курсовая работа Сущность и необходимость применения математических моделей в экономике

Курсовая работа Сущность и необходимость применения математических моделей в экономике,уникальность на антиплагиат.ру 67.04% ...

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 3
1 РАЗВИТИЕ МЕТОДОЛОГИИ ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ 4
1.1 История экономико – математической идеи 4
1.2 Экономико-математические методы и модели в работах зарубежных исследователей 6
1.3 Экономико-математические методы и модели в работах отечественных исследователей 9
2 ЛОГИСТИЧЕСКИЕ ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СТРОИТЕЛЬНОГО ХОЛДИНГА АБАКАН СТРОЙРЕСУРС 11
2.1.1 Постановка задачи 11
2.1.2 Экономико – математическая модель 12
2.1.3 Решение задачи методом потенциалов 14
2.2 Экономико-математическая модель принятия решения о замене оборудования в условиях риска 19
2.2.1 Постановка задачи 19
2.2.2 Построение математической модели задачи 20
2.2.3 Решение игровой задачи 21
3 ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СТРОИТЕЛЬНОГО ХОЛДИНГА АБАКАН СТРОЙРЕСУРС 25
3.1 Задача линейного программирования на определение оптимального выпуска продукции 25
3.2 Задача нелинейного программирования для определения оптимального запаса предприятия с учетом объема склада 27
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 31
ЛИТЕРАТУРА 32

Особенностью нынешнего этапа развития отечественной науки и практики в экономической деятельности является повышение интереса специалистов к научному решению проблем с использованием экономико-математических методов, моделей средствами информационных технологий.
Экономико-математические методы дают фундаментальную основу решения аналитических задач в различных сферах деятельности современных предпринимателей и делают управленческие решения научно обоснованными. Построение математических моделей в экономике во многих случаях связано напрямую с анализом статистических данных, получение и обработку которых невозможно эффективно организовать без применения современных информационных технологий.

Любая классификация так или иначе субъективная - она отображает в той или другой мере вкусы и взгляды составителя, его оценку тех или других научных учреждений и области исследования.Симбиозом экономико-математического сотрудничества является стадия содержательной интерпретации результатов экономико-математического моделирования, что является плодом общей деятельности содержательного экономиста и прикладного математикаПоэтому во взаимоотношения экономического начала и математического в реальной экономической ситуации надо всегда помнить, что математика лишь инструментарий в руках экономиста-исследователя, и анализ подобных явлений должен носить содержательный, а не формальный характер.1.3 Экономико-математические методы и модели в работах отечественных исследователейЭкономико-математическая идея в работах отечественных экономистов возникшая в особых условиях, связанных как с естественной изоляцией России от остального мира, так и через специфику русских условий.Особенность русской экономической мысли связана с сильным влиянием теории марксизма, важностью крестьянского вопроса и других специфических факторах. Экономические вопросы затрагивались в работах П.И. Пестеля (1793-1826), А.Н. Радищева, Н.И. Чернышевского (1828-1889). Один из феноменов русской науки - плодотворная разработка идей экономико-математического моделирования, основанная на базе как математиков, которые направили свои усилия в экономику, так и разработок профессиональных экономистов.Первые русские экономисты-математики (Ю.Г. Жуковской, И.А.Столяров, В. З. Войтинский, В. К. Дмитриев, Э. Э. Слуцкий, и др.) отличались конкретностью проведенных исследований. Так Ю.Г. Жуковский построил модель ренты в земледелии, И. А. Столяров обосновал функцию общественной полезности для хозяйственных благ, B.C. Войтинский провел анализ взаимосвязей между ценой, спросом и полезностью. Э. Э. Слуцкий (1830-1948) в своей работе "к теории сбалансированного бюджета потребителя" обосновал основные положения математической теории полезности. Общепризнанно, что работы Э. Э. Слуцкого предоставили немалое влияние на формирование эконометрии. Одним из популярнейший и признанных в странах и за рубежом экономистов был Г. Туган-Барановський (1865-1919). Н. Д. Кондратьев (1892-1938) предложил, в частности, теорию длинных волн в экономике, существование больших периодических циклов продолжительностью приблизительно 50 лет.Одним из наиболее значительных достижений в области экономико-математических исследований есть открытия Л. В. Канторовичем (1912-1986) метода линейного программирования, за которое он совместно с американским экономистом Т. Купмансом получил в 1975 Нобелевскую премию по экономике.Отечественная экономическая школа активно формируется при непосредственном участии Л. В. Канторовича и его коллег В. В. Новожилова (1892-1970), B.C. Немчинова (1894-1964). Основным направлением исследований в начале 60- х годов XX столетия есть в СССР разработка системы моделей оптимального функционирования экономики.Послевоенный период в стране ознаменовался созданием крупных научных коллективов, научных школ и направлений. Видное место занимали направления, возглавляемые Э. С. Варгой (1879-1964), Н. А. Вознесенским (1903-1950), А И. Анчишкиним (1933-1987), Экономико-математические исследования концентрировались в стенах институтов Академии Наук: ЦЭМИ, ИЭ, ИМЭМО и др.Методология экономико-математического моделирования по сути относится к фундаментальным основам экономических исследований [11]. 2 ЛОГИСТИЧЕСКИЕ ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СТРОИТЕЛЬНОГО ХОЛДИНГА АБАКАН СТРОЙРЕСУРС2.1 Экономико-математическая модель расширения производства2.1.1 Постановка задачиФактор неопределенности обстановки, в которой принимается решение, является очень важным в процессе принятия решения руководителями всех уровней. По данному фактору можно разделить обстановку на детерминированную, стохастическую и нестохастическую.Рассмотрим задачу принятия решения по расширению производства холдингом в условиях детерминированной обстановки.Постановка задачи такова:У строительного холдинга есть три предприятии, которые производят цемент в количествах 900, 300, 600 тонн в день. Затраты на производство одной тыс. тонн цемента равна 5, 3, 4 тыс. руб. тонна соответственно. Четырем строительно-монтажным управлениям (СМУ) холдинга Абакан СтройРесурс эта продукция требуется в количествах 450, 150, 750, 550 тонн в день. Стоимость переводки для перевозки тонны цемента с завода представлена в таблице:Таблица 2.1Стоимость перевозки единицы продукции с заводов СМУВ1В2В3В4А13649А22584А33749Для полного удовлетворения потребностей необходимо увеличить выпуск продукции. При этом возможны следующие варианты: 1) расширить мощность завода №1 с дополнительными затратами на единицу продукции, равными 3 тыс.руб.; 2) расширить мощность завода №2 с дополнительными затратами на единицу продукции, равными 6 тыс. руб.; 3) наладить выпуск продукции на заводе №4 с затратами на производство единицы продукции, равными 4 тыс. руб и расходами по перевозке продукции к потребителям, равными соответственно 7, 2, 4, 8 Решим эту задачу с использованием экономико-математического моделирования.2.1.2 Экономико – математическая модельПостроим математическую модель задачиПриведенные в задаче варианты увеличения выпуска продукции рассмотрим в ходе решения как самостоятельные пункты производства в едином комплексе с изначально заданными пунктами (заводами). Таким образом, в матрице планирования будет шесть поставщиков готовой продукции.Рассчитаем совокупные затраты, просуммировав затраты на производство продукции и затраты на ее транспортировку (можем выполнить простое суммирование поскольку задачу однопродуктовая). Таким образом, таблица 2.1 будет выглядеть так:Таблица 2.2Совокупные затраты на перевозку и транспортирование продукцииПотребителиМощность заводаВ1В2В3В4А1811914900А258117300А3711813600Потребности450150750550Как видно из таблицы 2.2, транспортная задача не является сбалансированной, поскольку потребности: 450+15+750+550=1900 тонн больше мощностей заводов: 900+300+600 = 1800 тонн. Следовательно, нужен план расширения производства.Составим новую таблицу, учитывающую расширение производство:Таблица 2.3Совокупные затраты на перевозку и транспортирование продукцииПотребителиМощность заводаВ1В2В3В4ЗаводыА1811914900А258117300А3711813600А411141217?А511141713?А6116812?Потребности450150750550Как видно из таблицы 2.3, необходимо задать мощности заводов (расширение производства). Поскольку в условии задачи прямо не задано объем расширения производства (создания нового завода №4), то считаем, что данные мощности не должны превышать недостающего спроса, т.е. 100 единиц продукции, таким образом на месте вопросительных знаков в последней колонке таблицы 2.3 будут находится числа 100 (единиц продукции). Заметим, что при этом транспортная задача снова станет несбалансированной (по потребителям), лишнюю продукцию направим к фиктивному потребителю В5 с потребностью в продукции в 200 единиц.Математическую модель данной задачи запишем в виде:Минимизировать целевую функцию: При ограничениях.2.1.3 Решение задачи методом потенциаловРешим данную транспортную задачу методом потенциалом. Начальный план найдем методом минимального элемента.Занесем исходные данные в табл. 2.4. – исходных данных задачиТаблица 2.4Исходные данные задачи12345Запасы цемента181191409002581170300371181306004111412170100511141713010061168120100Потребности450150750550200Используя метод наименьшей стоимости, построим первый опорный план транспортной задачи. Таблица 2.5Первый опорный план транспортной задачи12345Запасы1811[50]9[300]14[450]0[100]90025[300]8117030037[150]118[450]1306004111412170[100]100511141713[100]01006116[100]8120100Потребности450150750550200Построенный опорный план является невырожденным. Значение целевой функции для этого опорного плана равно: F(x) = 11*50 + 9*300 + 14*450 + 0*100 + 5*300 + 7*150 + 8*450 + 0*100 + 13*100 + 6*100 = 17600 Проверим оптимальность найденного опорного плана. Рассчитаем предварительные потенциалы ui, vi. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vi = cij, полагая, что u1 = 0. u1 + v2 = 11; 0 + v2 = 11; v2 = 11 u6 + v2 = 6; 11 + u6 = 6; u6 = -5 u1 + v3 = 9; 0 + v3 = 9; v3 = 9 u3 + v3 = 8; 9 + u3 = 8; u3 = -1 u3 + v1 = 7; -1 + v1 = 7; v1 = 8 u2 + v1 = 5; 8 + u2 = 5; u2 = -3 u1 + v4 = 14; 0 + v4 = 14; v4 = 14 u5 + v4 = 13; 14 + u5 = 13; u5 = -1 u1 + v5 = 0; 0 + v5 = 0; v5 = 0 u4 + v5 = 0; 0 + u4 = 0; u4 = 0 v1=8v2=11v3=9v4=14v5=0u1=0811[50]9[300]14[450]0[100]u2=-35[300]81170u3=-17[150]118[450]130u4=0111412170[100]u5=-111141713[100]0u6=-5116[100]8120Как видно из вышеприведенной таблицы, полученный опорный план не есть оптимальным, поскольку можно выделить оценки свободных клеток, для которых ui + vi > cij (2;4): -3 + 14 > 7; ∆24 = -3 + 14 - 7 = 4 Выберем максимальную оценку свободной клетки (2;4): 7 Для данных целей в перспективную клетку (2;4) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-». Таблица 2.6Улучшение опорного плана12345Запасы1811[50]9[300][+]14[450][-]0[100]90025[300][-]8117[+]030037[150][+]118[450][-]1306004111412170[100]100511141713[100]01006116[100]8120100Потребности450150750550200В таблице 2.6 приведен соответствующий цикл (2,4; 2,1; 3,1; 3,3; 1,3; 1,4; ). Из грузов хij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (2, 1) = 300. Прибавляем 300 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 300 из Хij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план. Таблица 2.7Новый опорный план12345Запасы1811[50]9[600]14[150]0[100]900258117[300]030037[450]118[150]1306004111412170[100]100511141713[100]01006116[100]8120100Потребности450150750550200Снова проверяем оптимальность нового опорного плана. Рассчитаем предварительные потенциалы ui, vi. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vi = cij, полагая, что u1 = 0. u1 + v2 = 11; 0 + v2 = 11; v2 = 11 u6 + v2 = 6; 11 + u6 = 6; u6 = -5 u1 + v3 = 9; 0 + v3 = 9; v3 = 9 u3 + v3 = 8; 9 + u3 = 8; u3 = -1 u3 + v1 = 7; -1 + v1 = 7; v1 = 8 u1 + v4 = 14; 0 + v4 = 14; v4 = 14 u2 + v4 = 7; 14 + u2 = 7; u2 = -7 u5 + v4 = 13; 14 + u5 = 13; u5 = -1 u1 + v5 = 0; 0 + v5 = 0; v5 = 0 u4 + v5 = 0; 0 + u4 = 0; u4 = 0 Таблица 2.8Улучшение опорного планаv1=8v2=11v3=9v4=14v5=0u1=0811[50]9[600]14[150]0[100]u2=-758117[300]0u3=-17[450]118[150]130u4=0111412170[100]u5=-111141713[100]0u6=-5116[100]8120Как видно из таблицы 2.8, полученный опорный план является оптимальным, поскольку оценки свободных клеток удовлетворяют условию ui + vi <= cij. При этом минимальные затраты составят: F(x) = 11*50 + 9*600 + 14*150 + 0*100 + 7*300 + 7*450 + 8*150 + 0*100 + 13*100 + 6*100 = 16400 Проведем анализ оптимального опорного плана (табл. 2.8) в соответствии с поставновкой задачи.1) расширение производства на 1 заводе не нужно, поскольку вся его продукция направлена фиктивному потребителю, т.е. экономически это нецелесообразно. Более того, на первом заводе нужно уменьшить производство, т.к. оно экономически нецелесообразно (100 единиц продукции попало фиктивному потребителю).2) Расширение производства на 100 единиц на втором заводе является целесообразным, как и открытие 4-го завода с производством в 100 единиц.3) Суммарные минимальные затраты составляют 16400 единиц.2.2 Экономико-математическая модель принятия решения о замене оборудования в условиях риска2.2.1 Постановка задачиВ состав строительного холдинга Абакан СтройРесурс г. Абакана входит строительно-монтажные управления, которые имеют строительное оборудование, в том числе башенные краны. После десяти лет эксплуатации башенный кран может оказаться в одном из трех состояний: 1) кран может использоваться в очередном году после профилактического ремонта; 2) для безаварийной работы крана в дальнейшем следует заменить отдельные его узлы и детали; 3) кран требует капитального ремонта.В зависимости от сложившейся ситуации руководство предприятия может принять такие решения: 1) отремонтировать кран силами заводских специалистов, что потребует, в зависимости от состояния оборудования, затрат 13, 9, 15 тыс. у.е.; 2) нанять специальную организацию по ремонту, расходы в этом случае составят 20, 12, 11 д. е.; 3) провести капитальный ремонт кранового оборудования с затратами 18, 10, 14 д. е.Придадим сложившейся ситуации игровую схему, установим характер игры, составим матрицу игры, выясним, какое решение целесообразно рекомендовать руководителю строительного холдинга при следующих предположениях: а) накопленный опыт показывает, что вероятности указанных выше состояний башенных кранов равны 0,3; 0, 45, 0,25 б) все три возможных состояния оборудования равновероятны. Параметр оптимизма для критерия Лапласа равен 0,7в) о вероятности состояний башенных кранов изначально ничего определенного сказать нельзя. 2.2.2 Построение математической модели задачиОбозначим стратегии руководства строительного холдинга:1) А1 - отремонтировать оборудование силами заводских специалистов;2) А2 – нанять специальную организацию по ремонту башенных кранов;3) А3 – провести капитальный ремонт башенного крана;Обозначим возможные состояния природы (внешней стреды):1) П1 – башенный кран может использоваться в очередном году после профилактического ремонта; 2) П2- для безаварийной работы башенного крана в дальнейшем следует заменить отдельные его узлы и детали; 3) П3 – башенный кран требует капитального ремонта.Таким, образом, получаем игровую модель, описываемую матрицей:Таблица 2.9Игровая матрица задачиП1П2П3A113915A2201211A3181014Произведем выбор оптимальной стратегии руководства, пользуясь критериями Байеса, Вальда, Сэвиджа, Гурвица, Лапласа.2.2.3 Решение игровой задачиРассмотрим решение задачи с использованием критерия Байеса. Согласно данного критерия, за оптимальные принимается та стратегия (чистая) Ai, при которой максимизируется средний выигрыш a или минимизируется средний риск r. Считаем значения ∑(aijpj) ∑(a1,jpj) = 13•0,3 + 9•0,45 + 15•0,25 = 11,7 ∑(a2,jpj) = 20•0,3 + 12•0.45 + 11•0,25 = 14,15 ∑(a3,jpj) = 18•0,3 + 10•0,45 + 14•0,25 = 13,4 Таблица 2.10Матрица игры с использованием критерия БайесаAiП1П2П3∑(aijpj)A13,94,053,7511,7A265,42,7514,15A35,44,53,513,4pj0,30,450,250Выбираем из (11.7; 14.15; 13.4) максимальный элемент max=14,15 Вывод: выбираем стратегию N=2. Рассмотрим решение задачи с использованием критерия Лапласа. Если вероятности состояний природы правдоподобны, для их оценки используют принцип недостаточного основания Лапласа, согласно которого все состояния природы полагаются равновероятными, т.е.: q1 = q2 = ... = qn = 1/n. qi = 1/3 Таблица 2.11Матрица игры с использованием критерия ЛапласаAiП1П2П3∑(aij)A14.333512.33A26.6743.6714.33A363.334.6714pj0.3330.3330.3330Выбираем из (12.33; 14.33; 14) максимальный элемент max=14,33 Вывод: выбираем стратегию N=2. Рассмотрим решение задачи с использованием критерия Вальда. По критерию Вальда за оптимальную принимается чистая стратегия, которая в наихудших условиях гарантирует максимальный выигрыш, т.е. a = max(min aij) Таблица 2.12Матрица игры с использованием критерия ВальдаAiП1П2П3min(aij)A1139159A220121111A318101410Выбираем из (9; 11; 10) максимальный элемент max=11 Вывод: выбираем стратегию N=2. Рассмотрим решение задачи с использованием критерия Севиджа.Критерий минимального риска Севиджа рекомендует выбирать в качестве оптимальной стратегии ту, при которой величина максимального риска минимизируется в наихудших условиях, т.е. обеспечивается: a = min(max rij) Находим матрицу рисков. Риск – мера несоответствия между разными возможными результатами принятия определенных стратегий.