Теория игр и ее применения

1. Основные понятия теории игр
1.1. Определение игры и их виды
1.2. Чистые и смешанные стратегии
1.3. Доминирующие и доминируемые стратегии
2. Равновесие Нэша: определение и примеры
2.1. Понятие равновесия по Нэшу
2.2. Модель Курно
2.3. Модель Бертрана
2.4. Модель Штекельберга
3. Модели аукционов
3.1. Открытый аукцион
3.2. Закрытый аукцион
3.3. Теорема эквивалетности
3.4. Аукцион с варьируемым оптимумом
Выводы
Список литературы

Как уже отмечалось превалирующим типом аукциона является аукцион открытого типа. Объяснением тому отчасти может служить большая осторожность агентов в закрытых аукционах, порождаемая "проклятием победителя". Можно предположить, что само по себе использование закрытых аукционов может быть связано с тем, что они затрудняют сговор агентов, или, по крайней мере, затрудняют контроль за возможными отклонения от оговоренной линии поведения. Действительно, в ходе открытого аукциона отклонение одного из участников сговора от ранее намеченнной стратегии становится очевидным практически немедленно(еще в ходе аукциона), а, соответственно, легче становится, прибегая к наказанию, обеспечить лояльность данного участника. Например, американские баскетбольные клубы, столкнувшиеся в конце 70-х годов с резким повышением уровня оплаты игроков, с середины 80-х годов перешли к тактике наказания за переманивание игроков лучшими условиями оплаты. Как только становилось известно о поступившерм от клуба А в адрес одного из игроков клуба В предложении, клуб В отвечал симметрично, выдвигая сходные предложения игроку клуба А. Нечто подобное имеет место и на аукционах антиквариата, где претендуя на получение предмета, предназначенного (в результате предварительного сговора) другому покупателю, агент сталкнется с наказанием либо в виде дальнейшего повышения ставок на данный раритет, либо в виде острой конкуренции при покупке особо интересующих его объектов. Такого рода конкуренция невыгодна агентам, и, в конечном счете, это приводит к сговору по поводу раздела между покупателями предметов выставляемых на аукцион . Разумеется, если куш очень велик, агент может нарушить соглашение. Впрочем, мы уже говорили о устойчивости такого рода соглашений, рассматривая повторяемые игры. Используемые на практике схемы включающие компенсации, выплачиваемые «победителем» прочим агентам, могут быть довольно сложными. В литературе имеется описание реальной схемы, использованной в Нью-Йорке группой из 7 дилеров. До начала аукциона по продаже некоего раритета двое из них получили по 100 долл. за отказ от участия в аукционных торгах, в то время как остальные договорились не вступать в конкурентную борьбу друг с другом, уступив предмет одному из участников, который и смог приобрести его за $ 5 тыс. После аукциона эти пятеро направились в близлежащее кафе и провели там свой собственный закрытый аукцион, в ходе которого предмет и обрел своего истинного хозяина. Пять ставок, написанных на клочках бумаги,выглядели следующим образом(см. первый столбец):Ставки в закрытом аукционеКомпенсации200 1 - 4 : (- 5 000)/ 5 =1000/ 5= 200. 200 +375 =575 2- 4 : ()/ 4 =1500/ 4 = 375200 +375+250 =8253- 4 : ()/ 3 = 750/ 3 = 250200 +375+250+375 =12004: ()/ 2 =750/ 4 = 375 Итого: 2 800 Участник, назвавший наивысшую цену( $ 10 тыс.), получил предмет в свое распоряжение, выплатив прочим дилерам $ 2 800 компенсации(см. столбцы 2-3). С учетом 200 долл, выплаченных до начала аукциона, этот участник получил предмет за 5000+ (200) + 2800=8000.Проводя дальнейшее сопоставление открытых и закрытых аукционов, следует указать на то, что проведение аукционных торгов, которые предполагают заключение сложных контрактов (подобно инвестиционным торгам или торгам при выделении заказов на поставку военной техники), включающим множество деталей, также делает более предпочтительным обращение к закрытой форме проведения аукциона. Предложения конкурентов необходимо сопоставить между собой, что влечет за собой значительные издержки, в частности, тредует значительного времени. Например, известен случай, когда оценка предложений всего лишь четырех конкурирующих поставщиков вооружений потребовала 182 тыс. часов работы государственных чиновников. Итак, в определенных ситуациях закрытые аукционы практически не имеют альтернативы. Но какой из двух типов закрытых аукционов является более предпочтительным с точки зрения принципала? Приводит ли аукцион 1, в котором участник платит заявленную им самим цену, в среднем к более высоким или более низким поступлениям для принципала, чем аукцион 2, в котором участник платит цену названную вторым участником? Ответ на этот вопрос, в сущности, не совсем очевиден, поскольку в аукционе 1 участники называют более низкие цены, но в аукционе 2 выплачивается не первая, а вторая цена. Теорема эквивалентности: Аукцион 1 и аукцион 2 обеспечивают одну и ту же ожидаемую полезность(выигрыш) нейтральным к риску агентам с IID оценками и одну и ту же ожидаемую цену продавцу, т.е. принципалу.Доказательство. ОбозначимЕt - ожидаемый платеж (простоты ради будем полагать, что платит только победивший), - ценность объекта для участника , P- вероятность выигрыша. Тогда ожидаемая полезность (или ожидаемый выигрыш, что тождественно для нейтрального к риску агента)Выбор заявки есть, по сути, выбор , точнее .Предположим участник аукциона выбрал и , максимизирующие целевую функцию .Тогда в полном соответствии с теоремой об огибающей (TheEnvelopeTheorem), производная этой целевой функции по параметру в точке оптимума может быть определена взятием частной производной по этому параметру.Учтем, что и проинтегрируем это тождество, что позволит нам получитьравнавероятности того, что данный участник выиграет или вероятности того, что ставки других участников меньше , т.е. едина для любого аукциона, распределение выигрыша в котором будет эффективным . Соответственно, если ожидаемая прибыль участников оказывается тождественной в аукционах различных типов, то и ожидаемая цена также должна быть одинаковой.Тем не менее наиболее распространенным типом аукциона остается английский аукцион (и подобный ему аукцион 2), хотя при получении промышленных заказов превалирующей формой является аукцион 1. Материал следующих разделов позволяют частично объяснить причины подобного положения.3.3. АУКЦИОНЫ С ВАРЬИРУЕМЫМ КОЛИЧЕСТВОМОбъяснение того, почему при распределении промышленных заказов используются аукционы 1. Отличие от предыдущей модели: • агенты продают товар принципалу, т.е. выбрано будет предложение с минимальной ценой p• покупатель может купить любое количество единиц товара по цене, выбранной на аукционе q(p).При этом предполагается, что q '(p) < 0, и cуществует такой уровень цены p , при превышении которого спрос падает до нулевого уровня. Продавцы имеют постоянные предельные издержки с, но уровень их различен. Именно уровень предельных издержек и определяет частную оценку (тип) каждого участника аукциона. Как и в предыдущей модели существует равновесие в аукционной игре, в которой каждый участник выбирает одну и ту же стратегию (именно стратегию, а не заявку), и заявки являются некоей возрастающей функцией от уровня предельных издержек. В этом случае приз (заказ) достается фирме, предложившей низшую цену, т.е. фирме с самыми низкими издержками. Однако, поскольку цена ( и в аукционе 1 и в аукционе 2) будет превышать предельные издержки, распределение не будет эффективным( в первом случае - заявки будут завышены, во втором - поставки будут осуществляться по второй цене).Сравним аукцион 1 с аукционом 2. В аукционе 2 участники выступают в роли ценополучателей: несмотря на то, что их выигрыш обусловлен тем, что им удалось предложить более низкую цену, уровень цены в конечном счете определяется ценой ближайшего конкурента. Доминирующая стратегия - выбор цены на уровне собственных предельных издержек.Аукцион 1, как уже отмечалось, делает для участников выгодным сокрытие их истинной цены (в данном случае - завышение). Полагая объем заказа фиксированным, мы констатировали бы совпадение уровня средней цены в обоих аукционах. Однако в данной модели понижение цены ведет к повышению объема заказа.Ожидаемая прибыль , где Рrob(р) - вероятность выигрыша в случае подачи участником заявки р F.O.C.Полагая , мы будем получать, решая эту задачу, более низкие значения для чем при . Действительно появление третьего отрицательного слагаемого означает, что наклон кривой ожидаемой прибыли будет более пологим при . При уровне цены , прежде (т.е. ) при обеспечивавшем максимум прибыли : , наклон кривой ожидаемой прибыли уже будет отрицательным, тем самым возможность варьировать размеры заказа приводит к снижение уровня цены по сравнению с . Повышенная агрессивность поведения отдельных участников формирует в аукционе 1 более низкую среднюю цену, чем в аукционе 2.Может показаться, что понижение средней цены, достигаемое в аукционе 1, уменьшает полезность агентов (продавцов)). Однако это неверно, поскольку ожидаемые прибыли продавцов также выше в аукционе 1. Поскольку в аукционе 1 оптимальное количество будет больше, то значение U* (с) в аукционе 1 также будет превышать соответствующее значение для аукциона 2, а, соответственно, выше будет и полезность продавцов(участников аукциона).. ВыводыВ работе были рассмотрены основные понятия и положения теории игр, простейшие модели, на них основанные, и более сложные их модификации. Сталкиваясь с неопределенностью, игрок выбирает стратегию, исходя из имеющейся у него информации. Так как рассматривались игры с полной информацией, можно сказать, что стратегия одного игрока в таком случае является ответом на предполагаемую стратегию другого. Особенно заметно становится, что игра стратегическая, когла речь идет о взаимодействии двух фирм, наделенных рыночной властью, и конкурирующих в отрасли в соответствии с определенными целями. В случае дуополии Курно лишь в том случае, когда оба игрока выберут стратегии, соотвествующие решению задачи максимизации прибыли, ни один из них не пожалеет о сделанном выборе, так как эти стратегии являются лучшей реакцией друг на друга.То есть никому не выгодно отклоняться от равновесия. В случае с дуополией Бертрана, обе фирмы получают ниже прибыль, чем в модели Курно, однако стоит начать одной снижать цену ради захвата всего рынка, как это начнет делать и другая, и в итоге обе полчат нулевую прибыль. В случае с дуополие Штекельберга прибыль лидера будет выше прибыли последователя, при этом никому не выгодно отклоняться от равновесия. Существует два вида аукционов – первой цены и второй цены. При это было доказано, что они по сути эквивалентны, то есть дают одинаковую оджидаемую полезность обществу. При этом если количество в аукционе варьируется, то так как в аукционе первой цены оптимальное количество будет больше, то значение функции полезности в аукционе первой цены также будет превышать соответствующее значение для аукциона второй цены, а, соответственно, выше будет и полезность продавцов(участников аукциона).Список литературы:Mas – Colell A. , Michael D.Whinston , Jerry R.Green Microeconomic Theory.Oxford University Press,1995. Ch. pp. 863- 867, 889- 891,903-905. MIT 14.12 Economic Applications of Game Theory. Lecture Noteshttp://ocw.mit.edu/OcwWeb/Economics/14-12Fall-2005/CourseHome/index.htm3) Milgrom P. Auctions and Bidding: A primer.// Journal of Economic Perspectives. 1989 Volume 3, Number 3, pp.3-22.4) Tirole J., Drew Fudenberg Game Theory. 7.1.2., pp.246-253; 7.5.1., pp.284-288