Теория вероятности и мат. статистика

нужно решить 5 задач и семистровое задание в экселе оформить как в примерах 1 и 2, и занести в отчет
вариант 10


: Подробная информация о работе - https://www.sendspace.com/file/w87ouu ...

+

+

Поясните, почему методы расчета средних уровней рядов динамики в задачах 4 и 5 различны.Прежде чем приступить к расчетам, необходимо записать условия задачи и заполнить табл.5.1.Таблица 5.1Исходные данные для расчетовОстатки готовой продукции на складе (на начало месяца),млн. руб.1.011.021.031.041.051.061.076,26,56,38,46,86,66,9Методы расчета средних уровней рядов динамики в задачах 4 и 5 различны, так как в задаче 4 используется интервальный ряд динамики, а в задаче 5 используется моментный ряд динамики.2. СЕМЕСТРОВОЕ ЗАДАНИЕПлан выполнения семестрового задания:Построить статистическое распределение выборки прил. А.Вычислить оценки математического ожидания и дисперсии.Построить гистограмму относительных частот, установить статистический (эмпирический) закон распределения и записать его функцию плотности. С помощью критерия (Пирсона) проверить гипотезу о согласии эмпирического закона распределения случайной величины с нормальным законом распределения (законом Гаусса).Построить кривую нормального распределения, приняв за параметры кривой найденные оценки математического ожидания и дисперсии (желательно на одном чертеже с гистограммой).Вычислить доверительный интервал для математического ожидания и дисперсии. 1. Построение статистического распределения выборки.Данную выборку преобразуем в вариационный (интервальный) ряд. Для этого: Упорядочим выборку, т.е. запишем все значения случайной величины в возрастающем порядке22,533,74,14,14,54,55,65,65,76,16,56,56,96,97,17,17,58,38,99Объем выборки составляет22Минимальное значение 2Максимальное значение9Разобьем диапазон изменения случайной величины на интервалы. Число интервалов определяется по следующей полуэмпирической формуле: с округлением до ближайшего целого.k=1+3,322∙lg22≈5Ширину каждого интервала берем одинаковой и равной1,4Величину выбираем с точностью выборки и округляем в сторону завышения. 1,4Границы интервалов вычисляем по формуле По протоколу выборки подсчитываем частоту интервала - количество элементов , попавших в i-тый интервал (см. табл. 1.2). Если элемент совпадает с границей интервала, то он относится к предыдущему интервалу. Вычисляем относительные частоты интервалов.№ группыИнтервал, млн.руб.Номера заводовЧисло заводов, 12345112-3,43,9,183223,4-4,85,7,16,21,225334,8-6,24,6,15,174446,2-7,61,8,11,12,13,19,207557,6-92,10,1432. Вычисление оценок математического ожидания и дисперсииОценки математического ожидания и дисперсии вычисляются по формулам (1):5,6273,343где — частота варианты в выборке объема .Если объем выработки велик, то вычисление точечных оценок математического ожидания и дисперсии по формулам (1) громоздко. Для сокращения вычислений элементам выборки, попавшим в i–тый интервал, припишем значения равные серединам интерваловВносим значения в 6 графу таблицы 2.1.Для упрощения дальнейших выкладок варианты заменяем на условные варианты по формуле:где называется ложным нулем (новым началом отсчета). Ложный ноль находим по следующему правилу:Если число интервалов нечетное, то в качестве ложного нуля берем середину среднего интервала, если четное, то середину того интервала, у которого больше частота .Значения вносим в 7 графу таблицы 2.1.Подсчитаем произведения , результаты внесем в таблицу 2.1.Суммируя 8 графу таблицы 2.1, вычислим значение0,09Оценим математическое ожидание по формуле:5,627Подсчитаем произведения , результаты внесем в таблицу 1Суммируя 9 графу таблицы 2.1, вычислим значение1,636Оценим дисперсию по формуле:3,193,19Оценка занижает дисперсию генеральной совокупности, поэтому введя поправочный коэффициент получим несмещенную оценку дисперсии3,343Вычислим оценку среднего квадратического отклонения1,828Для сравнения подсчитаем по «правилу ». Так как для случайной величины, имеющей нормальное распределение, почти все рассеивания укладывается на участке , то с помощью «правила » можно ориентировочно определить оценку среднего квадратического отклонения случайной величины. Берем максимальное практически возможное отклонение от среднего значения и делим его на три.9-5,627=3,3735,627-2=3,6271,21Таблица 2.14567891030,1363642,7-2-0,2727272730,54545450,09740259750,2272734,1-1-0,2272727270,22727270,16233766240,1818185,50000,1298701370,3181826,910,3181818180,31818180,22727272730,1363648,320,2727272730,54545450,097402597h1=0,09h2=1,6363. Построение гистограммы относительных частотГистограммой называется ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной , а высоты равны Для построения гистограммы заполним 10 графу таблицы 2.1. По полученным данным построим гистограмму:Рис. 1. Аналог плотности распределения случайной величиныПо данным таблицы 2.1 построим точки с координатами и соединим их плавной пунктирной линией. Эта линия будет аналогом плотности распределения случайной величины и, следовательно, по виду гистограммы можно выдвинуть гипотезу о нормальном распределении (или о распределении, близком к нормальному) случайной величины с плотностьюfx=12πσ∙e-x-x22 σ2=12π∙1,83∙e-x-x22 σ2 fx=12π∙1,83∙e-x-x22 σ2В дальнейшем эту функцию будем называть теоретической плотностью распределения.4. Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины.Ввиду ограниченного числа наблюдений статистический закон распределения обычно в какой-то мере отличается от теоретического. Возникает необходимость определить: является ли расхождение между статистическим и теоретическим законами распределения следствием ограниченного числа наблюдений или оно является существенным и связано с тем, что действительное распределение случайной величины не соответствует выдвинутой гипотезе. Для проверки гипотезы о нормальном распределении рассматриваемой величины заполним таблицу 2.2. Для этого:Производим новую классификацию выборки: добавляем новые интервалы и к уже имеющимся, и объединяем интервалы в один, для которых .После объединения количество интервалов 4Вычисляем теоретические вероятности попадания варианты в каждом интервале по формуле:где , функция ЛапласаP1=Φ2-5,631,83- Φ-∞-5,631,83= Φ-1,98- Φ-∞=-0,4764+0,5=0,0236P2=Φ6,2-5,631,83- Φ2-5,631,83= Φ0,3132- Φ-1,98=0,123+0,4764=0,5993и т.д. (заполнить графу 2 в таблице 2.2)Вычисляем частоты интервалов и относительные частоты с учетом объединения интервалов и заполняем графу 3 и 4 в таблице 2.2.Для проверки гипотезы о нормальном распределении случайной величины в качестве меры расхождения между теоретическим и статистическим распределениями выберем случайную величину (хи-квадрат)Заполнив таблицу 2.2, вычислим значение критерия (хи-квадрат статистическое).1,18Случайная величина распределена по закону с параметром , называемым числом степенной свободы.Число параметров нормального распределения 2Число степенной свободы 4-2-1=1Расхождение между статистическим и теоретическим распределениями является не существенным, если величина не превышает критического значения . При уровне значимости и числу степенной свободы r=1 находим критическое значение χкр2=3,8.Так как χст2=3,8<χкр2=3,8.то выдвинутую гипотезу о том, что случайная величина распределена по нормальному закону, можно с надежностью 0,95 считать правдоподобной, не противоречащей опытным данным.Таблица SEQ Таблица \* ARABIC 2.2Границы классов12345678-∞;20,023610,04545450,5199913590,48000860,23040830,443100242;6,20,5993110,513,18492997-2,184934,773918970,36207396,2;90,344590,40909097,5790857371,42091432,018997340,266390629;+∞0,032510,04545450,7159929350,28400710,080660010,11265476Σ221,184219515Построим график теоретической плотности распределенияДля этого возьмем точек с абсциссами из таблицы 1 и вычислим ординаты этих точек. Результат запишем в таблицу 2.3.γ=2σ2=2∙1,832=6,685.δ=12πσ=12π∙1,83=0,218.Таблица 2.3№, гр12,7-2,927278,5689261,2816110,2775898760,06056804224,1-1,527272,3325620,3488690,7054852570,15393162435,5-0,127270,0161980,0024230,9975802280,21766456946,91,2727271,6198350,242270,7848439110,17124709158,32,6727277,1434711,0684130,3435534580,074960804Для более точного построения графика вычислим точку максимумаx,12πσ =5,627;0,218 и точки перегибаx+σ,12πeσ =5,627+1,828;0,218 =7,456;0,218 ;x-σ,12πeσ =5,627-1,828;0,218 =3,799;0,218 .Сравним теоретическую и эмпирическую плотности распределения случайной величины:Таблица 2.4.№123452,74,15,56,98,30,060568040,1539316240,217664570,1712470910,07496080,0974030,1623376620,12987010,2272727270,0974026Сравнивая значения ординат плотности распределения случайной величины и плотности относительных частот, мы наблюдаем незначительное отклонение этих величин друг от друга, что также свидетельствует о правильности выбора закона распределения.5. Вычисление доверительных интервалов для математического ожидания и дисперсииТак как гипотеза о нормальном распределении случайной величины не противоречит опытным данным, то будем считать (с некоторым риском), что случайная величина распределена нормально, причем математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этого распределения неизвестны.Доверительный интервал для оценки математического ожидания имеет вид:5,627-1,828∙tβ22<mx<5,627+1,828∙tβ22По доверительной вероятности и числу степенной свободы22-1=21находим величину 2,08а затем точность оценки 1,828∙2,0822=0,81Далее, получим искомый доверительный интервал, покрывающий неизвестное математическое ожидание с заданной надежностью , т.е. интервал5,627-0,81<mx<5,627+0,814,817<mx<6,437Доверительный интервал для имеет вид: Для и n=22 по таблице (см. в учебниках В.И. Ермаков “Сборник задач по высшей математике для экономистов” приложение 3 стр. 520 или приложение 4 В.Е. Гмурман «Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике») находим 0,37Отсюда1,828∙0,63<σ<1,828∙1,371,152<σ<2,505.Поясним смысл, который имеет заданная надежность . Из 100 выборок 95 определяют такие доверительные интервалы, в которых параметр (и) действительно заключен, и только в пяти выборках он может выйти за границы доверительного интервала.3. НЕПРЕРЫВНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯВ реальных условиях при передаче информации – ключевом компьютерном процессе - сигнал в месте приема заранее неизвестен и потому не может быть описан определенной функцией времени. То же самое можно сказать и о помехах, появление которых обусловлено самыми различными и чаще всего неизвестными причинами. Таким образом, реальные сигналы и помехи представляют собой случайные процессы. Случайный процесс (СП) описывается случайной функцией, значения которой при любом значении аргумента являются случайными величинами (СВ). В отличие от детерминированной функции, однозначно определяющей и, таким образом, достоверно предсказывающей значение описываемой величины в любой заданный момент времени, ход случайной функции предсказан быть не может. Самое большое, что можно сказать заранее о поведении случайной функции — это вероятность, с которой она в будущем может принять тот или иной вид из множества возможных.Основой для математического описания случайных процессов и потоков событий является математическое описание случайных величин.Для описания случайных величин в практических приложениях наиболее часто применяются:• законы распределения случайных величин;• числовые характеристики законов распределения.• характеристические функции, обладающие различной степенью полноты описания.Случайная величина называется дискретной случайной величиной, если она принимает не более чем счетное число значений. Случайная величина называется непрерывной случайной величиной, если она принимает значения из непрерывного числового множества - из промежутка числовой прямой.3.1. Нормальное распределениеЗакон распределения суммы независимых или слабо зависимых, равномерно малых слагаемых при неограниченном увеличении их числа как угодно близко приближается к нормальному закону распределения независимо от того, какие законы распределения имеют эти слагаемые.