Задачи по теории вероятности и математической статистике

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Задача 1.
Задача 2.
Задача 3.
Задача 4.
Задача 5.
Задача 6.
Задача 7.
Задача 8.
Задача 9.
Задача 10.
Задача 11.
Задача 12.
Задача 13.
Задача 14.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Задача 15.
Задача 16.
Задача 17.
Задача 18.
Задача 19.
Задача 20.
Задача 21.
Задача 22.
Задача 23.
Задача 24.
Список использованной литературы

Решение:
Составим вспомогательные таблицы для расчета теоретических частот:
Границы интервала Границы интервала 1 0 50  - -117,5 -1,77 2 50 100 -117,5 -67,5 -1,77 -1,02 3 100 150 -67,5 -17,5 -1,02 -0,26 4 150 200 -17,5 32,5 -0,26 0,49 5 200 250 32,5 82,5 0,49 1,24 6 250 300 82,5 – 1,24
Границы интервала 1 -1,77 -0,5000 -0,4614 0,0386 3,86 2 -1,77 -1,02 -0,4614 -0,3451 0,1164 11,64 3 -1,02 -0,26 -0,3451 -0,1038 0,2412 24,12 4 -0,26 0,49 -0,1038 0,1875 0,2914 29,14 5 0,49 1,24 0,1875 0,3927 0,2052 20,52 6 1,24 0,3927 0,5000 0,1073 10,73 Сравним эмпирические и теоретические частоты:
1 7 3,86 3,14 9,8832 2,5629 2 9 11,64 -2,64 6,9621 0,5982 3 18 24,12 -6,12 37,486 1,554 4 34 29,14 4,86 23,644 0,8115 5 22 20,52 1,48 2,2007 0,1073 6 10 10,73 -0,73 0,5308 0,0495 Итого: 100 100 5,6833 По таблице критических точек распределения χ2 для уровня значимости α = 0,05 и числа степеней свободы . Рассчитанное значение меньше табличного, следовательно, с вероятностью 95% можно утверждать, что случайная величина Х – дневная выработка ткани –распределена по нормальному закону.
Гистограмма эмпирического распределения и соответствующая нормальная кривая:
Задача 19.
В процессе исследования среднедушевого дохода (в усл.ден.ед.) обследовано 100 семей. Выявлены оценки: =1900, s=240. В предположении о нормальном законе:
а) найти долю семей, чей среднедушевой доход находится в пределах от 1200 до 1800;
б) выяснить при уровне значимости =0,05 можно ли считать 2000 руб. нормативом среднедушевого дохода (проверить гипотезу H0: а=2000 против конкурирующей гипотезы Н1: а≠ 2000);
в) построить доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания а и дисперсии σ2 (принять γ = 0,95).
Решение:
а) Нужно найти вероятность того, что Х примет значения от 2200 до 2800. Для нормального распределения
.
Итак,
б) Проверим гипотезу H0: а=2000 против конкурирующей гипотезы Н1: а≠ 2000.
Тогда при уровне значимости 0,05 нулевую гипотезу отклоняем.
в) построить доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания а и дисперсии σ2 (принять γ = 0,95):
Для математического ожидания:
Для дисперсии:
Ответ: а) 20,28;
б) нулевая гипотеза отклоняется (среднюю зарплату нельзя считать 2000 руб);
в) ; .
Задача 20.
По данным 16 сотрудников фирмы, где работает 240 человек, среднемесячная заработная плата составила 340 у.е., при s=74 у.е. Какая минимальная сумма должна быть положена на счет фирмы, чтобы с вероятностью 0,99 гарантировать выдачу заработной платы всем сотрудникам?
Решение:
Ошибка среднего: . Для вероятности 0,99 t=2,57.
. Тогда минимальная сумма:
240*(340-45,93)= 70576,8 у.е.
Ответ: 70576,8 у.е.
Задача 21.
С целью размещения рекламы опрошено 440 телезрителей, из которых данную передачу смотрят 190 человек. С доверительной вероятностью γ=0,95 найти долю телезрителей, охваченных рекламой в лучшем случае. Случайны ли результаты опроса, если согласно статистике доля телезрителей, охваченных рекламой составляет 0,45 при уровне значимости =0,05?
Решение:
Для вероятности 0,95 коэффициент доверия равен 1,96. Тогда
Точность оценки:
.
Тогда в лучшем случае рекламу смотрят 0,432+0,046=0,478 или 47,8% телезрителей.
Проверим гипотезу о равенстве доли 0,45 при уровне значимости 0,05 и конкурирующей гипотезе :
Нулевая гипотеза принимается (результаты опроса случайны).
Задача 22.
Распределение пятидесяти предприятий по размерам основных производственных фондов Х (миллионов рублей) и выпуску продукции У (миллионов рублей) дано в таблице:
На основе приведенных таблицу не возможно заполнить: не указано, чему равен . Поэтому выполнение задания не представляется возможным.
Задача 23.
Число грузовых и легковых автомобилей, проезжающих мимо бензоколонки, относится как 2:1. Вероятности того, что возникнет необходимость заправиться для грузовика и легковой машины равны, соответственно, 0.1 и 0.2.
Найти вероятность того, что машина, подъехавшая на заправку, окажется грузовиком.
Решение:
Пусть событие А состоит в том, что проехавшая машина решила заправиться. По условию она может быть грузовой (событие с вероятностью 2/3) или легковой (событие с вероятностью 1/3). Кроме того, . Тогда по формуле полной вероятности
.
По формуле Байеса вероятность того, что машина, подъехавшая на заправку, окажется грузовиком, равна
.
Ответ: 0,5.
Задача 24.
В результате выборочного обследования российских автомобилей, обслуживающихся в автосервисе по гарантии, по схеме собственно-случайной бесповторной выборки из 280 автомобилей были отобраны 60. Полученные данные о пробеге автомобилей с момента покупки до первого гарантийного ремонта представлены в таблице
Пробег, тыс. км Менее 1 1-2 2-3 3-4 4-5 5-6 Более 6 Итого Число автомобилей 3 5 9 16 13 8 6 60 Найти:
а) вероятность того, что средний пробег всех автомобилей отличается от среднего пробега автомобилей в выборке не более чем на 400 км (по абсолютной величине);
б) границы, в которых с вероятностью 0,95 заключена доля автомобилей, пробег которых составляет менее 3 тыс. км;
в) объем бесповторной выборки, при котором те же границы для доли (см. п. б), можно гарантировать с вероятностью 0,9876.
Решение:
а) Найдем средний пробег по формуле средней взвешенной:
Пробег, тыс. км 0-1 1-2 2-3 3-4 4-5 5-6 6-7 Итого Середина интервала 0,5 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 Число автомобилей 3 5 9 16 13 8 6 60 тыс. км.
Среднеквадратическое отклонение пробега:
Ошибка выборки:
Вероятность того, что средний пробег всех автомобилей отличается от среднего пробега автомобилей в выборке не более чем на 400 км:
.
б) Границы, в которых с вероятностью 0,95 заключена доля автомобилей, пробег которых составляет менее 3 тыс. км найдем по формуле:
.
Для вероятности 0,95 .
Доля автомобилей, величина пробега которых не превышает 3 тыс. руб. в выборке составляет (3+5+9)/60= 0,28(3).
Средняя квадратическая ошибка для доли:
.
в) объем бесповторной выборки, при котором те же границы для среднего объема выполненных работ (см. п. а) можно гарантировать с вероятностью 0,9876:
.
Для вероятности 0,9876 . Тогда
.
Список использованной литературы
Вентцель Е. С. Задачи и упражнения по теории вероятностей: Учеб. пособие для студ. втузов / Е. С. Вентцель, Л. А. Овчаров. — 5-е изд., испр. — М.: Издательский центр «Академия», 2003. — 448 с.
Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. - М., Высш.шк., 2004.- 404 с.
Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика - М., Высш.шк., 2003.- 479 с. 
Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. — 2-е изд., перераб. и доп.— М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. - 573 с.