Становление численных методов и их практическое использование (в контексте разностных уравнений)

Заключение

Таким образом, можно подвести следующие итоги и сделать обобще-ния по работе в целом.
Вычислительная математика начала свое развитие достаточно давно и в своем движении прошла три этапа:
I. Первый этап начался 3-4 тысячи лет назад. Он был связан с несложными задачами арифметики, алгебры и геометрии. Например, ведение конторских книг, вычисление площадей и объемов, расчетами простейших механизмов. Вычислительные средства- палочки, пальцы, камешки и вершина- счеты.
II. Второй период начался с Ньютона. В этот период решались задачи астрономии, геодезии и расчета механических конструкций, сводящиеся либо к обыкновенным дифференциальным уравнениям, либо к алгебраическим системам с большим числом неизвестных. Вычислительные средства- таблицы элементарных функций, арифмометры и логари ...

Содержание

Введение 3
1. История численных методов (этапы развития численных методов) 7
2. История разностных уравнений 16
3. Применение разностных уравнений в сфере механики 18
Заключение 24
Список используемой литературы 26

Введение

Современное развитие науки и техники тесно связано с использованием ЭВМ, ставшим рабочим инструментом учёного, инженера, конструктора. ЭВМ позволяет строить математические модели сложных устройств и процессов, при этом резко сократить время и стоимость инженерных разработок.
Широкое использование ЭВМ способствовало развитию вычислительной математики (прикладной математики). Как и любая наука, математика представляет собой сплав «классической» (теоретической) науки и прикладной науки, в роли последней выступает область вычислительных методов.
В основе вычислительной математики лежит решение задач математического моделирования численными методами. Решение задач этими методами даёт приближенное решение, но в ряде случаев это выгодно, так как не всегда представляется возможность разр ешить математическую задачу аналитически, а методы решения настолько громоздки и трудоемки, то полученное решение становится приемлемым для проектного применения.
Разработанные на сегодняшний момент численные методы перекрыли практически всю классическую математику моделирования. Применение приближенных численных методов во многих случаях более предпочтительно даже тогда, когда известен точный метод решения, так как достаточная точность и небольшие затраты времени при использовании ЭВМ обеспечивают получение ценных результатов, не прибегая к громоздким выкладкам. Это обосновывает актуальность данной темы.
Главная задача вычислительной математики - фактическое нахожде-ние решение с требуемой точностью, тогда как классическая математика решает в основном задачи существования и свойств решения.
За последние 30 лет появилось довольно большое количество работ, посвященных данной тематике.
В области задач подобного класса в области механики наибольшее число работ посвящено нестационарному горизонтальному движению тела под свободной поверхностью тяжелой жидкости. Первые результаты, став-шие классическими, получены при помощи метода конечных разностей в работах H. J. Haussling и R.M. Coleman, где рассмотрено течение несжи-маемой жидкости, вызванное равномерным ускорением до постоянной скорости кругового цилиндра из состояния покоя. Задача исследовалась в полной нелинейной постановке, свободная поверхность описывается однозначной функцией. Изучен период разгона до постоянной скорости и момента появления крутых волн. Описаны профили свободной поверхности, а также распределение давления по контуру. Полученные результаты сравниваются с соответствующим линейным стационарным решением. Исследован переход по параметру из режима глубокого погружения, где нелинейные эффекты незначительны, к режимам малых отстояний от свободной поверхности, где линейная теория дает непри-емлемые результаты.
Особого внимания заслуживает методика использования подвижной системы координат, получившая широкое распространение и позволившая рассмотреть широкий круг задач (обзор H. J. Haussling). S.P. Shanks и J. F. Thompson про помощи метода конечных разностей и криволинейных координат рассмотрели систему уравнений Навье-Стокса для задачи о разгонном и колебательном движении контура под свободной поверхностью. Жидкость предполагается вязкой. Приведены результаты расчётов гидродинамических реакций крылового профиля и кругового цилиндра. Более подробное описание используемого численного метода приведено в обзорной работе J. F. Thompson, Z.U. Warsi и C. W. Mastin. Разгон крыла и эллиптического контура рассмотрен S.M. Yen, K.D. Lee, T. J. Akai. Используется метод конечных элементов для вычисления поля скоростей.
Проблемы регулирования современных вопросов по теме «Численные методы» касаются М. А. Кузьмин, Д. Л. Лебедев, Б. Г. Попов в монографии «Прочность, жесткость, устойчивость элементов конструкций. Теория и практикум. Расчеты на прочность элементов многослойных композитных конструкций». Данная книга была выпущена в издательстве «МГТУ им. Н. Э. Баумана» в 2012 году, содержит 344 с.
Книга входит в серию учебных пособий «Прочность, жесткость, устойчивость элементов конструкций. Теория и практикум» и содержит описание методов расчета на прочность стержневых конструкций, пластин и оболочек с использованием метода конечных элементов. Рассмотрены формулировки задач статики, динамики, устойчивости и тепло-проводности. Для решения этих задач предложены алгоритмы: численного интегрирования, решения задач на собственные значения, решения нестационарных задач. Представлено множество примеров решения практических задач. Учебное пособие предназначено для студентов высших учебных заведений, а также аспирантов, преподавателей и проек-тировщиков.
Ряд актуальных проблем был затронут в книге «Численные методы в примерах и задачах». В. И. Киреев, А. В. Пантелеев определил актуальность и новизну этой темы в своем исследовании, опубликованном в 2008 году в издательстве «Высшая школа».
Также в работе использовались некоторые другие источники, пред-ставленные в списке литературы.
Целью данной работы является обоснование значимости становления численных методов и их практическое использование в контексте разност-ных уравнений.
В соответствии с поставленной целью необходимо решить ряд задач, таких как:
 рассмотреть историю становления численных методов, этапы их развития;
 кратко раскрыть историю становления разностных уравнений;
 описать особенности применения разностных уравнений в области механики в примерах и задачах.
Объектом исследования являются численные методы, предметом – их практическое использование в области механики.

а) прямые или “точные” методы;
б) итерационные методы или методы последовательных приближений [8, с. 98].
Рассмотрим простейшие системы линейных алгебраических уравнений - разностные уравнения, для которых матрица имеет специальный вид (например, является трехдиагональной). Нужно отметить, что на практике приходится встречаться с системами разностных уравнений очень высокого порядка.
Разностные уравнения появляются, в частности, при аппроксимации дифференциальных уравнений математической физики. При этом приходится искать функции двух или трех переменных, заданных на сетке, т. е на дискретном множестве точек, число которых достигает десятков и даже сотен тысяч. Для определения сеточных функций получаются системы линейных алгебраических уравнений (разностных уравнений), для которых характерны два обстоятельства:
1) матрица А имеет специальный вид (имеет много нулевых элементов);
2) число уравнений очень велико (104 - 105) [4, с. 63].
Хотя история развития разностных уравнений насчитывает уже более 200 лет, начиная с работ JL Эйлера, И. Вернули, Кондорсе, Пуассона, а история развития асимптотической теории сингулярно возмущенных уравнений более 150 лет, начиная с работ Лиувиля, Шлезингера, Биргофа, но интенсивное развитие обеих теорий многими известными Математиками разных стран мира началось около 40 лет назад и продолжается до настоящего времени. Вызвано оно было появлением многочисленных приложений этой теория в сама различных областях: гидродинамика, гемодинамика,' теория колебаний, физика полупроводников, химическая кинетика, теория управления и автоматического регулирования, экономика, а в последнее время- биология и экология. Причем изучение именно периодических решений в таких моделях представляет значительный интерес.
Рассмотрим непосредственно применение разностных уравнений в области механики на конкретных примерах.
3. Применение разностных уравнений в сфере механики 
Задача №1. Пример задачи, приводящей к интегрированию дифференциальных уравнений методом разделения переменных.
При движении тела в неоднородной среде сила сопротивления изменяется по закону  Н,
где v – скорость тела в м/с, а s – пройденный путь в метрах. Определить пройденный путь как функцию времени, если начальная скорость v0=5 м/с.
Решение.
Будем считать, что движение происходит вдоль оси 0Х, и что при t=0 тело находилось в начале координат, тогда проекция на ось 0Х силы, действующей на тело, может быть записана в виде
.
С учётом этого выражения, имеем следующее уравнение движения (считая массу тела m=1 кг):
, (1)
которое дополняется начальными условиями:
, (2)
Решение уравнения второго порядка (1) можно свести к двум последовательным интегрированиям дифференциальных уравнений первого порядка. Чтобы получить первое уравнение, перепишем (1) в виде:
, (3)
и домножим на dt левую и правую части (3), учитывая при этом, что dx=vxdt, получим:
, или (4)
Это уравнение с разделяющимися переменными (вида (1.5) из Раздела №1 Части I). Очевидно, что оно, дополняется начальным условием, следующим из (2):
(5)
Разделив переменные в (4), получим:
,
вычисляя данные интегралы, получим частный интеграл уравнения (4) (в форме (В.4) из Введения к Части I):
(6)
Выразив отсюда vx, будем иметь частное решение уравнения (4) (в форме (В.6) из Введения к Части I):
(7)
Заменяя теперь в (7) :
,
мы снова получаем уравнение с разделяющимися переменными (вида (1.1) из Раздела №1 Части I):
(8)
Разделяя в (8) переменные, с учётом начального условия (2), ищем частный интеграл этого уравнения (в виде (1.4) из Раздела №1 Части I):
(9)
Вычисляя интегралы в (9), получим:
(10)
- частный интеграл уравнения (8) в форме (В.4) из Введения к Части I. Выражая отсюда x, получим частное решение уравнения (8):
, (11)
которое одновременно является и частным решением уравнения движения (1), удовлетворяющим начальным условиям (2), то есть, представляет собой закон движения тела (координата x, (или в данном случае путь), как функция времени). Таким образом, решение исходного уравнения движения второго порядка (1) в процессе решения задачи было сведено к интегрированию двух уравнений первого порядка с разделяющимися переменными (4) и (8) [2, с. 110].
 Задача №2. Пример задачи, приводящей к интегрированию линейного обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка.
Тело К, размерами которого можно пренебречь, установлено в верхней точке А шероховатой поверхности неподвижного полуцилиндра радиуса R. Какую начальную горизонтальную скорость , направленную по касательной к цилиндру, нужно сообщить телу К, чтобы оно начав движение, остановилось на поверхности цилиндра, если коэффициенты трения скольжения при движении и покое одинаковы и равны .
Решение:
Расставляем силы, действующие на тело, и записываем второй закон Ньютона:
Спроектируем данное равенство на направление движения и перпендикулярное ему. Эти направления указаны на рисунке векторами и . Таким образом, для описания движения мы используем естественный способ. В результате получим:
(1)
Здесь учтено, что центростремительное ускорение:
,
а проекция:
.
Сделаем в первом уравнении в (1) замену переменной - перейдем от дифференцирования по времени к дифференцированию по углу :
(т.к. )
С учетом этой замены перепишем (1):
(2)
Домножая второе уравнение на , и вычитая из первого, получим:
(3)
Это уравнение типа (2.1) (из Раздела №2 Части I), в котором независимой переменной вместо t является ; неизвестной функцией вместо ;
; .
Уравнение (3) дополняется начальным условием:
(4)
С учетом указанных обозначений, используя формулу (2.9) (из Раздела №2 Части I), решение уравнения (3) можно записать в виде:
(5)
Вычисляя с помощью интегрирования по частям интервалы в (5) , окончательно получим:
(6)
По условиям задачи тело должно остановиться на поверхности; т.е. при каком-то угле .
Подставляя вместо в (6) выразим оттуда :
(7)
Значение угла можно выразить через , поскольку ; то из уравнений (2) получим:
(8)