Диафантовые уравнения

Оглавление
1. Введение
2. История возникновения диофантовых уравнений
3. Общее решение линейных диофантовых уравнений
3.1 Однородные уравнения
3.2 Общие линейные уравнения
4. Примеры задач
Задача 1
Задача 2 (одна из задач Диофанта)
Задача 3
Задача 4
5. Заключение
Список использованных источников
Приложение 1

Задача 3У мальчика было 50 р., на которые он хотел купить почтовые марки. В киоске имелись марки по 4 р. и по 3 р., но у киоскера совсем не было сдачи. Помогите мальчику и киоскеру выйти из создавшегося затруднения.РешениеПусть марок по 4 р. х штук, по 3 р. – у штук.Всего имеется 50 р., отсюда уравнение: 4х + 3 у = 50у = (50 - 4х) : 3у = (48 - 3х) : 3 + (2 – х) : 3у = 16 - х + (2 – х) : 3Эта задача имеет не одно, а несколько решений.х2 5 8 11 у14 10 6 2 Задача 4Найти двузначное число, первая цифра которого равна разности между этим числом и числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке.РешениеПусть а – количество десятков, b – количество единиц. Тогда a = (10a + b) – (10b + a)Откуда получим: b=8/9a.Выбирая a=9, получаем число 98.5.ЗаключениеВ ходе выполнения работы был получен ответ на вопрос о разрешимости неопределенных (диофантовых) уравнений первой степени в целых числах.Решены текстовые задачи, описывающие различные практические ситуации, математической моделью которых являются диофантовы уравнения. Список использованных источников1. Аксёнова, М.Д. Энциклопедия для детей Т. 11 (Математика) / М. Д. Аксёнова – М.: «Аванта +», 1998. – 688 с.2. Виленкин, Н. Я. За страницами учебника математики 10 – 11 класс. / Н.Я. Виленкин – М.: Просвещение, 1996. – 319 с.3. Деревянкин, А.В. Числа и многочлены: Методическая разработка для учащихся заочного отделения МММФ / А.В. Деревянкин. – М.: Изд-во центра прикладных исследований при механико-математическом факультете МГУ, 2008. – 72 с.: ил.4. Матисеевич, Ю.В. Десятая проблема Гильберта / Ю.В. Матисеевич. – М.: «Физмат лит», 1973. – 224 с.5 Никольская, И.Л. Факультативный курс по математике: учеб. пособие 7–9 кл. сред. шк. / И.Л. Никольская. М.: Просвещение, 1991. – 383 с.: ил.6. Стройк, Д.Я. Краткий очерк истории математики / Д.Я. Стройк. – М.: «Наука», 1990 г. – 256 с.Приложение 1Алгоритм ЕвклидаЧтобы найти наибольший общий делитель двух данных натуральных чисел можно действовать по определению: выписать все делители этих чисел, выделить среди них общие и выбрать среди всех общих делителей наибольший. Но этот способ можно порекомендовать лишь для совсем небольших чисел, поскольку он весьма трудоёмок. А если надо найти НОД(41450, 3687135)? В таких случаях гораздо более эффективным оказывается алгоритм Евклида. Действие алгоритма Евклида основано на приведённых ниже лемме и теореме.Лемма. Для любых двух целых чисел a и b, хотя бы одно из которых не равно нулю, верно равенство НОД(a, b)=НОД(a−b, b).Доказательство. Покажем, что множество M общих делителей чисел a и b совпадает с множеством N общих делителей чисел a−b и b. Пусть m — произвольный общий делитель чисел a и b. Тогда (a−b)m, т. е. m является общим делителем чисел a−b и b.Обратно, пусть n – произвольный общий делитель чисел a−b и b. Тогда a=((a−b)+b)n, т. е. n является общим делителем чисел a и b. Таким образом, множество M общих делителей чисел a и b совпадает с множеством N общих делителей чисел a−b и b; следовательно, и наибольшие элементы этих двух множеств (т.е. НОД(a, b) и НОД(a−b, b)) совпадают, что и требовалось доказать.Докажем теорему, которая является обобщением леммы.Теорема. Пусть a=qb+r, где a, b, q, r∈Z, причём хотя бы одно из чисел a, b не равно нулю. Тогда НОД(a, b)=НОД(b, r).Доказательство. В соответствии с леммой выполним следующие переходы: НОД(a,b)=НОД(a−b,b)=НОД((a−b)−b,b)=НОД(a−2b,b)=...=НОД(a−qb, b)= НОД (r, b)=НОД(b, r), что и требовалось доказать [см.: 3, с. 15–16].Пример. Найдите НОД(1014, 273).Решение. Выполним ряд делений с остатком: 1014=273·3+195; 273=195·1 + +78; 195=78·2+39; 78=39·2. По алгоритму Евклида НОД(1014, 273)= =НОД (273, 195)=НОД (195, 78)= =НОД (78, 39)=39.Ответ: 39.