Матрицы и определители

Введение
1. Матрицы и определители
1.1. Матрица и её виды
1.2. Определитель
2. Операции над матрицами
3. Применение матриц и определителей при решении задач курса высшей математики
3.1. Решение систем линейных уравнений
3.1.1.Система из двух линейных уравнений
3.1.2.Система из трёх линейных уравнений
3.1.3.Система из n линейных уравнений c n неизвестными
3.1.4. Система из m линейных уравнений с n неизвестными
3.2. Векторное и смешанное произведение векторов
3.3. Уравнение плоскости
3.3. Матрицы квадратичных форм
4. Применение матриц и определителей при решении экономических задач
4.1. Прямая и двойственная задача линейного программирования
4.2. Экономико-математическая модель межотраслевого баланса
4.3. Элементы теории игр в задачах моделирования экономических процессов
4.4. Множественный регрессионный анализ
Заключение
Список литературы

Преобразовывая эти матрицы, можно привести квадратичные формы к каноническому виду и понять, что за кривая или поверхность задаётся соответствующим выражением.
4. Применение матриц и определителей при решении экономических задач
4.1. Прямая и двойственная задача линейного программирования
В задаче линейного программирования требуется найти экстремум (максимум или минимум) линейной целевой функции :
при ограничениях (условиях):
где -заданные постоянные величины.
В некоторых случаях бывает удобно записать эту задачу в матричной форме:
где , , .
В частности, для того чтобы составить задачу, двойственную к исходной задаче линейного программирования (когда целевая функция исходной задачи переформулируется на противоположную) необходимо (помимо других действий) получить новую матрицу путем транспонирования исходной матрицы задачи:
.
4.2. Экономико-математическая модель межотраслевого баланса
Рассмотрим, например, так называемую модель Леонтьева (или модель «затраты –выпуск»). В матричной форме эта модель представляется так:
,
где
-матрица коэффициентов прямых затрат,
-вектор- столбец валовой продукции,
-вектор-столбец конечной продукции.
С помощью этой модели можно выполнять три варианта расчётов:
Задав в модели величины валовой продукции каждой отрасли , можно определить объёмы конечной продукции каждой отрасли :
.
Задав величины конечной продукции всех отраслей можно определить величины валовой продукции каждой отрасли :
Здесь Е –единичная матрица порядка n, (Е-А)-1 –матрица, обратная к матрице (Е-А).
4.3. Элементы теории игр в задачах моделирования экономических процессов
Одним из основных видов игр являются матричные игры, которыми называются парные игры с нулевой суммой (т.е. когда один игрок выигрывает столько, сколько проигрывает другой ) при условии, что каждый игрок имеет конечное число стратегий. В этом случае парная игра формально задаётся матрицей
,
элементы которой определяют выигрыш первого игрока (и соответственно проигрыш второго), если первый игрок выберет i-ю стратегию (i=1,…,m), а второй – j-ю стратегию (j=1,...,n). Матрица А называется матрицей игры или платёжной матрицей.
4.4. Множественный регрессионный анализ
Экономические явления, как правило, определяются большим числом одновременно и совокупно действующих факторов. В связи с этим часто возникает зада исследования зависимости одной зависимой переменной от нескольких объясняющих переменных . Эта задача решается с помощью множественного регрессионного анализа.
Введём обозначения:
-матрица-столбец, или вектор, значений зависимой переменной размера n;
-матрица значений объясняющих переменных или матрица плана размера ,
-матрица-столбец, или вектор, параметров размера (р+1),;
- матрица-столбец, или вектор) случайных ошибок (возмущений) размера n.
Тогда в матричной форме множественная регрессионная модель примет вид:
.
Оценкой этой модели по выборке является уравнение
,
где вектор b находится с помощью ряда операций над матрицами:
.
Заключение
Итак, как видно из представленной мною работы, понятия «матрица» и «определитель» являются очень важными как в курсе высшей математики, так и при решении прикладных экономических задач, которые мне как будущему экономисту , возможно , предстоит решать.
Также хотелось бы отметить, что в моей работе представлены лишь основные направления из курсов математики и экономики, в которых необходимы знания и умения работы с матрицами и определителями. Так как объём работы ограничен, были рассмотрены наиболее важные с моей точки зрения аспекты этой темы. При этом были раскрыты все необходимые аспекты непосредственной темы реферата.
Список литературы
Высшая математика в упражнениях и задачах/ П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. Часть 1. -М.: ОНИКС 21 век Мир и Образование, 2003.
Сборник задач по высшей математике для экономистов. Уч. пособие/Под ред. В.И.Ермакова – М.:ИНФРА-М, 2004
Теория вероятностей и математическая статистика./ Н. Ш. Кремер - М.: ЮНИТИ, 2003
Экономико-математические методы и прикладные модели. /Под. ред. В.В. Федосеева, М.: ЮНИТИ, 2002
Сборник задач по высшей математике для экономистов. Уч. пособие/Под ред. В.И.Ермакова –М.:ИНФРА-М, 2004 – с.50
Сборник задач по высшей математике для экономистов. Уч. пособие/Под ред. В.И.Ермакова –М.:ИНФРА-М, 2004 – с.43
Сборник задач по высшей математике для экономистов. Уч. пособие/Под ред. В.И.Ермакова –М.:ИНФРА-М, 2004 – с.44
П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть 1.М.: ОНИКС 21 век Мир и Образование,2003 – с.41
П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть 1.М.: ОНИКС 21 век Мир и Образование,2003 – с.74
Сборник задач по высшей математике для экономистов. Уч. пособие/Под ред. В.И.Ермакова –М.:ИНФРА-М, 2004 – с.46
П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть 1.М.: ОНИКС 21 век Мир и Образование,2003 – с.76
П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть 1.М.: ОНИКС 21 век Мир и Образование,2003 – с.88
Экономико-математические методы и прикладные модели. /Под. ред. В.В. Федосеева,М.:ЮНИТИ, 2002 – с.25
Экономико-математические методы и прикладные модели. /Под. ред. В.В. Федосеева,М.:ЮНИТИ, 2002 – с.238
Экономико-математические методы и прикладные модели. /Под. ред. В.В. Федосеева,М.:ЮНИТИ, 2002 – с.328
Н. Ш. Кремер. Теория вероятностей и математическая статистика./М.:ЮНИТИ, 2003 –с.452
27