Задачи по эконометрике Парный регрессионно-корреляционный анализ

3 задачи, январь 2017 оценка 5, задания финансовый универ при правительстве РФ, заказывала за 1200 + комиссия ...

2. Множественный корреляционно-регрессионный анализ.
По данным, представленным в таблице, изучается зависимость индекса человеческого развития y от переменных:
 х2 – фактическое конечное потребление домашних хозяйств по паритету покупательной способности на душу населения (Россия = 100);
 х3 – индекс потребительских цен в %;
 х6 – расходы на здравоохранение, % к ВВП.
Таблица 8
Исходные данные
Страны y x2 x3 x6
Австралия 0,97 189 128 8,5
Австрия 0,955 190 119 11
Белоруссия 0,826 81 578 5,8
Бельгия 0,953 182 120 11,8
Великобритания 0,947 217 119 9,3
Германия 0,947 193 116 8,1
Дания 0,955 194 120 7
Индия 0,612 20 199 4,1
Испания 0,955 167 120 9,7
Италия 0,951 174 122 9,7
Канада 0,966 199 120 10,9
Казахстан 0,804 61 212 4,3
Китай 0,772 86 120 5,1
Латвия 0,866 102 176 8,1
Нидерланды 0,964201 121 10,8
Норвегия 0,971 223 124 9,7
Польша 0,88 104 128 7,1
Россия 0,817 100 304 5,1
США 0,956 276 125 16,2
Украина 0,796 103 262 7
Финляндия 0,959 186 115 11,7
Франция 0,961 190 117 11
Чехия 0,903 122 122 7,6
Швейцария 0,96 207 108 11,3
Швеция 0,963 194 115 9,9

Требуется:
1) Осуществить выбор факторных признаков для построения двухфакторной регрессионной модели.
2) Рассчитать параметры модели.
3) Для оценки качества всего уравнения регрессии определить:
 линейный коэффициент множественной корреляции;
 коэффициент детерминации.
4) Осуществить оценку значимости уравнения регрессии.
5) Оценить с помощью t-критерия Стьюдента статистическую значимость коэффициентов уравнения множественной регрессии.
6) Оценить влияние факторов на зависимую переменную по модели. Для этого рассчитайте:
 β-коэффициенты;
 коэффициенты эластичности.

1. Парный регрессионно-корреляционный анализ
По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (Y, млн. руб.) от объема капиталовложений (X, млн. руб.)
Требуется:
1) Построить поле корреляции и сформулировать гипотезу о форме связи.
2) Найти параметры уравнения линейной регрессии и дать ему экономическую интерпретацию.
3) Оценить тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.
4) Проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (α = 0,05) и с помощью средней относительной ошибки аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.
5) Проверить выполнимость предпосылок МНК (на гетероскедастичность проверить с помощью критерия Голдфельда-Квандта, на автокорреляцию – с помощью критерия Дарбина- Уотсона)
6) Рассчитать параметры уравнений степенной и гиперболической регрессий. Дать интерпретацию уравнению степенной регрессии. Приведите графики построенных уравнений регрессии.
7) Рассчитать индексы корреляции и детерминации.
8) Оценить значимость построенных моделей регрессий с помощью F-критерия Фишера и средней относительной ошибки аппроксимации. Сделать выводы.
9) С помощью сравнения основных характеристик выбрать лучшее уравнение регрессии и сделать вывод.
10) Осуществите прогнозирование среднего показателя Y при уровне значимости α = 0,05, если прогнозное значение фактора Х составит 80% от его максимального значения. Определите доверительный интервал прогноза.
11) По каждой модели рассчитайте коэффициент эластичности результата y к фактору х и дайте качественную интерпретацию полученного результата.
Таблица 1
Исходные данные
X 26 18 33 42 41 44 15 27 41 19
Y 43 28 51 62 63 67 26 43 61 33

Выполним пункты 6-8 для гиперболической модели.6) Построение гиперболической модели парной регрессии.Уравнение гиперболической регрессии: .Произведем линеаризацию модели путем замены . В результате получим линейное уравнение Рассчитаем его параметры по данным следующей рабочей таблицы.Таблица 5Рабочая таблица№ п/пzyzy11,41501,63352,00212,311341,60601,39401,94310,03222,0921,25531,44721,57571,816630,1203-2,12034,49560,076388,0931,51851,70762,30592,593051,2999-0,29990,09000,00610,8941,62321,79242,63492,909563,4055-1,40551,97540,023204,4951,61281,79932,60112,901962,07730,92270,85140,015234,0961,64351,82612,70093,001166,05040,94960,90170,014372,4971,17611,41501,38321,664125,66250,33750,11390,013470,8981,43141,63352,04882,338143,0086-0,00860,00010,00022,0991,61281,78532,60112,879462,0773-1,07731,16060,018176,89101,27881,51851,63521,941831,58551,41452,00090,043216,09Сумма14,567216,558321,489024,356813,53270,2392118,10Значения параметров a и b линейной модели определим, используя данные таблицы Уравнение регрессии имеет вид: .7) Определим индекс корреляции Связь между показателем у и фактором х можно считать достаточно сильной, так как . Коэффициент детерминации Вариация результативного признака у (объемом выпуска продукции) на 93,7% объясняется вариацией фактора х (объемом капитала).8) Рассчитаем F-критерий Фишера:Так как для α = 0,05; , , уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое, так как .Определим среднюю относительную ошибку аппроксимации:В среднем расчетные значения для степенной модели отличаются от фактических значений на 7,72%, что находится в пределах нормы, то есть качество модели хорошее.9) Выбор лучшей модели.Для выбора лучшей модели построим сводную таблицу результатов.Таблица 6Сводная таблица результатовКоэффициент детерминации F-критерий ФишераКоэффициент (индекс) корреляцииОтносительная ошибка Линейная0,9931154,150,9972,41Степенная 0,9941244,140,9972,39Гиперболическая0,937118,370,9687,72Все модели имеют примерно равные характеристики, но большее значение F-критерия Фишера и наибольшее значение коэффициента детерминации имеет степенная модель. Однако, поскольку показатели степенной и линейная моделей близки, для построения прогноза можно взять линейную модель.10) Осуществим прогнозирование среднего показателя Y при уровне значимости α = 0,05, если прогнозное значение фактора Х составит 80% от его максимального значения , следовательно, .Тогда Рассчитаем доверительный интервал прогнозаОпределим точность прогноза: Выполненный прогноз оказался надежным , но недостаточно точным, так как диапазон верхней и нижней границ составляет 1,13.11) По каждой модели рассчитаем коэффициент эластичности результата y к фактору х по формуле: .Таблица 7Расчетная таблицаФормулаРасчетЛинейнаяСтепенная ГиперболическаяТаким образом, с увеличением объема капитала на 1% объем выпускаемой продукции в случае линейной модели увеличивается на 0,885%, в случае степенной модели – на 0,8785%, а в случае гиперболической – на 0,59,2%.2. Множественный корреляционно-регрессионный анализ. По данным, представленным в таблице, изучается зависимость индекса человеческого развития y от переменных:х2 – фактическое конечное потребление домашних хозяйств по паритету покупательной способности на душу населения (Россия = 100);х3 – индекс потребительских цен в %;х6 – расходы на здравоохранение, % к ВВП.Таблица 8Исходные данныеСтраныyx2x3x6Австралия0,971891288,5Австрия0,95519011911Белоруссия0,826815785,8Бельгия0,95318212011,8Великобритания0,9472171199,3Германия0,9471931168,1Дания0,9551941207Индия0,612201994,1Испания0,9551671209,7Италия0,9511741229,7Канада0,96619912010,9Казахстан0,804612124,3Китай0,772861205,1Латвия0,8661021768,1Нидерланды0,96420112110,8Норвегия0,9712231249,7Польша0,881041287,1Россия0,8171003045,1США0,95627612516,2Украина0,7961032627Финляндия0,95918611511,7Франция0,96119011711Чехия0,9031221227,6Швейцария0,9620710811,3Швеция0,9631941159,9 Требуется:Осуществить выбор факторных признаков для построения двухфакторной регрессионной модели.Рассчитать параметры модели.Для оценки качества всего уравнения регрессии определить:линейный коэффициент множественной корреляции;коэффициент детерминации.Осуществить оценку значимости уравнения регрессии.Оценить с помощью t-критерия Стьюдента статистическую значимость коэффициентов уравнения множественной регрессии.Оценить влияние факторов на зависимую переменную по модели. Для этого рассчитайте:β-коэффициенты;коэффициенты эластичности.Решение.1) Построение системы показателей (факторов). Анализ матрицы коэффициентов парной корреляции. Выбор факторных признаков для построения двухфакторной регрессионной модели.Статистические данные по всем переменным приведены в табл. 8. Из условия следует, что n = 25, m = 3.Для построения корреляционного анализа воспользуемся пакетом прикладных программ Microsoft Excel, функцией «Анализ данных». Выполняем следующие действия:Данные для корреляционного анализа должны располагаться в смежных диапазонах ячеек.Выбрать команду «Сервис» → «Анализ данных».В диалоговом окне «Анализ данных» выбрать инструмент «Корреляция», а затем щелкнуть кнопку «OK».В диалоговом окне «Корреляция» в поле «Входной интервал» необходимо ввести диапазон ячеек, содержащих исходные данные. Если введены и заголовки столбцов, то установить флажок «Метки в первой строке».Выбрать параметры вывода. В данном случае «Новый рабочий лист». «OK»Таблица 9Результаты корреляционного анализаyx2x3x6y1x20,8927791x3-0,48126-0,52931x60,7579360,867289-0,471141Анализ матрицы коэффициентов парной корреляции показывает, что зависимая переменная, т.е. индекс человеческого развития, имеет тесную связь с фактическим конечным потреблением домашних хозяйств по паритету покупательной способности на душу населения и расходами на здравоохранение в процентах к ВВП , обратную умеренную связь с индексом потребительских цен . Между фактическим конечным потреблением домашних хозяйств по паритету покупательной способности на душу населения и расходами на здравоохранение в процентах к ВВП существует сильная прямая связь , что говорить о наличии мультиколлинеарности. Между остальными объясняющими факторами наблюдается умеренная связь.Таким образом, исключаем фактор x6.2) Рассчитаем параметры линейной модели регрессииДля того чтобы составить уравнение регрессии зависимости индекса человеческого развития от фактического конечного потребления домашних хозяйств по паритету покупательной способности на душу населения и индекса потребительских цен в процентах, воспользуемся функцией программы Microsoft Excel, а именно инструмента «Регрессия».Применение инструмента «Регрессия» (Анализ данных EXCEL)Для проведения регрессионного анализа необходимо выполнить следующие действия:Выбрать команду «Сервис» → «Анализ данных».В диалоговом окне «Анализ данных» выбрать инструмент «Регрессия», а затем щёлкнуть по кнопке ОK.В диалоговом окне «Регрессия» в поле «Входной интервал Y» ввести адрес одного диапазона ячеек, который представляет зависимую переменную. В поле «Входной интервал Х» ввести адреса одного или нескольких диапазонов, которые содержат значения независимых переменных.Если введены и заголовки столбцов, то следует установить флажок «Метки в первой строке».Выбрать параметры вывода. В данном случае «Новая рабочая книга».OK.Результат произведенных действий приведен в таблице 10.Таблица 10Регрессионная статистикаМножественный R0,892838R-квадрат0,797159Нормированный R-квадрат0,778719Стандартная ошибка0,041636Наблюдения25Дисперсионный анализ dfSSMSFЗначимость FРегрессия20,149880,0749443,229652,39E-08Остаток220,0381380,001734Итого240,188018    КоэффициентыСтандартная ошибкаt-статистикаP-ЗначениеНижние 95%Верхние 95%Нижние 95,0%Верхние 95,0%Y-пересечение0,702390,03799718,485326,86E-150,6235880,7811910,6235880,781191x20,0012860,0001647,831938,38E-080,0009450,0016260,0009450,001626x3-0,0000119,99E-05-0,10690,915835-0,000220,000197-0,000220,000197Для того чтобы составить уравнение регрессии по нашим данным, проанализируем полученные итоги. Найдем графу «Коэффициенты» в таблице 10.Вывод: при увеличении фактическое конечное потребление домашних хозяйств по паритету покупательной способности на душу населения на 1 при том же индексе потребительских цен индекс человеческого развития увеличится в среднем на 0,001286. А при увеличении индекса потребительских цен на 1% при том же фактическое конечное потребление домашних хозяйств по паритету покупательной способности на душу населения индекс человеческого развития сократится в среднем на 0,000011. 3) Оценка качества всего уравнения регрессииВ таблице 10 приведены вычисленные (предсказанные) по модели значения зависимой переменной Y и значения остаточной компоненты. Значение коэффициентов детерминации и множественной корреляции можно найти по таблице Регрессионная статистика.Коэффициент множественной корреляции: Он показывает, что связь между переменной Y и объясняющими переменными х2 и х3 является сильной. Коэффициент детерминации: Он показывает долю вариации результативного признака под воздействием изучаемых факторов. В нашем случае 79,72% вариации зависимой переменной учтено в модели и обусловлено влиянием включенных факторов.4) Проверка значимости уравнения регрессии на основе вычисления F-критерия Фишера.Значение F-критерия Фишера можно найти в таблице 10 протокола EXCEL, а именно . Для определения табличного значения F-критерия при доверительной вероятности 0,95 и при и воспользуемся функцией FРАСПОБР.Рис. 1. Функция FРАСПОБРВ результате получаем значение F-критерия, равное 3,44. Поскольку , то уравнение регрессии с вероятностью 0,95 следует признать статистически значимым.