Основы логики. Алгебра логики.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение 3
1 Возникновение и развитие логики 4
2 Алгебра логики 11
3 Законы алгебры логики 18
Заключение 30
Список использованных источников 31

Следовательно, рассматриваемая формула - тавтология.
Следование и эквивалентность
Формулы А и В являются логически эквивалентными, если при любых значениях переменных, входящих в эти формулы значение А совпадает со значением В. Если A и В - эквивалентны, то (A ≡ B)
тавтология. Логически эквивалентные формулы будем обозначать знаком ”≡”.
Если (A → B) является тавтологией, то говорят, что A логически влечет B, или В является логическим следствием А.
Логические следование и эквивалентность играют исключительно важную роль в математической логике, позволяя проводить преобразования пропозициональных формул и решать логические задачи.
Теорема. Имеет место следующая логическая эквивалентность: (A → B) = (⌐A V B)
Доказательство. Для доказательство достаточно проверить, что формулы действительно имеют одинаковые значения при всех интерпретациях.
(A → B) = ((⌐A) V B)
И И И Л И И И
И Л Л Л И Л Л
Л И И И Л И И
Л И Л И Л И Л
Утверждение "Если P, то Q, иначе R” широко используется в программировании может быть представлено формулой (P → Q)&(⌐P → R). Ей соответствует фраза: "Если Р, то Q, а если не P, то R”.
Задача. Одна газета напечатала статью, в которой утверждалось, что половина районных руководителей - воры. После потока возмущенных писем в редакцию, газета напечатала опровержение, гласившее, что половина районных руководителей - не воры. Что сделала газета?
Обозначим утверждение "Половина районных руководителей - воры" буквой А. Опровержение может быть записано как ⌐А. Логически, второе высказывание газеты является опровержением, отрицанием первого утверждения. Но по смыслу газета сказала то же самое.
Проанализируем предложение: "Порядочный человек не может быть вором".
Пусть А - "некто есть порядочный человек" и В - "некто является вором".
Логическая формула, представляющая приведенное выше высказывание имеет вид:
А →(⌐В)
Существует множество формул, эквивалентных данной. Интерпретируя эти формулы в естественном языке, получим следующие утверждения, которые все эквивалентны между собой:
А → ⌐В Порядочный человек не может быть вором
⌐А V ⌐В Или он не порядочный человек, или он не вор
⌐(А&В) Порядочность и воровство несовместимы
В → ⌐А Если человек вор, то он не является порядочным человеком
Законы алгебры логики
Равносильности формул логики высказываний часто называют законами логики /5/. Знание законов логики позволяет проверять правильность рассуждений и доказательств.
Нарушения этих законов приводят к логическим ошибкам и вытекающим из них противоречиям.
Закон тождества. Он сформулирован древнегреческим философом Аристотелем. Закон тождества утверждает, что мысль, заключенная в некотором высказывании, остается неизменной на протяжении всего рассуждения, в котором это высказывание фигурирует.
Закон противоречия говорит о том, что никакое предложение не может быть истинно одновременно со своим отрицанием.
(А&(⌐А)) =
”Это яблоко спелое” и ”Это яблоко не спелое”.
Закон исключенного третьего говорит о том, что для каждого высказывания имеются лишь две возможности: это высказывание либо истинно либо ложно. Третьего не дано. 'Сегодня я получу 5 либо не получу”. Истинно либо суждение, либо его отрицание.
(АV(⌐А)) =
Закон двойного отрицания. Отрицать отрицание какого-нибудь высказывания - то же, что утверждать это высказывание.” Неверно, что 2x2 не равно 4” .
(⌐(⌐А)) = А
Законы идемпотентности (от латинских слов idem — «тот же самый» и potens — «сильный»; дословно — «равносильный»). В алгебре логики нет показателей степеней и коэффициентов. Конъюнкция одинаковых ’’сомножителей” равносильна одному из них.
(А&А) = А, (А V А) = А
Законы коммутативности и ассоциативности. Конъюнкция и дизъюнкция аналогичны одноименным знакам умножения и сложения чисел.
Коммутативность:
(А&В) = (В&А), (А V В) = (В V А)
Ассоциативность:
(А&В)&С = А&(В&C) (А V В) V C = А V(В V C)
Законы дистрибутивности. В отличие от сложения и умножения чисел логическое сложение и умножение равноправны по отношению к дистрибутивности: не только конъюнкция дистрибутивна относительно дизъюнкции, но и дизъюнкция дистрибутивна относительно конъюнкции:
А&(В V C) = (А&В) V(А&С) АV(В&С) = (АVВ)&(АVС)
Законы де Моргана (Август де Морган (1806-1871) - шотландский математик и логик) :
(⌐(А&В)) = ((⌐А) V (⌐В)) - отрицание логического произведения эквивалентно логической сумме отрицаний множителей.
(⌐(АVВ)) = ((⌐А)&(⌐В)) - отрицание логической суммы эквивалентно логическому произведению отрицаний слагаемых.
Законы поглощения
А&(А V В) = А, АV(А&В) = А
Законы склеивания
(А V В)&((⌐А) V В) = В
(А&В) V((⌐А)&В) = В
Справедливость приведенных законов легко доказывается табличным способом: надо выписать все наборы значений А и В, вычислить для них значения левой и правой частей доказываемого выражения и убедиться, что результирующие столбцы совпадут.
Заключение
Человек всегда стремился отыскать истину. И первобытные люди и наши современники стремятся получить истину. Обладание истинным знанием одним людям приносит радость и удовлетворение, другим наоборот, горе. Но несмотря на это он все равно хотят найти истину.
Можно логично рассуждать, правильно строить свои умозаключения, опровергать доводы противника и не зная правил логики, подобно тому как люди выражают свои мысли на языке, не зная его грамматики. Однако знание логики повышает культуру мышления, способствует четкости, последовательности и доказательности рассуждения, усиливает эффективность и убедительность речи.
Особенно важно значение логики в процессе овладения новыми знаниями, в обучении. Знание логики помогает заменить логические ошибки в устной речи и в письменных произведения других людей, найти более короткие и правильные пути опровержения этих ошибок, не допускать ошибок самому.
В науке, полемике, в повседневной жизни, в обучении нам ежедневно приходится из одних суждений выводить другие. Опровергать ложные суждения или неправильно построенные доказательства. Сознательное следование законам логики дисциплинирует мышление, делает его более аргументированным, эффективным и продуктивным, помогает избежать ошибок.
Список использованных источников
Бочаров В.А., Маркин В.И. Основы логики. М.: ИД Форум: Инфра-М, 2008. - 336 с
Лаврикова Ю.Н. Логика. Учимся решать. М.: Юнити, 2012. -207 с.
Андреева Е.В. Математические основы информатики. М.: Бином, 2005. - 328 с.
Матросов В.Л. Теоретические основы информатики. М.: ИЦ Академия, 2009. - 352 с.
Астахова Е. В. Теоретические основы информатики. Барнаул.: Алт.ГТУ им.И.И.Ползунова, 2010. - 191 с.
18