Теория игр

Решить простейшие задачи по предмету "Теория игр" подробно и с пояснениями к решению.Вариант №26 (соотв. матрица 1.26 и 2.26)


: Подробная информация о работе - https://www.sendspace.com/file/cezwwd ...

+

+

БазисBx1x2x3x4x312710x416201F(X0)0-1-100Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai2и из них выберем наименьшее:min (1 : 7 , 1 : 2 ) = 1/7Следовательно, 1-ая строка является ведущей.Разрешающий элемент равен (7) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.БазисBx1x2x3x4minx3127101/7x4162011/2F(X1)0-1-1000Bx1x2x3x41 : 72 : 77 : 71 : 70 : 71-(1 • 2):76-(2 • 2):72-(7 • 2):70-(1 • 2):71-(0 • 2):70-(1 • -1):7-1-(2 • -1):7-1-(7 • -1):70-(1 • -1):70-(0 • -1):7БазисBx1x2x3x4x21/72/711/70x45/753/70-2/71F(X1)1/7-5/701/70Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai1и из них выберем наименьшее:min (1/7 : 2/7 , 5/7 : 53/7 ) = 5/38Следовательно, 2-ая строка является ведущей.Разрешающий элемент равен (53/7) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.БазисBx1x2x3x4minx21/72/711/701/2x45/753/70-2/715/38F(X2)1/7-5/701/700Bx1x2x3x41/7-(5/7 • 2/7):53/72/7-(53/7 • 2/7):53/71-(0 • 2/7):53/71/7-(-2/7 • 2/7):53/70-(1 • 2/7):53/75/7 : 53/753/7 : 53/70 : 53/7-2/7 : 53/71 : 53/71/7-(5/7 • -5/7):53/7-5/7-(53/7 • -5/7):53/70-(0 • -5/7):53/71/7-(-2/7 • -5/7):53/70-(1 • -5/7):53/7БазисBx1x2x3x4x22/19013/19-1/19x15/3810-1/197/38F(X2)9/38002/195/38Оптимальный план можно записать так:x1 = 5/38, x2 = 2/19F(X) = 1•5/38 + 1•2/19 = 9/38Используя последнюю итерацию прямой задачи найдем, оптимальный план двойственной задачи.Из теоремы двойственности следует, что Y = C*A-1.Составим матрицу A из компонентов векторов, входящих в оптимальный базис.A = (A2, A1) = 7226Определив обратную матрицу D = А-1 через алгебраические дополнения, получим:D = A-1 = 3/19-1/19-1/197/38Как видно из последнего плана симплексной таблицы, обратная матрица A-1 расположена в столбцах дополнительных переменных.Тогда Y = C*A-1 = (1, 1) x 3/19-1/19-1/197/38= (2/19;5/38)Оптимальный план двойственной задачи равен:y1 = 2/19y2 = 5/38Z(Y) = 1*2/19+1*5/38 = 9/38Цена игры будет равна g = 1/F(x), а вероятности применения стратегий игроков:qi = g*yi; pi = g*xi.Цена игры: g = 1 : 9/38 = 38/9p1 = 38/9 • 2/19 = 4/9p2 = 38/9 • 5/38 = 5/9Оптимальная смешанная стратегия игрока I:P = (4/9; 5/9)q1 = 38/9 • 5/38 = 5/9q2 = 38/9 • 2/19 = 4/9Оптимальная смешанная стратегия игрока II:Q = (5/9; 4/9)Цена игры: v=38/9Задание 3ИгрокиB1B2B3a = min(Ai)A13-75-7A21971A3-275-2b = max(Bi)397a = max(ai) = 1, которая указывает на максимальную чистую стратегию A2.Верхняя цена игры b = min(bj) = 3.Что свидетельствует об отсутствии седловой точки, так как a ≠ b, тогда цена игры находится в пределах 1 ≤ y ≤ 3. Стратегия A2 доминирует над стратегией A3 (все элементы строки 2 больше или равны значениям 3-ой строки), следовательно исключаем 3-ую строку матрицы. Вероятность p3 = 0.3-75197С позиции проигрышей игрока В стратегия B1 доминирует над стратегией B3 (все элементы столбца 1 меньше элементов столбца 3), следовательно исключаем 3-й столбец матрицы. Вероятность q3 = 0.3-719Так как игроки выбирают свои чистые стратегии случайным образом, то выигрыш игрока I будет случайной величиной. В этом случае игрок I должен выбрать свои смешанные стратегии так, чтобы получить максимальный средний выигрыш.Аналогично, игрок II должен выбрать свои смешанные стратегии так, чтобы минимизировать математическое ожидание игрока I.Запишем систему уравнений.Для игрока I3p1+p2 = y-7p1+9p2 = yp1+p2 = 1Для игрока II3q1-7q2 = yq1+9q2 = yq1+q2 = 1Решая эти системы методом Гаусса (решение см. ниже), находим:y = 18/9p1 = 4/9 (вероятность применения 1-ой стратегии).p2 = 5/9 (вероятность применения 2-ой стратегии).Оптимальная смешанная стратегия игрока I: P = (4/9; 5/9)q1 = 8/9 (вероятность применения 1-ой стратегии).q2 = 1/9 (вероятность применения 2-ой стратегии).Оптимальная смешанная стратегия игрока II: Q = (8/9; 1/9)Цена игры:y = 18/9Задание 4Исходные данные:3-75197-275Критерий Лапласа.q1 = q2 = ... = qn = 1/n.qi = 1/3AiП1П2П3∑(aij)A11-2.331.670.33A20.3332.335.67A3-0.672.331.673.33pj0.330.330.33Выбираем из (0.33; 5.67; 3.33) максимальный элемент max=5.67Вывод: выбираем стратегию N=2.Критерий Вальда.AiП1П2П3min(aij)A13-75-7A21971A3-275-2Выбираем из (-7; 1; -2) максимальный элемент max=1Вывод: выбираем стратегию N=2.Критерий Севиджа.1. Рассчитываем 1-й столбец матрицы рисков.r11 = 3 - 3 = 0; r21 = 3 - 1 = 2; r31 = 3 - (-2) = 5; 2. Рассчитываем 2-й столбец матрицы рисков.r12 = 9 - (-7) = 16; r22 = 9 - 9 = 0; r32 = 9 - 7 = 2; 3. Рассчитываем 3-й столбец матрицы рисков.r13 = 7 - 5 = 2; r23 = 7 - 7 = 0; r33 = 7 - 5 = 2; AiП1П2П3A10162A2200A3522Результаты вычислений оформим в виде таблицы.AiП1П2П3max(aij)A1016216A22002A35225Выбираем из (16; 2; 5) минимальный элемент min=2Вывод: выбираем стратегию N=2.Критерий Гурвица.Рассчитываем si.s1 = 0.5•(-7)+(1-0.5)•5 = -1s2 = 0.5•1+(1-0.5)•9 = 5s3 = 0.5•(-2)+(1-0.5)•7 = 2.5AiП1П2П3min(aij)max(aij)y min(aij) + (1-y)max(aij)A13-75-75-1A2197195A3-275-272.5Выбираем из (-1; 5; 2.