Колебание массивной пластины в весомой жидкости

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ 3
1. Математическая постановка задачи о колебаниях массивной пластины, погруженной на глубину весомой жидкости Ошибка! Закладка не определена.
2. Сведение краевой задачи к интегральному уравнению 8
3. Вычисление ядра интегрального уравнения 13
4. Определение формы свободной поверхности 17
5. Численный метод решения 17
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 17
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 17
 

Интеграл второго слагаемого будем рассматривать по замкнутому контуру 𝐶4(рисунок 3, б), обходящему IV-ую четверть.абРисунок 3 – Контуры 𝐶3и 𝐶4для вычисления интегралов при 𝑥>0Подынтегральная функция первого слагаемого имеет простой полюс 𝛼=−𝑣−𝑖𝜀, находящийся в III четверти. В таком случае, интеграл по замкнутому контуру будет равен −2𝜋𝑖, умноженному на вычет подынтегральной функции в особой точке.В IV четверти подынтегральная функция второго слагаемого аналитическая, тогда по теореме Коши интеграл по замкнутому контуру будет равен нулю. Переходя к пределу при возрастании радиуса дуги круга до бесконечности, получимТогда при вычислении функции (25) можно осуществить переход с действительной области интегрирования на мнимую следующим образом:Вычисляя вычет, делая замену переменной 𝛼=−𝑖𝛽, 𝛽>0, устремляя 𝜀 к нулю и преобразовывая выражение, получим:;Таким образом, вычисление ядра сведено к вычислению интеграла вдоль положительной полуоси с экспоненциально убывающим весом:4.Определение формы свободной поверхностиДля того чтобы найти форму свободной поверхности используем условие на свободной поверхности: (29)Под действием преобразования Фурье (29) перейдет в выражение: (30)Подставив Ф+в (30), получим:Выражая из (31) 𝐹[𝜂]и делая обратное преобразование Фурье, получим соотношение: (32)гдеТогда соотношение (32) в безразмерном виде будет выглядеть так: (33)5.Численный метод решенияДля численного решения уравнения (24) применим метод дискретных вихрей. Выбор узлов и точек коллокации обусловлен классом функций, неограниченных на кромках пластинки. Получим следующую систему уравнений: (34)гдеДанный приём означает, что значения неизвестной функции определяются в некоторых точках из условия приближенного удовлетворения уравнения (24) в некоторых точках . В каждом малом интервале, полученном делением полного интервала (-1,1) на N частей, точки определения решения располагаются на длины малого интервала ближе к тому концу, где искомая функция имеет особенность. Точка, в которой приближенно удовлетворяется уравнение (24) расположена на длины малого интервала ближе к тому концу, где функциядолжна быть ограничена.С помощью такого сдвига переменных xiиsjудаётся избежать обращения в бесконечность коэффициентов аппроксимирующей системы линейных алгебраических уравнений (34).Такая схема расположения дискретных вихрей и точек коллокации выбрана для обеспечения условия Жуковского-Чаплыгина о конечности давления в выходной кромке профиля. Физически данному приёму соответствует замена тонкой пластины дискретными точечными вихрями, расположенными в точках и удовлетворение условию непротекания в точках. Решая систему (34), найдeм значения 𝛾(𝑠𝑗), с помощью которых, согласно (33), можно определить форму свободной поверхности: (35)ЗАКЛЮЧЕНИЕВ данной работе была получена математическая модель колебаний пластинки, плавающей на глубине весомой жидкости. При помощи теории функций комплексного переменного,разрабатываемая модель была представлена в виде интегрального уравнения, ядро которого вычислено при помощи теории вычетов. Найдена формула для определения формы свободной поверхности жидкости при колебаниях жесткой пластинки. Разработана схема численного решения на основе метода дискретных вихрей.Таким образом, поставленные в начале работы задачи решены, а цель - исследование колебаний массивной пластины в весомой жидкости, достигнута.СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ1. Бугров Я.С., НикольскийС.М.Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. М.: Дрофа, 2004, 512 с. 2. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. McGraw-Hill Book Company, 1968. 3. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К.Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях. М.: Наука, 1985, 256 c. 4. Лойцянский Л.Г.Механика жидкости и газа. Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1950. 5. Алексеев В.В., Индейцев Д.А, МочаловаЮ.А. Колебания упругой пластины контактирующей со свободной поверхностью тяжелой жидкости. Институт проблем машиноведения РАН, 2001. 6. Ткачева Л.А. Колебания упругой пластины при периодических смещениях участка дна. Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, 2004.