Кривые второго порядка. Параболы и гиперболы

Введение
1. Гипербола
1.1. Каноническое уравнение гиперболы
1.2. Установление формы гиперболы, пользуясь ее каноническим уравнением
1.3.Уравнение равносторонней гиперболы
1.4. Дополнительные сведения о гиперболе
2. Парабола
2.1. Каноническое уравнение параболы
2.2. Исследование форм параболы по ее уравнению
3. Общее уравнение линий второго порядка
Литература

И наоборот, все лучи, приходящие из бесконечности и параллельные оси параболы, сойдутся в ее фокусе. Это свойство широко используется в технике. В прожекторах обычно ставят зеркало, поверхность которого получается при вращении параболы вокруг ее оси симметрии (параболическое зеркало). Источник света в прожекторах помещают в фокусе параболы. В результате прожектор дает пучок почти параллельных лучей света. Это же свойство используется и в приемных антеннах космической связи и в зеркалах телескопов, которые собирают поток параллельных лучей радиоволн или поток параллельных лучей света и концентрируют его в фокусе зеркала.
3. Общее уравнение линий второго порядка
Уравнения кривых второго порядка с осями симметрии, параллельными координатным осям. Найдем сначала уравнение эллипса с центром в точке , оси симметрии которого параллельны координатным осям Ох и Оу и полуоси соответственно равны а и b. Поместим в центре эллипса   начало новой системы координат , оси которой  и  параллельны соответствующим осям Ох и Оу и одинаково с ними направленны .
В этой системе координат уравнение эллипса имеет вид
Так как , то в старой системе координат 
уравнение эллипса запишется в виде
Аналогично рассуждая, получим уравнение гиперболы с центром в точке   и полуосями а и b.
и, наконец, параболы, изображенные на рисунке (1.10), имеют соответствующие уравнения.
  
   
 
 
 
  
Уравнение Ac2 + Су2 + 2Dx + 2Еу + F = О
Уравнения эллипса, гиперболы, параболы и уравнение окружности   после преобразований (раскрыть скобки, перенести все члены уравнения в одну сторону, привести подобные члены, ввести новые обозначения для коэффициентов) можно записать с помощью единого уравнения вида
  (1.9)
где коэффициенты А и С не равны нулю одновременно.
Возникает вопрос: всякое ли уравнение вида (1.9) определяет одну из кривых (окружность, эллипс, гипербола, парабола) второго порядка?
Ответ дает следующая теорема.
  Теорема : Уравнение (1.9) всегда определяет: либо окружность (при А=С), либо эллипс (при А • С > 0), либо гиперболу (при А • С < 0), либо параболу (при АС = 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) - в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся прямых, для параболы - в пару параллельных прямых.
 Пример 1. Установить вид кривой второго порядка, заданной уравнением  
Решение: Предложенное уравнение определяет эллипс . Действительно, проделаем следующие преобразования:
  Получилось каноническое уравнение эллипса с центром в  и полуосями  и  .
 
 
  Пример 2. Установить вид кривой второго порядка, заданной уравнением х2 + 10х - 2у + 11 = 0.
 Решение: Указанное уравнение определяет параболу (С = 0). Действительно,
.
Получилось каноническое уравнение параболы с вершиной в точке   и . 
 
  Пример 3. Установить вид кривой второго порядка, заданной уравнением.
  Решение: Преобразуем уравнение: 
  Это уравнение определяет две пересекающиеся прямые
Общее уравнение второго порядка
 Рассмотрим теперь общее уравнение второй степени с двумя неизвестными:
 Ax2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Еу + F == 0. (1.10)
Оно отличается от уравнения (1.10) наличием члена с произведением координат. Можно, путем поворота координатных осей на угол , преобразовать это уравнение, чтобы в нем член с произведением координат отсутствовал.
 Используя формулы поворота осей
выразим старые координаты через новые:
Выберем угол  так, коэффициент при  обратился в нуль, т.е. чтобы выполнялось равенство
т.е.
   (1.11)
т.е.
Отсюда
   (1.12)
 
  Таким образом, при повороте осей на угол  , удовлетворяющий условию (1.12), уравнение (1.10) сводится к уравнению (1.9).
 Вывод: общее уравнение второго порядка (1.10)определяет на плоскости (если не считать случаев вырождения и распадения) следующие кривые: окружность, эллипс, гиперболу, параболу.
Литература
1. Аристов С.А. Имитационное моделирование экономических процессов. Учебное пособие, Екатеринбург, 2003
1. Гусак А.А. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Справочное пособие к решению задач, Минск, 2001
2. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. Москва, 1986
3. Ильин В.А., Позняк Э.Г. " Аналитическая геометрия ",1988
4. Ильин В.А., Позняк Э.Г. " Линейная алгебра ",1988
5. Беклемишев Д.В. " Курс аналитической геометрии и линейной алгебры ",1985
6. Курош А.Г. " Курс высшей алгебры ",1975
7. Цубербиллер О.Н. " Задачи и упражнения по аналитической геометрии ",1970
8. Фаддев Д.К., Соминский И.С. " Сборник задач по высшей алгебре ",1977
24