Численное интегрирование функций

Использованы методы:
а) Метод Трапеций;
б) Метод Сипсона;
в) Метод Гаусса

Положим

Если α0 и α1 должны удовлетворять уравнению (8),то μ0 и μ1 определяются из равенства
Так как это равенство должно быть справедливо для любых β0 и β1, то необходимо потребовать выполнения двух равенств:

Выполнив интегрирование после преобразований получим
(9)
Аналогично определим значения А0 = А1=1.
Окончательно получим
Это и есть формула численного интегрирования Гаусса для случая двух ординат. Ошибка ограничения равна нулю при интегрировании многочленов до третьего порядка включительно. При интегрировании многочленов высших степеней и прочих функций ошибка ограничения будет равна
Можно вывести гауссовы формулы численного интегрирования более высмких порядков:

Таблицы коэффициентов μi и Аi можно найти например в [3]. Ниже приведем эти коэффициенты до n = 6
Программа вычисления интеграла по методу Гаусса приведена в приложении№3.

Приложение №1

Приложение №2.
Блок-схема программы:

ДА

НЕТ






ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В завершении работы, хочется отметить ряд особенностей применения рассмотренных выше методов. Каждый способ приближённого решения определённого интеграла имеет свои преимущества и недостатки, в зависимости от поставленной задачи следует использовать конкретные методы. Если необходимо быстро получить решение, но нет необходимости в большой точности ответа, следует воспользоваться методом трапеций. Если же необходимо получить более точный результат, идеально подходит метод Симпсона.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики.- М.: Наука. 1980.
2. Никольский С.М. квадратурные формулы.- М.: Наука. 1979.
3. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. – М.: Наука. 1987.
4. Волков Е.А. численные методы. – М.: Наука. 1982.
5. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырский П.И. Вычислительные методы. Т.2. – М.: Наука. 1977.
19
M1
M0
X2
Х0
M2
M1
M0
M2
y0
y1
y2
-h
0
h
X1
I=i+1
S=S+(f(a+(2i-2)h) + 4 f(a+(2i-1)h)+ f(a+(2i)h))h/3
Вывод S
i≤m
h=(b-a)/n
S=0, i=1
Ввод a, b, n
S=0, i=1
h=(b-a)/n
S0=(f(a)+f(b))*0.5*h
I<n
Вывод Sn
S=S+f(a+i*h)*h
Sn=S0+S
i=i+1
Ввод a, b, n=2m