Задача конвекции-диффузии

Оглавление
1. Общие сведения
2. Уравнения конвекции-диффузии
3. Уравнения конвекции-диффузии в частных производных
4. Метод конечных элементов
5. Пример решения задачи: разрывный метод Галёркина для решения задач диффузии-конвекции

Для каждого элемента триангуляции задан некоторый параметр δТ, зависящий от ε и a(x) = {a1(x), a2(x)}. В методе SUPG для уравнения конвекции-диффузии конечно-элементное решение uh∈Vhудовлетворяет следующему соотношению для любой функции vhиз VhδT(-ε∆uh+ a ·∇uh - f, a·∇vh)TreTh5. Пример решения задачи: разрывный метод Галёркина для решения задач диффузии-конвекцииРазрывный метод Галёркина (DG) был предложен в 1973 г. Ридом и Хиллом для решения уравнения переносов нейтронов. Этот метод является модификацией метода конечных элементов (МКЭ) и ориентирован на класс задач с разрывными решениями. Разрывной метод Галёркина эффективен при работе с адаптивными сетками и может быть реализован как для нестационарных (параболических, гиперболических), так и для стационарных (эллиптических) задач.В ограниченной открытой области W М R2c границей GDищется решение u( x, y) первой краевой задачи для линейного уравнения конвекции-диффузии-С ( eС u) + pС u= fíàW ,где 0<e(x,y)Јe0,p(x,y)=(p1(x,y),p2(x,y)) - вектор скорости, f(x,y)ОL2(W)- источниковый член; u(x,y) - температура в области W ; gDО L2(¶ W ) - температура, заданная на границе области.Так как задача - несамосопряжённая, то решение ищем в слабой форме. Сформулируем , в виде задачи о седловой точке [2].-С(iq)ipq=fíàu,Введём триангуляцию области Qна непересекающиеся открытые множества K такие, что UK = й,h= п K| UKj=йh è KjпKi=0Ьj№, 1 Ј jЈ n, 1 Ј iЈ nьпэО j=1пюБудем рассматривать слабую формулировку задачи - в пространствахH1(xh)={v(x,y):(x,y)Оa,v\KОH1( K)4KОxh} и(H1( h))2={ q(x,y):(x,y)ОZ,q\KО(H1(K))24KОh}и введём их конечномерные подпространстваиVh=[vhОL2(Q):v|KОPpK(K)^KОxh}МH1(xh) lh=нqhО(L2 (Q) )2:qh|KО(PpK( K ) )2^KОxhэМлH1 ( h) щ 2,где PpK(K) - множество полиномов степени не более pK, определённых на K.Также введём скалярное произведение(u,v)= тuvdxdyи порождённую им норму.Скалярно умножим и на пробные функции xОlhи vОVhсоответственно и применим формулу интегрирования по частям на конечном элементет*xdxdy=-тuСxdxdy + тunKxds,xОlhKKIKт^Сvdxdy+ тpС uhvdxdy= тfvdxdy+ т £ cnKvds,vО VhKKKKБудем аппроксимировать функции uО H1(xh) и оО(H1(h))2 на конечном элементе KО xhфункциями uhО Vhи о hО Zh, а на границах конечного элемента - операторами следа uˆK= (uˆ K)Kо,hО T (Г ) иˆ K=(ˆ K) KОhОй TГ) щ 2, где^^!/^/= UK. Найти uhОVh и ohОlhтакие, что для всех KОxhт*hxdxdy=-тuhСxdxdy+ тuˆKnKxds,4xОIhKK3KтЕ 0hС vdxdy+ тpС uhvdxdy= тfvdxdy+ т £ tˆ KnKvds, VvО VhKKKikПросуммируем и по всем конечным элементам и получимт,hxdxdy=-тuhСxdxdy+ е тuˆ KnKds,VtОZh£1£1KОhiKтionСvdxdy+тpСuhvdxdy=тfvdxdy+ е тi6KnKvds,4vОVhаааKОгhKДля всех vОT(Dи qО( T(r))2е тvKqKnKvds=т[v]{q}ds+ т {v}[q] dsKОгhKГГintгде Тint=Т\Ъа,{ Ч:T(Г)^L2(Гint), {Ч : йлT(Г )щы2^ йлL2(r )щ2 – операторсреднего и [ Ч] : T( G) ® йлL2( G) щы2 , [ Ч] : йлT( G) щы2 ® L2( Gint) – оператор скачка,int)введённые следующим образом:{ v} = 1( v1 +v2) íàeint; 2{ q} = 1( q1 +q2) íàeint; 2{ v} = v1íà ebnd;{}q=q1íàebnd; [ v] = v1n1+ v2n2íàeint; [ q] = q1n1+ q2n2íà eint;[ v] = v1n1íà ebnd;[ q] = q1n1íà ebnd.Здесь eint– внутренние рёбра; ebnd– граничные рёбра конечноэлементной сетки; n– вектор единичной внешней нормали. Используя , получаемт shtdxdy= - т uhС tdxdy+ т [uˆ]tds+ т uˆ[t ]ds, " t О Sh,WWGGintтeshСvdxdy+тpsvdxdy=WW=тfvdxdy+тe { s ˆ}[ v]ds+ т e[s ˆ]{v}ds,"vОVhWGGintС помощью интегрирования по частям и формулы переходим к формулетshtdxdy=тСuhtdxdy-т[uh-u]{t}ds- т {uh-u}[t]dsWWGGintОпределим «лифтинг-операторы» r: (l2 ( G) )® Shи l: L2 ( Gint) ® Sh следующим образом:тr(q) tdxdy=-тq{ t}ds,tОShWGт l(v)tdxdy=- т v[t]ds,tОShWGintТеперь формула может быть записана какт s htdxdy = т С uhtdxdy + т r([uh - uˆ]){t }dxdy+ т l({uh- uˆ})t dxdyWWWWилиПодставляя последнее уравнение в , получаемтe(С uh+ r([uh- uˆ]) + l({uh- uˆ}))С vdxdy+ тpС uhvdxdy=WW= тfvdxdy+тe{s ˆ}Ч [ v ] ds+ тe[s ˆ]{v} ds, " vОVhWGGintИтак, выписываем слабую формулировку разрывного метода Галёркина.Найти uhО Vhтакую, чтоBh( uh,v) = т fvdxdy" vО Vh,WгдеBh( uh,v) = т eС uhС v dxdy- т e[ uh- uˆ] { С v}ds- т e[ v] { sˆ} ds-WGG- т e{ v} [ sˆ ] ds- т e{ uh- uˆ} [ С v] ds+ т pС uvdxdy.СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ:Ольшанский М.А. Равномерные по параметру равносеточные и итерационные методы. М. – 2006.Самарский А.А. Решение задач конвекции-диффузии. М. – 2008.Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Численные методы решения задач конвекции-диффузии. М. – 2003.Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Численные методы решения обратных задач математической физики. М. – 2004.http://cyberleninka.ruhttp://www.dmb.biophys.msu.ru