Общие процессы гибели размножения

В процессе написания работы были рассмотрены общие понятия теории случайных процессов, а также описаны основные характеристики, которыми описываются случайные процессы. Были рассмотрены определенные виды случайных процессов, такие как Марковские и ПГР.
Также в работе были приведены примеры случайных процессов и примеры нахождения их основных характеристик. Кроме этого были приведены примеры построения моделей процессов с использованием схем ПГР и рассчитаны предельные вероятности для рассматриваемых случаев.
 

...

Содержание

Введение 3
1. Общие сведения о теории случайных процессов 4
1.2 Случайный процесс и его характеристики 4
1.2 Марковские процессы, системы массового обслуживания. Общие сведения 7
1.3 Уравнения Колмогорова 10
2. Процессы гибели и размножения 13
2.1 Общие сведения 13
2.2 Примеры использования схем процессов гибели размножения 16
Заключение 21
Литература 22

«Имитационное моделирование как необходимая часть инженерного образования сложилось в середине прошлого, двадцатого века, воспринятое поначалу как своеобразный численный метод решения сложных задач» .
«Во многих случаях модель может быть представлена в виде конструкций из математических символов. В инженерной практике часто возникает задача моделирования процессов случайной смены состояний в исследуемом объекте. Большой класс случайных процессов составляют процессы без последействия, которые в математике называют марковскими процессами.» Частным случаем таких процессов и являются процессы гибели размножения (далее ПГР).
Зачастую ПГР относятся к сфере биологии и экологии, однако они также находят и широкое применение для описания случайных процессов в таких сферах как инженерия, экономика, физика и пр. Что является неоспоримым фактом актуальности рассмотрения данной темы.
Объектом данной работы является теория случайных процессов. Предметом являются непосредственно сами процессы гибели размножения.
Целью работы является рассмотрение случайных процессов, в частности ПГР, и их характеристик. В соответствии с целью работы автор ставит перед собой следующие задачи:
- дать определение теории случайных процессов и самому термину «случайный процесс», привести примеры случайных процессов;
- рассмотреть основные характеристики случайных процессов, а также условия перехода системы в предельный стационарный режим;
- дать определение Марковским процессам и ПГР;
- рассмотреть примеры использования схем ПГР.

Если обозначить pij в качестве вероятности перехода случайного процесса (системы S) из состояния i в состояние j, приняв, что число состояний системы конечно и равно m, тогда систему можно охарактеризовать следующей матрицей перехода P1, которая будет содержать все вероятности перехода:P1=p11 p12 … p1mp21 p22 … p2m… … … …pm1 pm2 … pmm(3)Тогда по каждой строчке будет верно следующее утверждение:j=1mpij=1, где i=1, 2,…, m(4)Обозначим pij(n) – вероятность того, что в результате n шагов система перейдет из состояния i в состояние j. При этом при i=1 имеем вероятности перехода, образующие матрицу P1, т.е. pij1=pij.Чтобы найти pij(n), зная pij, рассмотрим промежуточное (между i и j) состояние r, т.е. будем считать, что за k шагов из состояния i система перейдет в промежуточное состояние r с вероятностью pir(k), а затем за (n-k) шагов из промежуточного состояния r она перейдёт в конечное состояние j с вероятностью prj(n-k). Тогда по формуле полной вероятности:pijn=r=1mpirkprjn-k(5)Формула (5) называется равенством Маркова.При анализе случайных процессов с дискретными состояниями удобно пользоваться геометрической схемой – графом состояний. В большинстве случаев состояния отображаются в виде прямоугольников или кружков, переходы из одного состояния в другое – в виде стрелок или ориентированных дуг.«На практике часто приходится сталкиваться с системами, предназначенными для многоразового использования для решения однотипных задач. Возникающие при этом процессы получили название процессов обслуживания, а системы – систем массового обслуживания.»Обслуживающие единицы системы называются каналами (например, телефоны, компьютеры и т.д.). А интенсивность, с которой в систему поступают заявки, называется потоком заявок.Поток событий – это последовательность однородных событий, которые следуют одно за другим в случайные моменты времени. Он характеризуется интенсивностью λ – частотой появления событий или средним числом событий, которые поступают в систему массового обслуживания в единицу времени.Регулярный поток событий возникает в случае, когда события следуют одно за другим через определенные равные промежутки времени.Стационарный поток событий возникает в случае, когда его вероятностные характеристики не зависят от времени. В частности интенсивность стационарного потока есть величина постоянная, т.е. λ(t)= λ.Поток без последействия возникает в случае, когда для любых двух непересекающихся участков времени τ1 и τ2 число событий, число событий на одном из этих участков не зависит от числа событий, которые попадают на другие.Ординарный поток событий возникает в случае, когда вероятность попадания на малый участок времени ∆t двух и более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одного события.«Поток событий называется простейшим (или стационарным пуассоновским), если он одновременно стационарен, ординарен и не имеет последействия.»1.3 Уравнения КолмогороваДля нахождения значений вероятностей состояний используют систему дифференциальных уравнений Колмогорова. Рассмотрим ее на примере Марковского процесса описывающего состояние двух узлов какого-либо устройства, каждый из которых может в случайный момент времени выйти из строя. После чего начинается ремонт узла, который длится неизвестное время. За возможные состояния системы примем: S0 – оба узла исправны, S1 – первый узел ремонтируется (второй исправен), S2 – второй узел ремонтируется (первый исправен), S3 – оба узла ремонтируются. Схема данного случайного процесса изображена на рис.2.Переходы из состояния S0 в S3 и S1 в S2 отсутствуют ввиду предположения независимости поломок узлов друг от друга. И вероятностями одновременного выхода обоих узлов из строя, а также одновременного окончания их ремонта, можно пренебречь. Рисунок 2.Предположим, что переходы в каждое из состояний системы проходят под воздействием простейших потоков событий с интенсивностями λij(i, j=0, 1, 2, 3). Вероятностью i-го состояния называется вероятность pi(t) того, что в момент t система будет находиться в состоянии Si. Сумма этих вероятностей, что является очевидным, равна единице:i=03pit=1(6)Для такого процесса система дифференциальных уравнений (ДУ) Колмогорова будет выглядеть следующим образом:p0'=λ10p1+λ20p2-(λ01+λ02)p0p1'=λ01p0+λ31p3-λ10+λ13p1p2'=λ02p0+λ32p3-λ20+λ23p2p3'=λ13p1+λ23p2-(λ31+λ32)p3(7)«Сформулируем правило составления уравнений Колмогорова: В левой части каждого из них стоит производная вероятности i-го состояния. В правой части – сумма произведений вероятностей всех состояний (из которых идут стрелки в данное состояние) на интенсивности соответствующих потоков событий минус суммарная интенсивность всех потоков, выводящих систему из данного состояния, умноженная на вероятность данного (i-го состояния).»Для решения системы ДУ необходимо дополнительное условие (6), а также заданные начальные условия для вероятностей состояний, что является требованием для решения ДУ. Вышеуказанную систему (7) естественно решать в начальный момент, когда оба узла исправны, а вероятности соответственно равны:p00=1, p10=p20=p30=0 (8)«Уравнения Колмогорова дают возможность найти все вероятности состояний как функции времени. Особый интерес представляют вероятности системы pi(t) в предельном стационарном режиме, т.е. при t→∞, которые называются предельными (финальными) вероятностями состояний.В теории случайных процессов доказывается, что если число состояний системы конечно и из каждого из них можно (за конечное число шагов) перейти в любое другое состояние, то предельные вероятности существуют.» Предельная вероятность состояний также имеет четкий смысл – она показывает среднее относительное время нахождения системы в таком состоянии. Если предельная вероятность p0 состояния S0 равна 0,5, то это надо понимать так, что половину всего времени система находится именно в этом состоянии.Учитывая, что предельные вероятности являются величиной постоянной, то производные от них равны нулю. А значит, подставив эти нулевые значение в уравнения Колмогорова, мы получим систему линейных алгебраических уравнений, описывающих стационарный режим. Для нашей рассматриваемой системы состояний такая система уравнений будет иметь вид:(λ01+λ02)p0=λ10p1+λ20p2λ10+λ13p1=λ01p0+λ31p3λ20+λ23p2=λ02p0+λ32p3(λ31+λ32)p3=λ13p1+λ23p2(9)Систему (9) можно составить по размеченному графу, если руководствоваться следующим правилом: «слева в уравнениях стоит предельная вероятность данного состояния pi, умноженная на суммарную интенсивность всех потоков, ведущих из данного состояния, а справа – сумма произведений интенсивностей всех потоков, входящих в i-е состояние, на вероятности тех состояний, из которых эти потоки исходят.»2. Процессы гибели и размножения2.1 Общие сведенияПроцессы (цепи) гибели и размножения (ПГР) являются частным видом Марковских процессов (цепей), где переходы между состояниями системы S0, S1, S2, …, Sn могут осуществляться из любого состояния только в состояния с соседними номерами, т.е. из состояния Sk возможны переходы только в состояние Sk-1 или в состояние Sk+1. А следовательно, для данных процессов действительны все характеристики Марковских процессов.2476554356000Вид графа для таких процессов приведен на рис.3. Рисунок 3.Также имеют место быть и частные случаи, когда переходы возможны только в состояние Sk+1 (чистое размножение - ПЧР) или в состояние Sk-1 (чистая гибель - ПЧГ). Однако, так как целью данной работы является рассмотрение общих ПГР, поэтому ПЧГ и ПЧР рассматриваться далее не будут.«Для процессов этого класса существуют весьма эффективные методы построения финальных вероятностей состояний, т. е. вероятностей состояний в предельном стационарном режиме.» Это вытекает из того факта, что состояний, в которые может переходить текущее состояние всего два.Рассмотрим случай, когда все потоки событий, переводящие по стрелкам графа (рис.3), простейшие с соответствующими интенсивностями λk,k+1 или λk+1,k.По графу, представленному на рис. 3 составим и решим алгебраические уравнения для предельных вероятностей состояний (существование таких вероятностей следует из возможности перехода из каждого состояние в каждое другое и конечного числа состояний).В соответствии с правилом составления уравнений Колмогорова, описанных в разделе 1.