 и а1 должны быть такими, , чтобы было достигнуто максимальное приближение к первоначальным значениям y теоретических значений Y.Линейная модель издержек. Точка безубыточности.При производстве x единиц любой продукции совокупные издержки (затраты) C(x) состоят из двух слагаемых ̶ постоянных (фиксированных) издержек F и переменных издержек V : C = F +V .Постоянные издержки F − это издержки, не зависящие от числа единиц произведенной продукции. Они включают в себя амортизацию, аренду помещения, проценты по займам и т.п.Переменные издержки V − это издержки, напрямую зависящие от количества произведенной продукции. Они включают в себя стоимость сырья, рабочей силы и т.п.В простейшем случае переменные издержки прямо пропорциональны x − количеству произведенной продукции. Коэффициент пропорциональности a − это переменные затраты по производству одной единицы продукции (V = = a x ).Если обозначить через b фиксированные затраты, то получится уравнение, которое называют линейной моделью издержек:C(x) = b + ax .Совокупный доход, или выручка, R(x) , получаемый предприятием от продажи x единиц продукции, определяется формулойR(x) = px ,где p ─ цена единицы товара.Если произведено и продано x единиц продукции, то прибыль P(x)определяется формулойP(x) = R(x) - C(x) .Точка, в которой прибыль обращается в нуль, называется точкой безубыточности.Пример. Известно, что фиксированные издержки производства составляют 10 тыс. руб. в месяц, переменные издержки ̶ 30 руб. за единицу продукции, выручка ̶ 50 руб. за единицу продукции. Требуется составить функцию прибыли и построить ее график.Решение. По условию задачи фиксированные или постоянные издержки F =10000. Так как переменные издержки по производству одной единицы продукции по условию задачи равны 30 руб. ( a = 30), то переменные издержки, зависящие от количества произведенной продукции, V = 30 x , где x ̶ количество произведенной продукции. Таким образом, совокупные издержки составляют C(x) 10000 30x . Совокупный доход, получаемый от продажи x единиц продукции, определяется следующим образом R(x) 50 x .Построим графики функций дохода и издержек (рис 3.1.).Рис. 3.1. Графики функций дохода и издержекТочку пересечения прямых C(x) 10000 30x и R(x) 50 x найдем следующим образом: C(x) R(x) , тогда 1000030x 50x , следовательно, x 500, C(x) R(x) 25000.Прибыль, получаемую предприятием, можно найти по формуле P(x) R(x) C(x) 50 x (10000 30 x) 20 x 10000, P(x) 20 x 10000 .Построим график функции прибыли. При x 500 P(x) 0. Следовательно, координаты первой точки (500;0) . При x 600 P(x) 2000; получили вторую точку (600; 2000) . Через две точки на плоскости проведем прямую, которая является графиком функции P(x) (рис. 3.2.).Рис. 3.2. График функции P(x)Как видно из графика, при малых значениях x прибыль отрицательна (график P(x) расположен ниже оси Ox ), т.е. производство убыточно. При увеличении x прибыль возрастает, в точке с абсциссой x 500 она обращается в нуль (точка безубыточности) и после этого становится положительно.3. Законы спроса и предложения. Количество товара, которое покупатели приобретут на рынке, зависит от цены на этот товар. Соотношение между ценой и количеством купленного товара называется функцией или законом спроса.