История возникновения и развития теории игр.

Введение
История возникновения и развития теории игр
Заключение
Литература

Необходимо закупить уголь для обогрева дома. Количество хранимого угля ограничено и в течение холодного периода должно быть полностью израсходовано. Предполагается, что неизрасходованный зимой уголь в лето пропадает. Покупать уголь можно в любое время, однако летом он дешевле, чем зимой. Неопределенность состоит в том, что не известно, какой будет зима: суровой, тогда придется докупать уголь, или мягкой, тогда часть угля может остаться неиспользованной. Очевидно, что у природы нет злого умысла и она ничего против человека «не имеет». С другой стороны, долгосрочные прогнозы, составляемые метеорологическими службами, неточны и поэтому могут использоваться в практической деятельности только как ориентировочные при принятии решений.
Имеются следующие данные о количестве и ценах угля, необходимого зимой для отопления дома (табл. 1). Вероятности зим: мягкой - 0,35; обычной - 0,5; холодной - 0,15.
Табл. 1
Зима Количество угля, т Средняя цена за 1 т, грн. Мягкая 4 7 Обычная 5 7,5 Холодная 6 8
Эти цены относятся к покупкам угля зимой. Летом цена угля 6 грн. за 1 т. Есть место для хранения запаса угля до 6 т, заготавливаемого летом. Если потребуется зимой докупить недостающее количество угля, докупка будет по зимним ценам. Предполагается, что весь уголь, который сохранится до конца зимы, в лето пропадет. (Предположение делается для упрощения постановки и решения задачи.)
Сколько угля летом покупать на зиму?
Пользуясь исходными данными, строим матрицу игры. Стратегиями игрока 1 (человек) являются различные показатели количества тонн угля, которые ему, возможно, следует купить. Состояниями природы выступают вероятности видов зимы.
Вычислим, например, показатель для холодной зимы. Игрок 1 приобрел уголь для обычной зимы 5 т по цене 6 грн. за 1 т. Для обогрева он должен закупить еще 1 тонну по цене 8 грн за 1т.
Следовательно, расчет платы за уголь будет 5 ( 6 – при заготовке, и зимой 8 ( 1. Аналогично производятся расчеты при других сочетаниях.
В итоге получим следующую платежную матрицу в игре с природой платежную матрицу (табл.2).
Таблица 2.
Вероятность
Зима 0,35 0,5 0,15 Мягкая Обычная Холодная Мягкая (4т) -(4 ( 6) -(4 ( 6 + 1 ( 7,5) -(4 ( 6 + 2 ( 8) Обычная (5 т) -(5 ( 6) -(5 ( 6 + 0 ( 7,5) -(5 ( 6 + 1 ( 8) Холодная (6 т) -(6 ( 6) -(6 ( 6 + 0 ( 7,5) -(6 ( 6 + 0 ( 8)
Произведем расчет ожидаемой средней платы за уголь (табл. 3).
Таблица 3
Зима Средняя ожидаемая плата Мягкая -(24 ( 0,35 + 31,5 ( 0,5 + 40 ( 0,15) = -30,15 Обычная -(30 ( 0,35 + 30 ( 0,5 + 38 ( 0,15) = -31,2 Холодная -(36 ( 0,35 + 36 ( 0,5 + 36 ( 0,15) = - 36
Как видно из табл. 3, наименьшая ожидаемая средняя плата приходится на случай мягкой зимы (30,15 грн.). Соответственно если не учитывать степени риска, то представляется целесообразным летом закупить 4 т угля, а зимой, если потребуется, докупить уголь по более высоким зимним ценам.
Однако, привлекая дополнительную информацию в форме расчета среднеквадратичного отклонения как индекса риска. Мы можем уточнить принятое на основе максимума прибыли или минимума издержек решение. Дополнительные рекомендации могут оказаться неоднозначными, зависящими от склонности к риску ЛПР.
Формулы теории вероятности:
Дисперсия случайной величины ξ равна
Среднеквадратичное отклонение составит
где D и М - соответственно символы дисперсии и математического ожидания.
Проводя соответственно вычисления для всех случаев по такому принципу:
Мягкая зима:
М(ξ2) = - (242 ( 0,35 + 31,52 ( 0,5 + 402 ( 0,15) = - 937,725
(Мξ)2 = -(30,152 ) = - 909,0225
Dξ =937,725- 909,0225 = 28,7025
(( = 5,357
Если продолжить исследование процесса принятия решения и вычислить среднеквадратичные отклонения платы за уголь для мягкой, обычной и холодной зимы, то соответственно получим:
• для мягкой зимы (( = 5,357;
• для обычной зимы (( = 2,856;
• для холодной зимы (( = 0.
Минимальный риск, естественно, будет для холодной зимы, однако при этом ожидаемая средняя плата за уголь оказывается максимальной - 36 ф. ст.
Вывод. Мы склоняемся к варианту покупки угля для обычной зимы, так как ожидаемая средняя плата за уголь по сравнению с вариантом для мягкой зимы возрастает на 3,5%, а степень риска при этом оказывается почти в 2 раза меньшей ((( = 2,856 против 5,357).
Отношение среднеквадратичного отклонения к математическому ожиданию, вариабельность (средний риск на затрачиваемый 1 ф. ст.) для обычной зимы составляет 2,856/31,2 = 0,0915 против аналогичного показателя для мягкой зимы, равного 5,357/30,15 = 0,1777, т.е. вновь различие почти в 2 раза.
Эти соотношения и позволяют рекомендовать покупку угля, ориентируясь не на мягкую, а на обычную зиму.
Заключение
Теория игр, как один из подходов в прикладной математике, применяется для изучения поведения человека и животных в различных ситуациях . Первоначально теория игр начала развиваться в рамках экономической науки, позволив понять и объяснить поведение экономических агентов в различных ситуациях. Позднее область применения теории игр была расширена на другие социальные науки; в настоящее время теория игр используется для объяснения поведения людей в политологии, социологии и психологии. Теоретико-игровой анализ был впервые использован для описания поведения животных Рональдом Фишером в 30-х годах XX века (хотя даже Чарльз Дарвин использовал идеи теории игр без формального обоснования). В работе Рональда Фишера не появляется термин "теория игр". Тем не менее, работа по существу выполнена в русле теоретико-игрового анализа. Разработки, сделанные в экономике, были применены Джоном Майнардом Смитом в книге "Эволюция и теория игр". Теория игр используется не только для предсказания и объяснения поведения; были предприняты попытки использовать теорию игр для разработки теорий этичного или эталонного поведения. Экономисты и философы применяли теорию игр для лучшего понимания хорошего (достойного) поведения. Вообще говоря, первые теоретико-игровые аргументы, объясняющие правильное поведения, высказывались ещё Платоном.
Литература
Оуэн Г. Теория игр. – М.: Мир, 1971.
Нейман Д., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. – М.: Наука, 1970. - 708 с.
Вильямс Дж.Д. Совершенный стратег или букварь по теории стратегических игр. - М.: Советское радио, 1960. - 266 с.
Раскин М. А. Введение в теорию игр // Летняя школа «Современная математика». — Дубна: 2008.
Мулен Э. Теория игр с примерами из математической экономики. – М., 1985.
Воробьев Н.Н. Теория игр для экономистов-кибернетиков. – М.: Наука, 1985. - 272 с.
Оуэн Г. Теория игр. – М.: Мир, 1971.
Нейман Д., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. – М.: Наука, 1970. - 708 с.
Вильямс Дж.Д. Совершенный стратег или букварь по теории стратегических игр. - М.: Советское радио, 1960. - 266 с.
Раскин М. А. Введение в теорию игр // Летняя школа «Современная математика». — Дубна: 2008.
Мулен Э. Теория игр с примерами из математической экономики. – М., 1985.
Воробьев Н.Н. Теория игр для экономистов-кибернетиков. – М.: Наука, 1985. - 272 с.