Математические методы в экономике

Линейная производственная задача
Транспортная задача
Динамическая задача распределения инвестиций
ДИНАМИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА УПРАВЛЕНИЯ ПРОИЗВОДСТВОМ И ЗАПАСАМИ
Матричная игра как сотрудничество
Матричная модель производственной программы предприятия
Анализ доходности
Задача формирования оптимального портфеля ценных бумаг

Найдем эти решения, последовательно продвигаясь от последнего этапа (третьего месяца) к первому, пользуясь данными вычисления рекуррентных соотношений в таблицах 1-3 и условием баланса (11). При x3*=3 из (11) при значении k=3 с учетом исходных данных получаем: y3*=4-3=1. Из таблицы 2 находим, что для y3*=1 (s=1) x2*=2. Из (11) при значении k=2 получаем: y2*=1+2-2=1. И, наконец, из таблицы 1 находим, что для y1*=1 x1* =2. По условию (11) y1*= y2+d1- x1* =1+3-2=2, что совпадает с исходным значением. Итак, первый оптимальный план производства и запасов имеет вид
x1=2, y1=2; x2=2, y2=1; x3=3, y3=1,
а минимальные общие затраты составляют 62 единицы.
Матричная игра как сотрудничество
Рассмотреть матричную игру как модель сотрудничества и конкуренции (см. раздел 11), взяв исходные данные из приложения 5. Найти решение игры.
1
2
2
5
3
2
-4
-2

Вначале проведет анализ на доминирование. i-я строка доминирует j-ю, если все элементы i-й строки больше или равны соответствующих элементов j-й.
Доминирующих строк и столбцов нет.
Далее приведем анализ игры на седловую точку. Находим минимумы по строкам (i. Тогда нижняя цена игры
(= -4.
Найдем максимумы по столбцам (j. Тогда верхняя цена игры
(=5.
Поскольку ((( , то решения игры в чистых стратегиях нет. Будем искать решение в смешанных стратегиях. Предварительно прибавим к каждому элементу платежной матрицы константу, равную 4, сделав их неотрицательными. Решение игры при этом не изменится, а цена игры возрастет на 4 и будет больше нуля.
Матрица игры примет следующий вид:
5
6
6
9
7
5
0
2

В силу теоремы Неймана решение игры сводится к нахождению решений симметричной пары взаимно двойственных задач линейного программирования. Пусть P=(p1;p2); Q=(q1;q2;q3;q4)- стратегии игроков. Найдем сначала Q*
Если Второй игрок применяет свою оптимальную стратегию, то Первый игрок не может улучшить свое положение, отступая от своей оптимальной стратегии. Заставим Первого игрока отступать от своей оптимальной стратегии, пользуясь чистыми стратегиями p1, p2, p3 (а Второй игрок, между тем, придерживается своей оптимальной стратегии Q*). В любом случае проигрыш Второго игрока будет не больше, чем цена игры
5q1 + 6q2 + 6q3 + 9q4 ( ,
7q1 + 5q2 + 0q3 + 2q4 ( ,
Разделим каждое из неравенств на ( 0 и введем обозначения
qj = xj (0 (j=1,4).
Получим
5x1 + 6x2 + 6x3 + 9x4 ( 1,
7x1 + 5x2 + 0x3 + 2x4 ( 1,
Поскольку ( qj=1, то переменные x1,x2,x3,x4 удовлетворяют условию
x1 + x2 + x3 + x4 = .
Но есть проигрыш второго игрока, который он стремится сделать минимальным. Следовательно, величина 1/ должна быть максимальна. Таким образом, имеем следующую задачу линейного программирования.
Найти вектор x=(x1,x2,x3,x4), который обеспечивает максимум целевой функции
Z =x1+x2+x3+x4(max,
при следующих линейных ограничениях:
5x1 + 6x2 + 6x3 + 9x4 ( 1,
7x1 + 5x2 + 0x3 + 2x4 ( 1,
x1,x2,x3,x4 (0 .

После приведенной задачи к основной задаче линейного программирования найдем ее оптимальное решение симплексным методом:
X*=(0; 0,061; 0,0516; 0), при значении целевой функции Zmax=0,1127.
Цену игры и Q* найдем по следующей формуле:
= 1/Z max = 7; Q* = *X* = (0, 0,54, 0,46, 0).
Матричная модель производственной программы предприятия
Предприятие состоит из n цехов. Каждый цех выпускает только один вид продукции. Пусть j-й цех выпускает xj единиц продукции, из которых yj единиц отправляет за пределы предприятия как товарную продукцию, а остающаяся часть используется другими цехами предприятия.
Пусть ajk – кол-во продукции j-го цеха, расходуемое на производство единицы продукции k-го цеха. Числа aij образуют матрицу А коэффициентов прямых затрат, называемую структурной. Производственная программа предприятия представляется вектором X(x1, … , xn), а выпуск товарной продукции – вектором У(у1, … , уn). Очевидно,
(Е - А)Х = У или Х = (Е - А)-1У.
Элементы любого столбца матрицы (Е - А)-1, называемой матрицей коэффициентов полных затрат, показывают затраты всех цехов, необходимые для обеспечения выпуска единицы товарного продукта того цеха, номер которого совпадает с номером данного столбца.
При заданном векторе У выпуска товарной продукции легко определить производственную программу Х и наоборот.
Дополним структурную матрицу А матрицей В коэффициентов прямых затрат, получаемых со стороны сырья, полуфабрикатов и т.п. Очевидно, затраты получаемых со стороны материалов определяются элементами матрицы S, где
В ∙ (Е - А)-1У = S.
Зная закупочные цены сырья и рыночные цены готовой продукции, можно подсчитать прибыль.
Матрица полных затрат:
(Е - А)-1=
Х = (Е - А)-1У =
S=В ∙ (Е - А)-1У =
=
Анализ доходности
Инвестор рассматривает четыре инвестиционные операции со случайными эффективностями, описываемыми случайными величинами с рядами распределения, приведенными ниже. Требуется определить, какие из этих операций оптимальны по Парето.
РЕШЕНИЕ.
Дано
0 8 12 24 p 1/4 1/4 1/3 1/6
-6 -5 -4 3 p 1/3 1/3 1/6 1/6
0 8 12 20 p 1/5 1/5 1/5 2/5
-6 -2 0 4 p 1/5 1/5 1/5 2/5
Найдем математические ожидания (ожидаемые эффективности) и среднеквадратичные отклонения (риски):
Отметим точки на едином графике, по оси х отложим ожидаемую эффективность, а по оси у – риски.
Операция называется оптимальной по Парето, если не существует операций, которые бы ее доминировали.
Говорят, что i-я операция доминирует j-операцию, если и
Таким образом, в данной задаче 21я операция доминирует 23ю операцию.

Задача формирования оптимального портфеля ценных бумаг
Сформировать оптимальный портфель заданной эффективности из трех видов ценных бумаг: безрисковых эффективности 2 и некоррелированных рисковых ожидаемой эффективности 4 и 9 и рисками 8 и 10 . Как устроена рисковая часть оптимального портфеля? При какой ожидаемой эффективности портфеля возникает необходимость в операции "short sale" и с какими ценными бумагами?
Решение. Итак, m0 = 2, M=, V=. Зададимся эффективностью портфеля mp. Теперь надо найти обратную матрицу к матрице V . Это просто: V-1 = . Вычислим знаменатель:
.
2