Куросовая работа по ТВиМС

Оглавление
1. Введение. 2
1.1 Постановка задачи и исходные данные. 2
1.2 Описание методов математической статистики, использованных в работе 4
1.2.1. Показатели вариации 4
1.2.2 Статистическая проверка гипотез. Критерии Пирсона 8
1.2.3. Выборочное наблюдение. Доверительные интервалы 12
2. Расчеты 17
3. Заключение. 29
Список использованной литературы 30

Островершинные кривые обладают положительным эксцессом, кривые более плосковершинные - отрицательным эксцессом. Ex = -2,6Чтобы оценить существенность эксцесса рассчитывают статистику Ex/sExгде sEx - средняя квадратическая ошибка коэффициента эксцесса. Если отношение Ex/sEx > 3, то отклонение от нормального распределения считается существенным. Ex/sEx=2,4/0,66 = 3,63Поскольку Ex/sEx=3,63> 3, то отклонение от нормального распределения считается существенным. 2.построить гистограмму и полигон частот;Полигон частотПроведем аналитическую группировку статистических данных. Найдем число интервалов:Тогда ширина интервала составит: =0,000667Интервальный ряд0,0120,01266710,0126670,01333420,0133340,014001140,0140010,01466800,0146680,015335370,0153350,0161Построим гистограмму3. подобрать гипотетические кривые распределения Вид гистограммы напоминает фигуру под графиком плотности нормального распределения.Можно выдвинуть гипотезу Но о том, что в генеральной совокупности признак распределен по нормальному закону.с параметрами =s = 0,00072, а = xср = 0.0144 Можно выдвинуть гипотезу Н1 о том, что в генеральной совокупности признак распределен по показательному закону.Математическое ожидание: M[X] = 1/λ Дисперсия: D[X] = 1/λ24. Интервальное оценивание центра генеральной совокупности. Доверительный интервал для генерального среднего. В этом случае 2Ф(tkp) = γ Ф(tkp) = γ/2 = 0.99/2 = 0.495 По таблице функции Лапласа найдем, при каком tkp значение Ф(tkp) = 0.495 tkp(γ) = (0.495) = 2.58(0,0144 – 0,00025;0,0144 + 0,00025) = (0.01415;0.01465)С вероятностью 0.99 можно утверждать, что среднее значение при выборке большего объема не выйдет за пределы найденного интервала. Доверительный интервал для среднеквадратического отклонения. S(1-q) < σ < S(1+q)Найдем доверительный интервал для среднеквадратического отклонения с надежностью γ = 0.99 и объему выборки n = 55 По таблице q=q(γ ; n) определяем параметр q(0.99;55) = 0.188 0,00072(1-0.188) < σ < 0,00072(1+0.188)0,000584 < σ < 0,000855Таким образом, интервал (0,000584;0,000855) покрывает параметр σ с надежностью γ = 0.995. 1.1. Проверим гипотезу о том, что Х распределено по нормальному закону с помощью критерия согласия Пирсона. где pi — вероятность попадания в i-й интервал случайной величины, распределенной по гипотетическому закону Для вычисления вероятностей pi применим формулу и таблицу функции Лапласа где s = 0,00072, xср = 0.0144Теоретическая (ожидаемая) частота равна ni = npi, где n = 55 ИнтервалыгруппировкиНаблюдаемаячастотаnix1 = (xi - xср)/sx2 = (xi+1 - xср)/sФ(x1)Ф(x2)Вероятность попадания в i-й интервал, pi = Ф(x2) - Ф(x1)Ожидаемаячастота, 55piСлагаемыестатистикиПирсона, Ki0.012 - 0.0126671-3,491029655-2,57888-0,49976-0,495040,0047155130,2593532,11509870.012667 - 0.0133342-2,578877643-1,66673-0,49504-0,452220,0428283932,3555620,05367040.013334 - 0.01400114-1,66672563-0,75457-0,45222-0,274750,1774679429,7607371,84118810.014001 - 0.0146680-0,7545736180,157578-0,274750,0626050,33735305618,5544218,5544180.014668 - 0.015335370,1575783941,069730,0626050,357630,29502417716,2263326,5953780.015335 - 0.01611,0697304061,9791470,357630,47610,1184706276,5158854,6693556 - 5553,829109Определим границу критической области. Так как статистика Пирсона измеряет разницу между эмпирическим и теоретическим распределениями, то чем больше ее наблюдаемое значение Kнабл, тем сильнее довод против основной гипотезы. Поэтому критическая область для этой статистики всегда правосторонняя: [Kkp;+∞). Её границу Kkp = χ2(k-r-1;α) находим по таблицам распределения χ2 и заданным значениям s, k (число интервалов), r=2 (параметры xcp и s оценены по выборке). Kkp = χ2(7-2-1;0.05) = 9.48773; Kнабл = 0Наблюдаемое значение статистики Пирсона попадает в критическую область: Кнабл > Kkp, поэтому есть основания отвергать основную гипотезу на данном уровне значимости. 5.2 Проверка гипотезы о показательном распределении генеральной совокупности. Для того чтобы при уровне значимости а проверить гипотезу о том, что непрерывная случайная величина распределена по показательному закону, надо: 1. Найти по заданному эмпирическому распределению выборочную среднюю хcp. Для этого находят середину i-го интервала xcpi = (xi+xi+1)/2, составляют последовательность равноотстоящих вариант и соответствующих им частот. 2. Принять в качестве оценки параметра Х показательного распределения величину, обратную выборочной средней: 3. Найти вероятности попадания X в частичные интервалы (xi,xi+1) по формуле: Pi = P(xi < X < xi+1) = e-λxi - e-λxi+14. Вычислить теоретические частоты: ni = n ∙Pi5. Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона, приняв число степеней свободы k = s-2, где s - число первоначальных интервалов выборки; если же было произведено объединение малочисленных частот, следовательно, и самих интервалов, то s - число интервалов, оставшихся после объединения. Среднее значение равно 0.0144. Следовательно, параметрλ = 1 / 0.0144 = 68.72Таким образом, плотность предполагаемого показательного распределения имеет вид: f(x) = 68.72e-68.72x, x > 0Найдем вероятности попадания X в каждый из интервалов по формуле: Pi = P(xi < X < xi+1) = e-λxi - e-λxi+1P1 = (0.012 < X < 0.012667) = 0.4384 - 0.4188 = 0.01964, ni = 55 ∙ 0.01964 = 1.08 P2 = (0.012667 < X < 0.013334) = 0.4188 - 0.4 = 0.01876, ni = 55 ∙ 0.01876 = 1.03 P3 = (0.013334 < X < 0.014001) = 0.4 - 0.3821 = 0.01792, ni = 55 ∙ 0.01792 = 0.99 P4 = (0.014001 < X < 0.014668) = 0.3821 - 0.365 = 0.01712, ni = 55 ∙ 0.01712 = 0.94 P5 = (0.014668 < X < 0.015335) = 0.365 - 0.3486 = 0.01635, ni = 55 ∙ 0.01635 = 0.9 P6 = (0.015335 < X < 0.016) = 0.3486 - 0.3331 = 0.01557, ni = 55 ∙ 0.01557 = 0.86 P7 = ( < X < ) = 1 - 1 = 0, ni = 55 ∙ 0 = 0 inin*ini - n*i(ni - n*i)2(ni - n*i)2/n*i111.08-0.08020.006440.00596221.030.970.940.913140.9913.01169.37171.85400.94-0.940.890.945370.936.11303.261449.23610.860.140.02060.024170000Итого01622.96Определим границу критической области. Так как статистика Пирсона измеряет разницу между эмпирическим и теоретическим распределениями, то чем больше ее наблюдаемое значение Kнабл, тем сильнее довод против основной гипотезы. Поэтому критическая область для этой статистики всегда правосторонняя: [Kkp;+∞). Её границу Kkp = χ2(k-r-1;α) находим по таблицам распределения χ2 и заданным значениям s, k (число интервалов), r=1 (параметр λ). Kkp(5,0.05) = 11.07050; Kнабл = 1622.96 Наблюдаемое значение статистики Пирсона попадает в критическую область: Кнабл > Kkp, поэтому есть основания отвергать основную гипотезу. Данная выборкараспределеныне по показательному закону.3. Заключение.Среднее значение исследуемой величины составляет 0,0144, мода равна 0.0147, медиана 0,0147. Каждое значение ряда отличается от другого в среднем на 0.00057.Каждое значение ряда отличается от среднего значения 0.0144 в среднем на 0,00071.Коэффициент вариации v=5% ≤ 30%, то совокупность однородна, а вариация слабая. Полученным результатам можно доверять.В анализируемом ряду распределения наблюдается существенная левосторонняя асимметрия. На выбранном уровне значимости. Гипотеза о распределении по нормальному и показательному законам не подтвердилась.Можно ли данному продукту присвоить сертификат качества?Совокупность однородна, а вариация слабая. Данному продукту можно присвоить сертификат качества.Сколько образцов нужно взять для обследования, что бы повысить точность результатов в два раза?Определим объем выборки по формуле:Т.к. точность должна быть в 2 раза больше, то объем выборки нужно увеличить в 4 раза, т.е. 55∙4 =220Можно ли считать, что качество представленного продукта одинаково?Да, можно.Список использованной литературыГмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учебное пособие для студентов вузов. Изд 4-е, стер. – М.: Высш. шк., 2008. – 400 с.Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнения и задачах. В 2-х ч. Ч. II: Учебное пособие для втузов. – 5-е изд., испр. – М.: Высш. шк., 2007. – 416 с.Карасев А.И., Аксютина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей математики для экономических вузов. В 2-х частях. Ч. II. Теория вероятностей и математическая статистика. Линейное программирование. –М.: Высшая школа, 2002.Бронштейн И.Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. – М.: Наука, 2006. Гмурман В.Е. Теории вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие для вузов. Изд 6-е, стер. – М.: Высш. шк., 1998. – 479 с.Кремер Н.Ш. Математическая статистика: Учебное пособие /ВЗФЭИ. – М.: Экономическое образование, 2012. – 112 с.Вентцель Е.С. Теория вероятностей: Учебник для вузов. – 5-е изд., стер. – М.: Высш. шк., 2008. – 576 с.