Численное решение краевой задачи для ОДУ на полубесконечном интервале.

Оглавление
Введение
1.Краевая задача
2.Численные методы решения краевой задачи
2.1.Метод стрельбы
2.2. Метод преобразований Лапласа для решения краевой задачи ОДУ на полубесконечном промежутке
2.3.Метод конечных разностей
2.4. Метод неопределённых коэффициентов
2.5.Метод интегральных тождеств (метод контрольного объёма)
Заключение
Библиографический список

1). Предположим, что изменение температуры по радиусу пренебрежимо мало, так что перенос энергии происходит лишь в одном направлении. Между жидкостью и стенкой трубы происходит конвективный теплообмен с коэффициентом теплоотдачи . Температура на выходе (х = 0) и на стенке трубы поддерживается равной t0, а температура на входе (х = L) принимается равной t1 (t1 > t0). Рассматривая баланс энергии для элементарного объёма жидкости шириной dx, можно получить уравнение (2.5.1)где и ср – соответственно коэффициент теплопроводности, плотность и изобарная теплоёмкость жидкости, а u – её (жидкости) скорость. Для удобства анализа введём безразмерные переменные: X = x/R, = (t – t0)/(t1 – t0). Тогдаопределяющееуравнение (2.5.1) приметвид:с граничными условиями: X = 0, = 0 иX = L/R, = 1. Здесь Pe = cpuR/ = = uR/a – число Пекле, a = /(cp) – коэффициент температуропроводности жидкости, Nu = R/ - число Нуссельта. Точное решение уравнения при заданных граничных условиях описывается выражением (2.5.2)где 1 и 2 – корни характеристического уравнения2 + Pe - 2Nu = 0, (2.5.3)аРешая квадратное уравнение (2.5.3), находим (2.5.4) Характерной особенностью полученного решения является довольно резкое изменение безразмерной температуры при некоторых сочетаниях параметров Pe и Nu (рис. 2). По этой причине данная задача является хорошим "оселком" ("испытателем") для проверки вычислительных свойств того или иного численного метода. Для частного набора параметров задачи Pe = Nu = 1 и 1 = 1 и 2 == -2. Тогда решение принимает вид(X) = 0,018316(eX – e-2X).Полагая теперь последовательно Х = 1, 2, 3, находим: (1) = 0,0473; (2) = = 0,1350; (3) = 0,3679. Эти значения теперь можно сравнивать с результатами реализации численных методов. Рис. 2. Изменение относительной температуры по длине трубы Параметры кривых: № PeNu № PeNu (сверху вниз) 1 10 1 5 0.5 1 2 4 1 6 2 2 3 2 1 7 2 4 4 1 1 8 2 10 В данном случае задача одномерна, т.е. искомая функция зависит лишь от одного аргумента, поэтому в качестве контрольного "объёма" здесь выступает отрезок оси Х – [Xj-1/2, Xj+1/2] (см. рис.3). Проинтегрируем уравнение по контрольному "объёму", показанному на рис. 3: (3.44)Будем считать Ре и Nu постоянными величинами. Тогда после частичного интегрирования получим:Обращаясь теперь к рис. 3, получаем следующие аппроксимации:Единственный интеграл, который входит в соотношение и представляет собой заштрихованную область на рис. 3, может быть вычислен с помощью квадратурной формулы трапеций Если сетка равномерная, то Xj – Xj-1 = Xj+1 – Xj = X и выражение принимает более простой видЕсли температура внутри контрольного "объёма" распределена равномерно, так что j-1 = j = j+1, то интеграл в целом оказывается равным эквивалентной величине ½ j (Xj+1 – Xj-1) Xj, которая получается при использовании разложения функций в ряды Тейлора. В случаях же, когда имеют место большие градиенты температуры, формула трапеций обеспечивает более точную аппроксимацию, поскольку при этом учитывается неоднородность распределения температуры. Подстановка соотношений даётили при равномерной сеткеИнтегро-интерполяционный метод особенно полезен для уравнений с негладкими или разрывными коэффициентами, поскольку именно интегральная запись законов сохранения выделяет из всех математически доступных решений таких уравнений физически правильное обобщённое решение.ЗаключениеВ данной работе были рассмотрены численные методы решения краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Во второй части выделены основные идеи для метода стрельбы и кончено-разностного метода и алгоритмы их решения.Библиографический списокВержбицкий В.М. Основы численных методов: Учебник для вузов – М.: Высш.шк., 2002. Киреев В.И., Пантелеев А.В. Численные методы в примерах и задачах: Учеб.пособие. -2-е изд. стер.- М.:Высш. шк., 2006. Пирумов У.Г. Численные методы: Учеб.пособие для студ. втузов. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Дрофа, 2003. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: Учеб.для вузов. В 2 –х т. Т.П: - М.:Интеграл – Пресс, 2002. Тарасевич Ю. Ю. Численные методы на Mathcad’е. – Астраханский гос. пед. ун-т: Астрахань, 2000.Турчак Л.И., Плотников П. В. Основы численных методов: Учеб.пособие. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. Формалев В.Ф., Ревизников Д.Л. Численные методы. – Изд. 2-е, испр., доп. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.:Наука, 1978.Д.Каханер, К.Моулер, С.Нэш. Численные методы и программное обеспечение. М.:Мир, 2001.Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения (Вся высшая математика в задачах). – М.:УРСС, 2002.Буслов В.А., С.Л. Яковлев. Численные методы. Решения уравнений. – Санкт-Петербург: СПГУ, 2001.Арушанян О.Б., Залеткин С.Ф. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. – М.:Дрофа, 2005.Дж. Холл, Дж. Уатт. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. – М.:Мир, 1979.