Фракталы. Снежинка Кохха

Заключение.

Фрактальная графика - это не просто множество самоповторяющихся изображений, это модель структуры и принципа любого сущего. Вся наша жизнь представлена фракталами. Не только визуальными, но ещё и структура этого изображения отражает нашу жизнь. Взять, к примеру, ДНК, это всего лишь основа, одна итерация, а при повторении… появляется человек! И таких примеров много. Нельзя не отметить широкое применение фракталов в компьютерных играх, где рельефы местности зачастую являются фрактальными изображениями на основе трёхмерных моделей комплексных множеств и броуновского движения. Фрактальная графика необходима везде, и развитие "фрактальных технологий" - это одна из немаловажных задач на сегодняшний день.

...

Оглавление
Введение. 1
Кривая Коха. 2
Свойства кривой 2
Другие фракталы – варианты «снежинки Коха». 4
Фракталы. 7
Использование фракталов в науке и технике. 12
Заключение. 14
Список литературы. 15

Введение.

Разветвления трубочек трахей, листья на деревьях, вены в руке, река, бурлящая и изгибающаяся, рынок ценных бумаг – многие объекты в живой и неживой природе - это все фракталы. Представители древних цивилизаций, ученые, изобретатели, математики и артисты, как и все остальные обитатели этой планеты, были зачарованы фракталами и их свойствами и применяли из в своей работе.
Понятия фрактал и фрактальная геометрия, появившиеся в конце 70-х, с середины 80-х прочно вошли в обиход математиков и программистов. Слово фрактал образовано от латинского fractus и в переводе означает состоящий из фрагментов. Оно было предложено Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался.

Приведем примеры лишь некоторых из них:ВариантИллюстрацияПолучение1D, 85°, уголФрактал CesaroФрактал Cesaro - вариант кривой Коха с углом между 60° и 90 ° (здесь 85°)1D, 90°, уголКвадратичная кривая 1 типаПервые 2 итерации1D, 90°, уголКвадратичная кривая 2 типаПервые 2 итерации. Фрактальная размерность 1,5 (точно посередине между размерностью 1 и 2), поэтому часто используется при изучении физических свойств нецелых фрактальных объектов2D, треугольникиПоверхность КохаРасширения кривой Коха на 3D (первые 3 итерации)2D, 90°, уголКвадратичная поверхность 1 типаРасширение квадратичного кривой 1 типа, соответствующее "вывернутой губке Менгера"[1]. На изображении слева - фрактал после второй итерацииКвадратичная поверхность (анимация).2D, 90°, уголКвадратичная поверхность 2 типаРасширение квадратичного кривой 2 типа. На изображении слева - фрактал после первой итерации2D, сферыHaines сферическая снежинка (большой зелёный объект)Eric Haines разработал фрактал сферическая снежинка, который является трехмерной версией снежинки Коха (используются сферы)Табл .1. Виды фракталов – разновидности «снежинки Коха».Фракталы.В математике такие самоподобные объекты называются фракталами. То есть любая часть фрактала подобна всему множеству целиком.Примеры таких кривых \ или объектов, (кроме, уже рассмотренной кривой Коха): множество Кантора — нигде не плотное несчётное совершенное множество. Модифицировав процедуру, можно также получить нигде не плотное множество положительной длины; Множество Кантора. треугольник Серпинского («скатерть») и ковёр Серпинского — аналоги множества Кантора на плоскости; Треугольник и «ковер» Серпинского. губка Менгера — аналог множества Кантора в трёхмерном пространстве; Первые 5 итерацийНа 6й итерации примеры Вейерштрасса и Ван дер Вардена нигде не дифференцируемой непрерывной функции; Кривая Вейерштрассе. кривая Пеано — непрерывная кривая, проходящая через все точки квадрата; Кривая Пеано. кривая Леви — Получается, если взять половину квадрата вида /\, а затем каждую сторону заменить таким же фрагментом, и, повторяя эту операцию, в пределе получим кривую Леви; Кривая Леви. Кривая Минковского — классический геометрический фрактал, предложенный Минковским. Начальной фигурой является отрезок, а генератором - является ломаная из восьми звеньев (два равных звена продолжают друг друга) Кривая Минковского. Кривая дракона — Берём отрезок, сгибаем его пополам. Затем многократно повторяем итерацию. Если после этого снова разогнуть получившуюся (сложенную) линию так, чтобы все углы были равны 90°, мы получим драконову ломаную.Кривая Дракона.Дерево Пифагора — разновидность фрактала, основанная на фигуре, известной как «Пифагоровы штаны».Дерево ПифагораМножество Жюлиа - если выбрать точку на фрактале Мандельброта и увеличить ее, можно получить фрактал ЖюлиаМножество Жюлиа.Использование фракталов в науке и технике. Фракталы широко применяются как в природе (деревья, листы, нейронные сети, нервные и сосудистые системы имеют так же свойство самоподобности), и в последнее время в науке и технике.В физике фракталы используются при моделировании нелинейных процессов, таких как пламя, диффузные процессы, в моделировании облаков и течении жидкости, в моделировании пористых материалов, в нефтехимии.