математические методы в экономике

ЗАДАЧИ
Задача 1.1
Задача 1.2
Задача 2.1
Задача 2.2
Задача 3.1
Задача 3.2
Задача 4.1
Задача 4.2
Задача 5.1
Задача 5.2
Задача 6.1
Задача 6.2
Список литературы

Составьте план перевозок продукции из фермерских хозяйств на заводы с минимальными транспортными расходами, учитывая, что в связи с ремонтом трассы Москва-Рязань в неделю по ней можно перевезти не более 20 т продукции.
Решение
Математическая постановка задачи
Определим объем производства: 40 + 50 + 60 + 70 = 220 (т);
Объем переработки: 100 + 50 + 40 = 190 (т).
Т.к. объем переработки меньше объема производства, то не вся произведенная продукция будет переработана.
План перевозки из i-го хозяйства в j-ый город представим в виде матрицы:
Целевая функция – затраты на перевозку:
Ограничения по переработке продукции в городах:
Ограничения по объемам продукции в хозяйствах:
Дополнительное условие: .
Добавляется ограничение на отрицательность и целочисленность переменных: , , i=1,2,3; j=1,2,3.
Решение
Рис. 26 Запись задачи
Рис. 27 Поиск решения
Рис. 28 Поиск решения
Ответ: Из рязанского хозяйства 20 т. продукции следует отправить в Москву; из Владимирского хозяйства 10 т. продукции – в Москву и 40 т. продукции в Ярославль; из тверского хозяйства 60 т. продукции – в Москву; из смоленского хозяйства – 10 т. в Москву и 50 т. в Тулу. Суммарная стоимость перевозок составит 86 000 р.
Задача 6.1
В центральном административном округе города Москвы открываются 4 магазина торговли по предварительным заказам – в районах Басманный, Замоскворечье, Мещанский и Таганский. Идея проекта состоит в том, что товары хранятся на четырех централизованных складах, находящихся в Северном, Северо-Востояном, Южном и Западном административных округах, и несколько раз в день по мере поступления заказов доставляются в магазины небольшими партиями.
Время, затрачиваемое на доставку продукции со складов в магазины, приведено в таблице (в минутах):
Басманный Замоскворечье Мещанский Таганский Северный 20 30 15 30 Северо-Восточный 15 25 20 20 Южный 35 15 30 20 Западный 30 20 20 30 Руководство сети магазинов должно решить вопрос прикрепления магазинов к складам так, чтобы каждый склад обслуживал только один магазин, а время доставки товаров было минимальным.
Решение
Наименьшее время, требуемое для доставки товаров в каждый магазин отмечено в исходной таблице желтым цветом.
Всего: 15+15+15+20=65 (мин.)
Ясно, что оно недостижимо.
Следующая минимальная сумма времени равна 70 мин.
Такой расклад представлен в таблице ниже.
Басманный Замоскворечье Мещанский Таганский Северный 20 30 15 30 Северо-Восточный 15 25 20 20 Южный 35 15 30 20 Западный 30 20 20 30 Ответ: магазин в Басманном районе обслуживает север-восточный склад; магазин в Замоскворечье обслуживает западный склад; магазин в Мещанском районе обслуживает северный склад; магазин в Таганском районе обслуживает южный склад.
Задача 6.2
Фирма получила заказ на срочный перевод четырех книг с итальянского языка. Фирма может располагать услугами 5 переводчиков, способных выполнить работу такого уровня. Время в днях, за которое каждый переводчик справится с работой, приведено в таблице:
Книга 1 Книга 2 Книга 3 Книга 4 Иванов 10 25 14 25 Петров 8 12 16 28 Сидоров 12 18 17 33 Андреев 14 23 15 30 Васильев 11 20 18 28 Фирма использует повременную оплату труда. Переводчики имеют разную квалификацию, поэтому за день работы фирма платит Иванову 700 рублей в день, Петрову – 800 рублей в день, Сидорову – 600, Андрееву – 500, Васильеву – 550.
Поскольку по оценке фирмы качество переводов в итоге будет примерно одинаковым, руководство фирмы просит Вас составить такое распределение работ, которое позволит минимизировать затраты на переводы.
Решение
а) Вычислим, в какую цену обойдутся переводы в расчете на книгу.
Книга 1 Книга 2 Книга 3 Книга 4 Иванов 7000 17500 9800 17500 Петров 6400 9600 12800 22400 Сидоров 7200 10800 10200 19800 Андреев 7000 11500 7500 15000 Васильев 6050 11000 9900 15400 В таблице приведена матрица цен ().
Желтым цветом отмечены минимальные стоимости перевода книг.
Если допустимо одному переводчику отдать 2 книги, тогда наиболее выгодным получиться следующий вариант: Васильев переводит книгу 1; Петров – книгу 2; Андреев – книгу 3 и 4.
Затраты в таком случае составят 6050 + 9600 + 7500 + 15000 = 38 150 р.
б) Рассмотрим данную задачу как транспортную.
Решение – матрица
Значения переменных могут равняться 1 (если i-ый переводчик переводит j-ую книгу) или 0 (если не переводит).
Целевая функция – затраты на перевод:
Ограничения:
1) Все книги должны быть переведены, причем только по одному разу:
2) Каждому переводчику должна быть отдана только одна книга, или ни одной:
3) Условие неотрицательности и целочисленности.
Решим задачу с помощью MS Excel
Запишем матрицу стоимости, искомую матрицу (Х).
Зеленым цветом отмечены суммы по столбцам и строкам, которые являются левой частью системы ограничений.
Рис. 29 Запись задачи
Рис. 30 Поиск решения
Рис. 31 Результаты
Ответ: Иванову следует отдать переводить книгу 1, Петрову – книгу 2, Андрееву – книгу 3, Васильеву – книгу 4. Общая стоимость перевода составит 39 500 р.
Список литературы
1. Партыка Т.Л., Попов И.И. Математические методы. – М.: Форум – Инфра-М, 2005. – 464 с.
2. Мастяева И.Н., Горбовцов Г.Я., Семенихина О.Н., Турундаевский В.Б., Математические методы исследования операций. / Учебное пособие. Московский международный институт эконометрики, информатики, финансов и права. – М.:, 2003, 137 с.
3. Салманов О.Н. Математическая экономика с применением Mathcad и Excel. - СПб.: БХВ-Петербург, 2003. - 464 с.
4. А.В. Белобродский, М.А. Гриценко. Руководство по решении экстремальных задач в экономике. Экон. фак. ВГУ, 2001.
5. Медведев Г.А. Начальный курс финансовой математики. Учебное пособие. Мн.: «Электронная книга БГУ», 2003. http://anubis.bsu.by/publications/elresources/AppliedMathematics/medvedev1.pdf
29