Основы логики. Алгебра логики

Содержание.
ВВЕДЕНИЕ 3
1. ПОНЯТИЕ ЛОГИКИ КАК НАУКИ И ОСОБЕННОСТИ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ 5
2. ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ ФОРМАЛЬНЫХ ТЕОРИЙ 8
3. ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ И ТАБЛИЦЫ ИСТИННОСТИ. 10
3.1 Конъюнкция 10
3.2 Дизъюнкция 11
3.3 Альтернатива 11
3.4 Импликация 12
3.5 Эквивалентность 13
3.6 Инверсия 13
4. ЛОГИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ И ФУНКЦИИ. ЗАКОНЫ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ. 15
4.1 Понятие логической формулы 15
4.1 Понятие логической функции 15
4.3 Основные законы алгебры логики 17
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 19
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 21

/3/
Для обозначения равносильности формул используется знак равенства, например, A = B.
4.1 Понятие логической функции
Функциями алгебры логики (ФАЛ) называют такие функции y0, y1, y2 конечного числа некоторых суждений, значение которых равны нулю (ложь) или 1 (истинность) в зависимости от значения аргументов, определенных для всех возможных наборов аргументов, каждый из которых также равен нулю или единице.
ФАЛ можно задать разной форме. Так, если есть множество векторов x={x1, x2, ..., xn} и их возможное значение ∀ Xi является {0,1}, то общее количество различных наборов векторов будет 2n где n - число переменных.
Таким образом ФАЛ можно задать таблицей в которой будет 2n строк двоичных чисел в двоичной системе исчисления. Каждое двоичное число можно записать в десятичной системе. Если функция y = {0,1} зависит от n - переменных, а им отвечает 2n - наборов, то количество функций, которое зависит от переменных будет конечным и равно . /7/
Для n=1 имеем ФАЛ одной переменной (табл. 7).
Таблица 7. ФАЛ для n=1
Переменная ФАЛ X F0 F1 F2 F3 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1
Функции F0 (x) и F3 (x) константы соответственно 0 и 1, поскольку их значение зависят от значения переменной. Функция F1 (х) - повторяет переменную х. функция F2 (х) - называется отрицанием х (или функцией "НЕ", в многих случаях обозначают "НЕТ"), то есть F2 (х) = x.
В булевых алгебре особое значение имеют функции двух переменных. Логических функций двух переменных . Множество всех логических функций двух переменных представлено в табл. 8. /10/
Таблица 8. ФАЛ для n=2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
Определение функций, приведенных в таблице 8:
 константа 0;
 конъюнкция;
 запрет по ;
 повторение ;
 запрет по ;
 повторение ;
 сложение по модулю 2;
 дизъюнкция;
 стрелка Пирса;
 эквивалентность;
 отрицание ;
 импликация от к ;
 отрицание ;
 импликация от к ;
 штрих Шеффера;
 константа 1. /4, 7/
Как можно заметить, с 16 функций двух переменных, у шести используются фиктивные переменные:
у функциях і фиктивные переменные и ;
у функциях і фиктивная переменная ;
у функциях і фиктивная переменная .
4.3 Основные законы алгебры логики
Любую формулу можно свести к равносильной ей, в которой используются только операции &, ( и возражения. Для преобразования формул в равносильны важную роль играют равенства, являются свойствами логических операций, справедливые для любых переменных x, y, z. Эти свойства по аналогии с алгеброй действительных чисел называют законами:
1) законы коммутативности:
x&y=y&x,
x(y=y(x;
2) законы ассоциативности:
(x&y)&z=x&(y&z),
(x(y)(z=x((y(z);
3) законы поглощения 0 и 1:
x(0=x, x&1=x;
4) законы дистрибутивности:
x&(y(z)=(x&y) ((x&z),
x((y&z)=(x(y)&(x(z);
5) закон противоречия:
x & = 0
6) закон исключенного третьего:
x(=1;
7) законы идемпотентности (равносильности):
x&x=x,
x(x=x;
8) закон двойного отрицания:
=x;
9) законы де Моргана
, ;
10) законы поглощения:
x((x&y)=x;
x&(x(y)=x. /3/
Формула называется тавтологией, если она истинная при любых значениях своих переменных.
Заключение
Алгебра логики является самостоятельным разделом математической логики. Предметом ее изучения является построение сложных логических высказываний, представляющих логическими формулами и методов установления их истинности.
Джордж Буль предложил в формулах буквами обозначать не числом, а высказывания и показал, что можно так выбирать действия сложения и умножения, чтобы формулы обычной алгебры оставались без изменения. В алгебре логики высказывания рассматриваются не по их содержанию или значением, а только в отношении того, истинны они или ложны. Принимается, что каждое высказывание может быть только истинным или ложным.
Суждение может быть простым - где речь идет об одном каком-либо факте и обозначается буквами любого алфавита например А, Б, В или X, Y, Z.
Сложным называется суждение, которое содержит два или более суждений, связанных между собой логическими союзами (связками). Основными логическими союзами являются - конъюнкция, дизъюнкция, импликация и эквивалентность. Логическим союзам ставится в соответствие грамматические союзы и соединительные слова "И", "ИЛИ", "ИЛИ - или", "Если ..., то", "Тогда и только тогда, когда". "НЕ" или "НЕТ" также считают логичным союзом для образования новых суждений.
Связывания в новое суждение истинных или ложных суждений с помощью логических союзов называется логической операцией над суждениями. Для сложных суждений образованных с помощью логических союзов можно записать таблицу истинности.
Логической формулой называется формула, состоящая из букв, знаков логических операций и скобок. При этом буквы обозначают логические переменные. Каждая формула задает логическую функцию.
Любую логическую функцию можно задать или логической формуле, или с помощью таблицы истинности.
При определении логической функции с помощью таблицы истинности, в таблице слева выписываются все возможные наборы значения логических переменных, а справа - значение функции, отвечающие этим наборам.
Основу современных устройств обработки информации составляют цифровые (логические) устройства.
Алгебра логики позволяет выполнять математическую запись логических событий и связей между ними, а это дает возможность аналитически описывать строение и работу цифровых устройств (цифровые устройства обрабатывают информацию, представленную в виде сигналов, изменяющихся по закону дискретной функции).
Список использованных источников
Аладышкин И.В., Мичурин А.Н., Сидорчук И.В., Ульянова С.Б. История науки и техники. Учебное пособие. Под ред. С.В. Кулика, С.Б. Ульяновой. — СПб.: Изд-во Политехнического университета, 2015. — 143 с.
Алексеев В.В. Элементы алгебры логики. Методическое пособие. — Саров: СарФТИ, 2015. — 74 с.
Артюхович Ю.В., Кленина Е.А. и др. Основы логики: теоретический и практический курс. — Волгоград: ВолгГТУ, 2015. — 128 с.
Веретенников Б.М. и др. Дискретная математика. Часть 1. Учебное пособие. – Екатеринбург: Изд-во Урал. ун-та, 2014. – 132 с.
Верещагин Н.К., Шень А. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 1. Начала теории множеств.4-е изд., доп. — М.: МЦНМО, 2012. — 112 c.
Геут Кр. Л., Коновалова С.С., Титов С.С. Дискретная математика. Учебное пособие. - Екатеринбург: УрГУПС, 2015. - 112 с.
Гусев Д.А. Логика. Учебное пособие. - М.: Прометей, 2015. - 300 с.
Ефимов Д.Б., Полещиков С.М. Математическая логика и теория алгоритмов. Учебное пособие. — Сыктывкар : СЛИ, 2012. — 100 с.
Игошин В.И. Математическая логика + CD-R. Учебное пособие. — М.: Инфра-М, 2016. — 399 с.
Плескунов М.А. Основы формальной логики. Учебное пособие. – Екатеринбург: Изд-во Урал, ун-та, 2014. – 168 с.
18