Теория игр и ее экономические приложения

Введение
ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ИГР
1.1.Сущность теории игр
1.2.Классификация теории игр
1.3.Антагонистические игры
1.4.Множители Лагранжа
1.5.Теорема Куна–Такера
1.6.Модель распределения дефицитного ресурса
1.7.Модель децентрализованного управления
1.8.Область применимости модели
ГЛАВА 2. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ИГР
2.1. Значение теории игр в экономике
2.2. Пример решения конкретной задачи
2.2. Примеры игр в теории игр
Игра « Борьба за рынки»
Игра «Еще одна борьба за рынки»
Игра с выбором момента времени (игра типа дуэли)
Игра “Семейный спор”
Игра “Дилемма заключенного”
Формулировка биматричной игры “Борьба за рынки”
Заключение
Список литературы

Оптимальная альтернатива решения по критерию Гурвица определяется на основе следующей формулы:Аi=а *ЭMAXi+ (1 - а) * Э MINi,где Ai — средневзвешенная эффективность по критерию Гурвица для конкретной альтернативы;а — альфа-коэффициент, принимаемый с учетом рискового предпочтения в поле от 0 до 1 (значения, приближающиеся к нулю, характерны для субъекта, не склонного к риску; значение равное 0,5 характерно для субъекта, нейтрального к риску; значения, приближающиеся к единице, характерны для субъекта, склонного к риску);Э MAXi — максимальное значение эффективности по конкретной альтернативе;Э MINi — минимальное значение эффективности по конкретной инициативе.Критерий Гурвица используют при выборе рисковых решений в условиях неопределенности те субъекты, которые хотят максимально точно идентифицировать степень своих конкретных рисковых предпочтений путем задания значения альфа-коэффициента.4. Критерий Сэвиджа (критерий потерь от «минимакса») предполагает, что из всех возможных вариантов «матрицы решений» выбирается та альтернатива, которая минимизирует размеры максимальных потерь по каждому из возможных решений. При использовании этого критерия «матрица решения» преобразуется в «матрицу потерь» (один из вариантов «матрицы риска»), в которой вместо значений эффективности проставляются размеры потерь при различных вариантах развития событий.Критерий Сэвиджа используется при выборе рисковых решений в условиях неопределенности, как правило, субъектами, не склонными к риску.2.2. Пример решения конкретной задачиНайти оптимальные стратегии и цену игры, заданной платежной матрицей A. .Проверим, имеет ли матрица седловую точку: наименьший элемент -2 в первой строке не является наибольшим во втором столбце, наименьший элемент -1 во второй строке не является наибольшим в четвертом столбце, наименьший элемент -4 в третьей строке не является наибольшим во втором столбце. Седловой точки нет. Удаляем доминирующие строки и столбцы. Доминирующая строка – все ее элементы не превосходят соответствующих элементов другой строки. Доминирующий столбец – все его элементы не меньше соответствующих элементов другого столбца. Доминирующих строк нет, доминирующие столбцы – первый и третий. Получим матрицу:. Прибавим ко всем элементам матрицы число с=4, получим матрицу . Составим пару симметричных двойственных задач. Задача 1.Задача 2.Решим вторую задачу симплекс-методом. 011100Баз.01260100153601g0-1-1-100012601011/65/63/6101/6g1/6-1/6-1/2001/611/62/6101/6011/124/600-1/121/6g1/40001/121/6Получим , . . Для матрицы получим цену игры и оптимальные стратегии игроков в игре с матрицей . .Для матрицы получим те же и , а . Для матрицы А получим , .Выполним проверку с помощью критерия оптимальности стратегий.Критерий оптимальности стратегий выполняется. Следовательно, задача решена верно. 2.2. Примеры игр в теории игрИгра « Борьба за рынки»Некая фирма А, имея в своем распоряжении 5 условных денежных единиц, пытается удержать два равноценных рынка сбыта. Ее конкурент (фирма В), имея сумму равную 4 условным денежным единицам, пытается вытеснить фирму А с одного из рынков. Каждый из конкурентов для защиты и завоевания соответствующего рынка может выделить целое число единиц своих средств. Считается, что если для защиты хотя бы одного из рынков фирма А выделит меньше средств, чем фирма В, то она проигрывает, а во всех остальных случаях – выигрывает. Пусть выигрыш фирмы А равен 1, а проигрыш равен (-1), тогда игра сводится к матричной игре, для которой матрица выигрышей фирмы А (проигрышей фирмы В) имеет вид:В0В1В2В3В4А01-1-1-1-1А111-1-1-1А2-111-1-1А3-1-111-1А4-1-1-111А5-1-1-1-11Здесь Аi – стратегия фирмы А, заключающаяся в выделении i условных денежных единиц на защиту первого рынка; Вj – стратегия фирмы В, заключающаяся в выделении j условных денежных единиц на завоевание первого рынка.Если бы на защиту или завоевание рынков фирмы могли выделить любое количество средств из имеющихся, то игра стала бы бесконечной.Игра «Еще одна борьба за рынки»Пусть одна из фирм (игрок 1) пытается вытеснить другую фирму (игрок 2), имеющую два рынка сбыта, с одного из этих рынков. Общая сумма средств, выделяемых игроком 1 на эту цель, равна единице (Х ). Стратегии игрока 1 состоят в распределении этих средств между двумя рынками. Если на первый рынок направляется сумма х, то на второй - (1-х). Пусть игрок 2 для удержания рынков также располагает единичной суммой средств, и его стратегия будет состоять в выделении суммы у на первый рынок и (1-у) - на второй.Считается, что игрок 1, добившись превосходства средств на одном из рынков, вытесняет своего противника с этого рынка и получает выигрыш, равный избытку своих средств, который берется с коэффициентом, характеризующим важность рынка (пусть этот коэффициент равен k1 для первого рынка и k2 для второго).Рассматриваемая игра является игрой на единичном квадрате. В этой игре пара чисел (х, у), где х, у 0,1являются точками единичного квадрата.Функция выигрыша в рассматриваемом примере где h1h.График зависимости H(х0,y) от у для некоторого х=х0 представлен на рис.1.Рис.4.1Очевидно, что при любых х0 функция Н (х0, у) является выпуклой функцией от у. Имеем.Поэтому цена игры.График функции выделен на рис.2. жирной ломаной.Рис.2Первый член под знаком максимума с ростом у убывает, а второй - возрастает. Поэтому при малых значениях у максимум достигается на отрезке k1(1-у), а при больших - на отрезке прямой k2у. Следовательно, минимальное значение этот максимум принимает при таком у*, для которого , т.е. при.(1)Таким образом, найденное у* является единственной оптимальной чистой стратегией игрока 2. Она состоит в распределении имеющихся средств между рынками пропорционально важности рынков.Значение цены игры.(2)Далее надо найти оптимальную стратегию игрока 1. Случаи ху* и ху* будем рассматривать порознь.Теорема утверждает, что если Н(х,у) - выпукла и 0у*1, то среди оптимальных стратегий игрока 1 найдется такая, которая является смесью двух активных стратегий и . Для этих стратегий и .(3)При этом стратегии и употребляются с вероятностями р и (1-р), где р находится из уравнения (4)Для случая ху* уравнение (2) принимает вид .откуда =1.Для случая ху* уравнение (2) имеет уже другой вид:.откуда =0.Таким образом, активными стратегиями игрока 1 оказываются: =0; и =1.Поэтому игрок 1 должен применять смешанную стратегию, являющуюся смесью этих двух активных стратегий. Для нахождения вероятности р, используем уравнение (4).Частные производные..Тогда уравнение (4) для данной игры приобретает вид, откуда .(5)Таким образом оптимальная стратегия игрока 1 состоит в концентрации всех его средств на одном из рынков, причем вероятность выбора рынка обратно пропорциональна его важности. Этот результат объясняется просто: чем важнее рынок, тем больше средств вложит противник в его сохранение и тем меньше свободных средств останется на нем после вытеснения противника, и тем менее значимой будет победа над ним.Игра с выбором момента времени (игра типа дуэли)Пусть каждый из двух игроков намерен выполнить некоторое действие (выбросить на рынок партию товара, внести на совещание предложение, произвести выстрел и т.д.). При этом обстоятельства часто складываются так, что, во-первых, целесообразно выполнить это действие как можно позже, а во-вторых, желательно своим действием упредить сходное действие противника. Такой конфликт в условиях противоположных интересов его участников естественно моделировать бесконечной антагонистической игрой на единичном квадрате, в которой функция выигрыша Н в общем случае имеет вид (6)где каждая из функций и а) непрерывна по обеим переменным;б) монотонно возрастает по х при любых значениях y;в) монотонно убывает по y при любом значении х;г) удовлетворяет условию.Игра с функцией выигрыша Н(х,у), удовлетворяющая перечисленным условиям называется игрой с выбором момента времени, или игрой типа дуэли.Мы ограничимся рассмотрением одного примера данной игры, теория которой, хотя и разработана, но достаточно сложна 2.Пусть игроки 1 и 2 выбирают соответственно числа х и уиз интервала . Эти числа будем понимать как моменты времени выполнения ими требуемых действий. Пусть t - время появления некоторого объекта, который достается игроку, который первый после t совершил требуемое действие. Игрок, обладающий объектом, получает выигрыш, равный 1, а его противник эту единицу теряет. Если ни один из игроков не получит объект, то выигрыш каждого из игроков принимается равным нулю.Предполагается, что время появления объекта является случайной величиной, распределенной на интервале по равномерному закону. Эту игру называют также борьбой за встречу случайно появляющегося объекта.Запишем математическое выражение функции выигрыша. Рассмотрим ситуацию (х,у), в которой ху. В этом случае игрок 1 выигрывает единицу, если tх;(7)проигрывает единицу, еслихty;(8)и не получает ничего, еслиyt.(9)Вероятность событий (7), (8) и (9) равны соответственно х, (у-х) и (1-у). Таким образом, при ху имеем.(10)Аналогичным способом находим, что при ху.(11)Естественно, что при х=у, Н(х,у)=0.Схематическое описание Н(х,у) приведено на рис.3.Заметим, что игра является симметричной. Действительно, при ху.Аналогично, при ху.Наконец, при х=у.Рис.3Для антагонистических симметричных игр существует теорема, утверждающая для этих игр цена игры = 0, а оптимальные стратегии игроков 1 и 2 совпадают.Поэтому для решения данной задачи достаточно найти оптимальную стратегию игрока 1.Пусть оптимальная стратегия игроков имеет плотность распределения f:;.Если игрок 2 применяет эту стратегию, то.С учетом формул (10) и (11.).перепишем последний интеграл.(12)Так как и постоянна, то все производные по х функции Н(x,f) также должны обращаться в нуль.Дифференцируя тождество (12) по х, имеем (13)Вторая частная производная имеет вид т.е. .Интегрируя это дифференциальное уравнение, получаем,откуда .(14)Полученная плотность распределения f(x) положительна и дифференцируема. Однако интеграл расходится. Следовательно, плотность f не может быть дифференцируемой и больше нуля на всем сегменте .Можно доказать, что плотность распределения может обращаться в нуль лишь между нулем и некоторым . Таким образом, имеем:Для определения неизвестных параметров и с воспользуемся следующими соображениями. Во-первых, f(x) должна удовлетворять условию нормировки:.(15)Во-вторых, .(16)Из уравнений (15) и (16) можно определить значения и с. С этой целью перепишем эти уравнения в явном виде., т.е..(17)Далее на основании симметричности игры .Поскольку с0, это нам дает .Откуда получаем . Это квадратное уравнение имеет два корня: 1 и . Корень =1 противоречит равенству (4.17), а подстановка в это равенство дает .Таким образом, искомая оптимальная стратегия игрока 1 определяется плотностью распределенияГрафик f(x) изображен на рис.4.Рис.4.Остается проверить, что найденные стратегии игроков действительно являются оптимальными. Для этого достаточно убедиться в том, что для любого х .При , ,поскольку в рассматриваемом случае . При, формула (13) дает.Тем самым оптимальность стратегии с плотностью f установлена.Игра “Семейный спор”Одна из наиболее распространенных интерпретаций игры следующая. Муж (первый игрок) и жена (второй игрок) могут выбрать одно из двух вечерних развлечений: футбольный матч или балет. Естественно предположить, что муж предпочтет футбол, а жена – балет. Однако для обоих гораздо важнее идти вместе, чем смотреть предпочитаемое зрелище в одиночестве. В данной 2х2 биматричной игре функции выигрышей Н1 и Н2 соответственного первого и второго игроков можно представить в видеи,где стратегии игрока 1: А1 – выбираю футбол; А2 – иду на балет; игрока 2: В1 – иду на футбол, В2 – на балет.Очевидно, что для первого игрока предпочтительнее ситуация (А1, В1), а для второго (А2, В2), и эти ситуации являются равновесными. Однако в данном примере как будет показано ниже, есть еще и третья ситуация равновесия, состоящая в выборе игроками смешанных стратегий: ; с ценой игры для обоих игроков .Однако выигрыши каждого из игроков в этой ситуации равновесия меньше, чем в двух первых ситуациях равновесия, где они равны 2 или 1, в зависимости от ситуации и игрока.Хотя стратегии (А1,В1) и (А2,В2) являются оптимальными, поскольку дают максимальные выигрыши, однако приносят игрокам не одинаковые выигрыши, поэтому не являются справедливыми.Отметим также, что если в матричной игре ни одному из игроков не выгодно информировать противника о своей стратегии, то в данной биматричной игре это свойство не выполняется.Действительно, если игроки не общаются до игры и оба обладают твердыми характерами, т.е. первый игрок выбирает стратегию А1, а второй – В2, то в результате они оба проигрывают. Аналогичная ситуация получиться и в том случае, когда каждый из игроков имеет мягкий характер и решает уступить. Так сочетание устойчивости со справедливостью вступает в противоречие с сочетанием устойчивости и выгодности.Лучшим для игроков в рассматриваемой игре является договорный вариант (А1,В1) или (А2,В2), причем справедливым решением будет их выбор одного из этих вариантов путем бросания монеты. Выпадение герба будет означать, например, что семейство идет на матч по футболу, а решки – на балет. Заметим, что в антагонистической игре в отличие от биматричной нет смысла вести переговоры до игры и уславливаться о совместном плане действий. В рассматриваемой игре, ясно, что если игроки договорились бы играть оба, скажем первую чистую стратегию, причем игрок 1 за получение большего выигрыша, чем игрок 2, заплатил бы ему 1/2, то решение было бы выгодным и справедливым для обоих игроков. Однако в рамках бескоалиционных игр такого рода дележи не предусматриваются.Игра “Дилемма заключенного”Каждый из двух игроков располагает двумя стратегиями: А2 и В2 – стратегии агрессивного поведения, а А1 и В1 – миролюбивое поведение. Предположим, что “мир” (оба игрока миролюбивы) лучше для обоих игроков, чем “война”. Случай, когда один игрок агрессивный, а другой миролюбивый, выгоднее агрессору. Пусть матрицы выигрышей игроков 1 и 2 в данной биматричной игре имеют вид, .Для обоих игроков агрессивные стратегии А2 и В2 доминируют мирные стратегии А1 и В1. Таким образом, единственное равновесие в доминирующих стратегиях имеет вид (А2,В2), т.е. постулируется, что результатом некооперативного поведения является война. В то же время исход (А1,В1) (мир) дает больший выигрыш для обоих игроков. Таким образом, некооперативное эгоистическое поведение вступает в противоречие с коллективными интересами. Коллективные интересы диктуют выбор мирных стратегий. В то же время, если игроки не обмениваются информацией, война является наиболее вероятным исходом.В данном случае ситуация (А1, В1) является оптимальной по Парето. Однако эта ситуация неустойчива, что ведет к возможности нарушения игроками установленного соглашения. Действительно, если первый игрок нарушит соглашение, а второй не нарушит, то выигрыш первого игрока увеличится до трех, а второго упадет до нуля и, наоборот. Причем, каждый игрок, не нарушающий соглашение, теряет больше при нарушении соглашения вторым игроком, нежели в том случае, когда они оба нарушают соглашение.Как видим, в отличие от примера 1 (игра “семейный спор”), где кооперация игроков была им выгодна, в этом примере кооперация не выгодна для игроков.Формулировка биматричной игры “Борьба за рынки”Небольшая фирма (игрок 1) намерена сбыть крупную партию товара на одном из двух рынков, контролируемых другой, более крупной фирмой (игрок 2). Для этого оно может предпринять на одном из рынков соответствующие действия (например, развернуть рекламную кампанию). Господствующий на рынках игрок 2 может попытаться воспрепятствовать этому, предприняв на одном из двух рынков предупредительные меры. Игрок 1, не встретивший на рынке препятствий, захватывает его; встретившись с сопротивлением – терпит поражение. Выборы фирмами рынков являются их чистыми стратегиями.Пусть проникновение игрока 1 на первый рынок более выгодно для него, чем проникновение на второй, но борьба за первый рынок требует больших средств. Например, победа игрока 1 на первом рынке принесет ему вдвое больший выигрыш, чем на втором, но зато поражение на первом рынке полностью его разоряет (проигрыш равен 10), а игрока 2 избавляет от конкурента (выигрыш равен 5).Описанная биматричная игра может быть задана матрицами выигрышейПриемлемыми ситуациями для игрока 1 будут те, которые удовлетворяют условиямРассмотрим три случая:а) р=1 (X=|1, 0|). ИмеемОткуда .б) р = 0 (X=|0, 1|). Имеемили .в) 0р1 (X=|р, 1 – р|). ПолучаемПриемлемые ситуации для игрока 2 следующие:а) б) в) Множества всех приемлемых ситуаций игрока 1 и игрока 2 изображены на рис. 5 (для игрока 2 соответствующее множество показано пунктиром).Рис. 5Зигзаги приемлемых ситуаций пересекаются в единственной точке , которая и оказывается единственной ситуацией равновесия. Эта ситуация равновесия является ситуацией равновесия в смешанных стратегиях. Таким образом, оптимальными стратегиями по Нэшу являются и . При этом цена игры для игрока 1 .Цена игры для игрока 2 .ЗаключениеОбоснование и выбор конкретных управленческих решений, связанных с финансовыми рисками, базируется на концепции и методологии теории принятия решений. Эта теория предполагает, что решениям, связанным с риском, всегда свойственны элементы неизвестности конкретного поведения исходных параметров, которые не позволяют четко детерминировать значения конечных результатов этих решений. В зависимости от степени неизвестности предстоящего поведения исходных параметров принятия решений различают условия риска, в которых вероятность наступления отдельных событий, влияющих на конечный результат, может быть установлена с той или иной степенью точности, и условия неопределенности, в которых из-за отсутствия необходимой информации такая вероятность не может быть установлена.Список литературыВентцель Е.С. Исследование операций. – М.: Наука, 1980. – 206 с.Воробьев Н.Н, Теория игр для экономистов-кибернетиков. – М.: Наука, 1985. – 272 с.Мулен Э. Теория игр с примерами из математической экономики. – М.: Мир, 1985. – 200 с.Морозов В.В. Сухарев А.Г., Федоров В.В. Исследование операций в задачах и упражнениях. М.: Высшая школа, 1986. – 287 с.Ермольев Ю.М., Ляшко И.И., Михалевич В.С. Тюптя В.И. Математические методы исследования операций. – К.: Выща школа, 1979. – 312 с.Таха Х. Введение в исследование операций. Кн.2. – М.: Мир, 1985. – 479 с.Костевич Л.С., Лапко А.А, Теория игр. Исследование операций. – Минск: Вышэйшая школа, 1982. 229 с.