Сравнительный анализ эффективности простейших систем массового обслуживания

Содержание
Оглавление
Введение 5
1. Классификация СМО и их основные элементы 7
2. Использование моделей массового обслуживания на примере городских экстренных служб 9
3. Расчет характеристик систем массового обслуживания 12
3.1 Первый этап. Система с отказами 12
3.2 Второй этап. Система с ограничениями на длину очереди 16
3.3 Третий этап. Влияние производительности каналов 21
Заключение 25
Список использованных источников 26

Таким образом, на основе этих результатов можно сформировать таблицу 4 с общими техническими параметрами изучаемой системы для различных значений длины очереди, лежащих в диапазоне 1…5.
Однако окончательное решение о количестве мест в очереди может быть принято только после количественной оценки экономических показателей, поскольку на содержание мест очереди приходится нести определенные эксплуатационные издержки и капитальные затраты.
С этой целью задаваясь рядом значений параметра, m были рассчитаны зависимости удельных затрат C(m) в соответствии с их составляющими. Они показаны в таблице 5.
Таблица 4 Параметры технической эффективности системы с ограничениями на длину очереди
Система с ограничениями на длину очереди
n*=6, λ =2 1/ед.врем., / m

Cобщ
ед.ст Данные системы с отказами m = 0 1,93 4,07 - 0,007 1,92 1,79 Данные системы ограничениями на длину очереди 1 1,952 4,048 0,185 0,048 1,95 0,506 2 1,976 4,024 0,227 0,024 1,98 0,418 3 1,993 4,007 0,144 0,007 1,993 0,314 4 1,998 4,002 0,062 0,0015 1,998 0,266 5 2,00 4,000 0,020 0,0003 1,999 0,251
Таблица 5 Параметры экономической эффективности системы с ограничениями на длину очереди
К вычислению общей стоимости обслуживания заявок в единицу времени m
ед.стоим.
ед.стоим.
ед.стоим.
ед.стоим. Cобщ
ед.стоим. Данные системы с отказами m = 0 0,988 0,805 - 0,005 1,80 Данные системы ограничениями на длину очереди 1 0,976 0,810 0,0185 0,0096 1,819 2 0,988 0,805 0,0228 0,0048 1,822 3 0,996 0,801 0,0144 0,0014 1,810 4 1,000 0,800 0,0062 0,0003 1,803
Таблица 5 Результирующие показатели эффективности системы
с ограничениями на длину очереди
Результирующие показатели системы
с ограничениями на длину очереди
С
ед.ст
ед.вр Данные системы с отказами 0,91 0,96 0,33 0,988 Данные системы ограничениями на длину очереди 0,932 0,96 0,325 0,976 0,922 0,987 0,329 0,988 0,908 0,996 0,332 0,996 0,902 0,999 0,333 0,999 0,900 0,9998 0,333 1,000
Рисунок 5 Зависимость результирующих показателей экономической эффективности системы от длины очереди
Полученные количественные оценки технической и экономической эффективности системы с ограничениями на длину очереди позволяют однозначно утверждать ее более значительную эффективность в сравнении с системой с отказами. С ростом размера буфера очереди при заданных в этом варианте удельных эксплуатационных затратах на содержание очереди эффективность как техническая, так и экономическая монотонно растут: степень загрузки каналов и вероятность обслуживания заявки увеличиваются, в то время как удельные затраты снижаются.

3.3 Третий этап. Влияние производительности каналов
На третьем этапе проводилось изучение влияния пропускной способности каналов облуживания на эффективность системы. Исходные данные изучаемой системы:
λ – интенсивность входного потока,
– среднее время обслуживания одной заявки для рассматриваемого варианта системы.
n = – число каналов обслуживания рассматриваемой смешенной системы совпадает с найденным ранее числом каналов оптимальной системы с отказами.
– признанное оптимальным среднее время пребывания заявки в очереди.
– признанная оптимальной допустимая длина очереди.
Производительность канала обслуживания определяется величиной параметра – средним временем обслуживания одной заявки. Рассматривается смешанная система, признанная оптимальной. Показатели эффективности этой первоначальной системы сравниваются с аналогичными показателями двух вариантов этой системы:
Вариант a) системы с уменьшенной производительностью каналов обслуживания за счет увеличения в два раза среднего времени обслуживания и с уменьшенными затратами, связанными с эксплуатацией и простоем оборудования
, .
Рисунок 6. Зависимость вероятности обслуживания заявки при уменьшении пропускной способности канала
Анализ графика на рисунке 6 и его сравнение с аналогичным графиком для системы с эталонной производительностью (рисунок 3) показывает значительные изменения: вместо монотонного характера изменения технической эффективности появился перегиб и определяется оптимальное значение длины очереди, равное трем единицам буфера очереди.
Для пары графиков на рисунке 7 и рисунке 4 картина является аналогичной, положение оптимума остается таким же.
Рисунок 7. Зависимость средней занятости каналов обслуживания от длины очереди при уменьшении пропускной способности канала
Вариант b) системы с увеличенной производительностью каналов обслуживания за счет уменьшения в два раза среднего времени обслуживания и увеличенными затратами, связанными с эксплуатацией и простоем оборудования
, .
Результаты экспериментов на этой модели показали, что при росте производителтности какналов обслуживания техническая эффективность системы с очередью продолжает быть более высокой: рисунки 8 и 9. Хотя и в этом случае положение оптимума сдвинулось в сторону увеличения размера буфера очереди до 4 единиц.
С экономической точки зрения организация и эксплуатация очереди оправданные в большей мере: разрыв в эффективности в сравнении с системой с отказами увеличился еще более (сравнить рисунок 5).
Рисунок 8. Зависимость вероятности обслуживания заявки при уменьшении пропускной способности канала
Рисунок 9. Зависимость средней занятости каналов обслуживания от длины очереди при увеличении пропускной способности канала
Рисунок 10. Зависимость результирующих показателей экономической эффективности системы от длины очереди
Полученные результаты позволяют сделать вывод о том, что изучаемая система в рассматриваемом диапазоне изменения исходных данных имеет высокую чувствительность к их изменениям. Следовательно, подобные количественные оценки и анализ их результатов необходимо проводить всякий раз, как только условия внешней среды системы СМО будут изменяться.
При уменьшении длины очереди потребительская эффективность растет (минимум вероятности обслуживания равен 0,7 против 0,55), в то время как техническая эффективность, характеризуемая средней занятостью каналов обслуживания остается достаточно близкой.
Как вероятность обслуживания – потребительская эффективность СМО, так и средняя занятость каналов – техническая, внутрисистемная эффективность системы достигают максимума при длине очереди = 4.

Заключение
В тех случаях, когда функционирование систем массового обслуживание требуют значительных капиталовложений в оборудование и высоких эксплуатационных затрат в процессе обслуживания необходима оценка эффективности СМО с позиций стоимостных критериев эффективности.
Детальное изучение функционирования СМО и формирование затрат, возникающих в ней для достижения максимальной эффективности проведено на основе стоимостных критериев.
При этом в процессе анализа СМО были определены ряд показателей ее эффективности, как технической (число n занятых каналов обслуживания, число обслуженных (λb), ожидающих обслуживание или получивших отказ заявок (λc) в единицу времени и т.д.), так и экономической (стоимость потерь, связанных с уходом не обслуженной по тем или иным причинам заявки из системы, экономический эффект, полученный в результате обслуживания заявки, и т.д.
Использование экономических показателей позволило избежать неоднозначность влияния выбора ряда показателей на свойства изучаемой системы. Это позволяет разрешить противоречие между эксплуатационной и потребительской эффективностью и оптимизировать систему с учетом обеих точек зрения.
Оптимальные значения системы с отказами относительно экономической эффективности показывают, что минимальные удельные затраты на обслуживание одной заявки равны 0,58 и достигаются при значении количества каналов обслуживания, равном 3; при этом вероятность обслуживания заявки равна 0,82.
Введение возможности пребывания заявок на обслуживание в очереди существенно улучшает как потребительскую эффективность (вероятность обслуживания растет), так экономическую (удельные затраты на заявку снижаются), причем тенденция к росту обоих показателей эффективности увеличивается с ростом длины очереди, достигая насыщения при длине очереди, равной 5. При этом система становится практически безотказной: вероятность облуживания равна 0,99 уже при длине очереди, равной 3. Средняя стоимость обслуживания одной заявки является 0,25.
Из трех вариантов системы (первоначального варианта без очереди, с уменьшенной и с увеличенной производительностью каналов) наилучшим вариантом с точки зрения экономической эффективности является вариант с увеличенной пропускной способностью канала, в котором средняя стоимость обслуживания одной заявки может быть минимизирована до значения, равного 0,15.

Список использованных источников
1. Шапкин А. С. Математические методы и модели исследования операций : учебник для вузов / А. С. Шапкин, В. А. Шапкин .- 5-е изд.- М. : Дашков и К, 2011
2. Исследование операций в экономике : учебное пособие для вузов / под ред. Н. Ш. Кремера .- 2-е изд., перераб. и доп.- М. : Юрайт, 2011
3. Афанасьев М. Ю. Прикладные задачи исследования операций : [учебное пособие для вузов] / М. Ю. Афанасьев, К. А. Багриновский, В. М. Матюшок .- М. : ИНФРА-М, 2009
4. Моделирование систем : учебник для вузов / [С. И. Дворецкий, Ю. Л. Муромцев, В. А. Погонин, А. Г. Схиртладзе] .- М. : Академия, 2009
5. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика 12-е изд. Учебное пособие для вузов. — М. : Издательство Юрайт, 2010 г. — 479 с.
6. Вентцель Е. С. Исследование операций: задачи, принципы, методология : учебное пособие [для вузов] / Е. С. Вентцель .- 5-е изд., стереотип.- М. : КноРус, 2010


ТЕОРИЯ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
КП.П-41бс.
Разработал
Н.контроль
Рецензент
Н.Контроль
Проверил
Изм.
Лист
№ докум.
Подпись
Дата
Лист
Х
Простейшие системы массового обслуживания
Пояснительная записка.
Лит.
Листов
ХХ
УрТИСИ СибГУТИ
Утвердил
.
Изм.
Лист
№ докум.
Подпись
Дата
Лист
4
230100.0000Х П.ABC ПЗ