Раскрытие 2-х вопросов: 1. Основные положения логики. 2. Пакеты математических расчетов

Содержание.
ЮРИДИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
1. Основные положения логики.
1.1. Понятие логического закона.
1.2. Закон тождества.
1.3. Законы не противоречия.
1.4. Закон исключения третьего.
1.5. Принцип достаточного основания.
1.6. Общая структура логики.
1.7. Основные положения и законы алгебры логики.
2. Пакеты математических расчетов.
2.1. Математический пакет MathCAD.
2.2. Математический пакет Maple.
2.3. Математический пакет Mathematica.
2.4. Математический пакет MATLAB.
Список использованной литературы.

Есть строгое правило порядка записи переменных и выражений с переменными: если в некотором выражении используется переменная, то эта переменная должна быть определена на листе MathCAD либо выше выражения, либо в той же строчке, но левее (рис. 3). Несоблюдение данного правила - одна из наиболее частых ошибок.
       
а)            б)
Рис. 3. Примеры правильной (а) и неправильной (б) последовательностей расположения формул с переменными
 
Значения переменных можно изменить в любой момент, отредактировав соответствующую формулу. При этом обычно автоматически пересчитываются все формулы, которые прямо или опосредованно зависят от данной переменной. Если же этого не происходит, то необходимо включить автовычисление с помощью верхнего меню MathCAD (пункт Math\Automatic calculation или Математика\Автовычисление).
 
Пример матричных вычислений: решение системы линейных алгебраических уравнений методом обратной матрицы
Допустим, что необходимо решить следующую систему уравнений:
Воспользуемся матричным методом, когда решение находится по формуле X = A-1B, где A - матрица коэффициентов при переменных системы; B - вектор свободных членов. Поскольку в MathCAD нет понятия вектора, используется матрица из одного столбца. На листе MathCAD (рис. 4) необходимо определить эти матрицы, записать формулу для X и подсчитать X, применив оператор числового вычисления «=».
Рис. 4. Вид листа MathCAD при решении данной задачи.
2.2. Математический пакет Maple.
Maple — система компьютерной математики, рассчитанная на широкий круг пользователей. До недавнего времени ее называли системой компьютерной алгебры, Ито указывало на особую роль символьных вычислений и преобразований, которые способна осуществлять эта система. Но такое название сужает сферу применения системы. На самом деле она уже способна выполнять быстро и эффективно не только символьные, но и численные расчеты, причем сочетает это с превосходными средствами графической визуализации и подготовки электронных документов.
Казалось бы, нелепо называть такую мощную систему, как Maple 7 математической системой «для всех». Однако по мере ее распространения она становится полезной для многих пользователей ПК, вынужденных в силу обстоятельств (работа, учеба, хобби) заниматься математическими вычислениями и всем, что с ними связано. А все это простирается от решения учебных задач в вузах до моделирования сложных физических объектов, систем и устройств, и даже создания художественной графики (например, фракталов).
Для наших читателей (в том числе и для математиков-профессионалов) возможности систем символьной математики, реализованных на массовых ПК класса IBM PC, порой являются полной неожиданностью и вызывают вполне заслуженное удивление и восхищение, но иногда и резкое отрицание. Впрочем, последнее характерно скорее для тех, кто с системой Maple просто не работал и относится к ней, как дама из анекдота о паровозе — увидев паровоз впервые, она воскликнула: «Не может быть, что он едет без лошадей!» Maple — тщательно и всесторонне продуманная система компьютерной математики. Она с равным успехом может использоваться как для простых, так и для самых сложных вычислений и выкладок. Заслуженной популярностью системы Maple (всех версий) пользуются в университетах — свыше 300 самых крупных университетов мира (включая и наш МГУ) взяли эту систему на вооружение. А число только зарегистрированных пользователей системы уже давно превысило один миллион. Ядро системы Maple используется в ряде других математических систем, например в MATLAB и Mathcad, для реализации в них символьных вычислений.
Добавьте к этому куда большее число незарегистрированных пользователей — ведь система записана на многих компакт-дисках, лихо продаваемых в России  по вполне доступным ценам. Если учесть все это, то оказывается, что популярность системы Maple ничуть не ниже, а то и выше, чем у гораздо более простых систем, таких как Derive и Mathcad. Вот и решайте, какая из систем и впрямь рассчитана на всех!
Maple — типичная интегрированная система. Она объединяет в себе:
 мощный язык программирования (он же язык для интерактивного общения с системой);
 редактор для подготовки и редактирования документов и программ;
 современный многооконный пользовательский интерфейс с возможностью работы в диалоговом режиме;
 мощную справочную систему со многими тысячами примеров;
 ядро алгоритмов и правил преобразования математических выражений;
 численный и символьный процессоры;
 систему диагностики;
 библиотеки встроенных и дополнительных функций;
 пакеты функций сторонних производителей и поддержку некоторых других языков программирования и программ.
Ко всем этим средствам имеется полный доступ прямо из программы. Maple — одна из самых мощных и «разумных» интегрированных систем символьной математики, созданная фирмой Waterloo Maple, Inc. (Канада).
Во многих обзорах систем компьютерной алгебры Maple справедливо считается одним из первых кандидатов на роль лидера среди них. Это лидерство она завоевывает в честной конкурентной борьбе с другой замечательной математической системой — Mathematica 4.1. Каждая из данных двух систем имеет свои особенности, но в целом эти две лидирующие системы практически равноценны. Однако надо отметить, что появление новейшей версии Maple 7 означает очередной виток в соревновании этих систем за место лидера мирового рынка. Причем виток на этот раз раньше сделала система Maple 7.
Система Maple прошла долгий путь развития и апробации. Она реализована на больших ЭВМ, рабочих станциях Sun, ПК, работающих с операционной системой Unix, ПК класса IBM PC, Macintosh и др. Все это самым положительным образом повлияло на ее отработку и надежность (в смысле высокой вероятности правильности решений и отсутствия сбоев в работе). Не случайно ядро системы Maple V используется целым рядом других мощных систем компьютерной математики, например системами класса Mathcad и MATLAB. А совсем недавно упрощенная версия Maple для операционной системы Windows СЕ стала использоваться в миниатюрных компьютерах фирмы Casio — Cassiopeia.
2.3. Математический пакет Mathematica.
В 80-е годы возможностями символьной математики увлекся защитивший докторскую диссертацию Стивен Вольфрам (Stephen Wolfram) из США. Его интересы были столь серьезны, что он основал фирму Wolfram Research, Inc., приступившую к созданию проекта престижной математической системы Mathe-
matica. Версия Mathematica 1.0 этой системы, появившаяся в 1988 г., уже устарела, и самой известной разработкой фирмы стала версия 2.0 системы Mathematica 2, появившаяся в 1991 г. и благополучно дожившая до наших дней. У нас она впервые стала известна благодаря обзорам.
Цели нового проекта были достаточно амбициозными — разработка мощного и универсального ядра системы (Kernel), способного работать на различных компьютерных платформах, создание многофункционального языка программирования, ориентированного на математические приложения, подготовка современного пользовательского интерфейса и обширного набора прикладных пакетов и расширений системы (Packages), мощного языка программирования математических преобразований и вычислений. Система приобрела свойства адаптации и обучения новым математическим законам и закономерностям.
В разработках систем Mathematica, наряду с головной фирмой Wolfram Research, Inc., принимали участие ряд других фирм и сотни специалистов высокой квалификации (в том числе математики и программисты). Среди них есть и представители пользующейся уважением и «спросом» за рубежом математической школы России. Системы Mathematica являются одними из самых крупных программных систем, они реализуют самые эффективные алгоритмы вычислений и имеют множество новинок. К их числу относится механизм контекстов, исключающий появление в программах побочных эффектов.
Система Mathematica 2 всегда рассматривалась как мировой лидер среди компьютерных систем символьной математики для ПК, обеспечивающих не только возможности выполнения сложных численных расчетов с выводом их результатов в самом изысканном графическом виде, но и проведение особо трудоемких аналитических вычислений и преобразований. Версии системы под Windows имеют современный пользовательский интерфейс и позволяют готовить документы в форме Notebooks («записных книжек»). Они объединяют исходные данные, описание алгоритмов решения задач, программ и результатов решения в самой разнообразной форме (математические формулы, числа, векторы, матрицы, графики).
Mathematica 2 была задумана как система, максимально автоматизирующая труд научных работников и математиков-аналитиков. Она заслуживала изучения как типичный представитель элитных и высокоинтеллектуальных программных продуктов высшей степени сложности. Однако куда больший интерес она представляет как мощный и гибкий математический инструментарий, который может оказать неоценимую помощь большинству научных работников, преподавателей университетов и вузов, студентов и инженеров и даже школьников.
С самого начала большое внимание уделялось графике, в том числе динамической, и даже возможностям мультимедиа — воспроизведению динамических изображений и синтезу звуков с поддержкой звуковой платы (аудиоадаптера). Набор функций графики и меняющих их действие опций и директив весьма полон. Графика всегда была козырной картой систем Mathematica и обеспечивала им лидерство среди систем компьютерной математики.
Рождение столь мощной и сложной системы, как Mathematica 2, шло не без трудностей. Первые версии Mathematica 2 для MS-DOS имели примитивный пользовательский интерфейс, заметно уступающий интерфейсу конкурирующей системы Maple V 1.0 для MS-DOS. Однако фирма Wolfram быстро сумела оценить возможности графической оболочки Windows и одной из первых создала версию своей системы для Windows. В книге приведены многие десятки недостатков версии Mathematica 2, практически устраненных в последующих версиях.
Mathematica 2 — одна из самых крупных и изощренных математических программных систем своего времени (начала 90-х годов). На протяжении ряда лет эта система модернизировалась и улучшалась. Ее расширенная версия (Mathematica 2.2.2) для IBM-совместимых ПК класса 386/486/Pentium требует ОЗУ объемом не менее 8 Мбайт. Сейчас это вряд ли ограничивает применение системы — компьютеры класса Pentium II/III и даже Pentium MMX с таким объемом памяти и частотами работы процессоров от 166 до 450 МГц можно приобрести в России по цене порой менее $300. Множество подходящих для этой системы ПК есть в системе образования и в индивидуальном владении пользователей.
Если по части графических возможностей лидерство системы Mathematica 2 не вызывало особых споров, то в части выполнения аналитических преобразований и надежности работы система неоднократно подвергалась заслуженной критике. В частности, приводились данные не только об отказе системы выполнять некоторые типы символьных вычислений, но и даже о получении при этом явно неверных результатов. Однако такие нарекания относятся лишь к версиям системы 2.1 и ниже. При этом в справедливо указывалось, что недоработки системы обусловлены ее новизной, сложностью и обширными возможностями.
Раньше грубые просчеты пользователя могли привести к зависанию системы. Однако уже в версии 2.2.2 это было практически исключено. Кроме того, оно устраняется обычным для Windows способом — одновременным нажатием клавиш Ctrl+Alt+Del При этом работа с системой Mathematica может прерваться, но общего краха системы Windows обычно не происходит. Нажатие клавиши Enter возвращает нас в менеджер программ Windows.
Тем, кто слишком щепетильно относится к возможностям ошибок в символьных вычислениях, стоит напомнить, что от неверных результатов не застрахован даже самый талантливый математик-аналитик. За рубежом (но только не у нас!) такой специалист получает в месяц заработную плату, намного превосходящую стоимость среднего ПК вместе с установленной на нем системой Mathematica. Так что стоит подумать о том, какие средства вам нужны для решения ваших задач и сколько вы готовы за них заплатить!
Несмотря на отмеченные недоделки, система быстро заняла ведущие позиции на рынке математических систем. Особенно привлекательны были обширные графические возможности системы и реализация интерфейса типа Notebook («записная книжка»), позволяющего сочетать в пределах одного документа программы и команды с данными, представленными в формульном, текстовом, табличном и графическом видах. При этом система обеспечивала динамическую связь между ячейками документов в стиле электронных таблиц даже при решении символьных задач, что принципиально и выгодно отличало ее от других систем.
2.4. Математический пакет MATLAB.
MATLAB предназначен прежде всего для программирования численных алгоритмов. Он разрабатывается уже более 15 лет и возник на основе более ранних прикладных пакетов LINPACK и EIGPACK, созданных в 1970-е гг. в США, и в свою очередь повлиял на появление таких систем, как MathCad и Mathematica. Совершенствование системы MATLAB происходило как в связи с достижениями в вычислительной математике, так и в связи с изменениями в архитектуре персональных компьютеров и развитием общесистемных средств. Со временем MATLAB был дополнен целым рядом приложений (toolboxes), далеко раздвинувших границы его применимости (их перечень и краткие аннотации даны в последней главе). Далее речь пойдет лишь о ядре MATLAB'а, которое мы будем называть системой, и конкретно о ее версии 5.2, выпущенной фирмой Math Works в январе 1998 г. В конце 2000 г. вышла версия 6.0, в которой, как и ожидалось, существенно улучшен интерфейс системы с пользователем, но этой версии мы не касаемся. В то же время практически все примеры могут выполняться и в более ранних версиях, начиная с 4.0 (1994). Непрерывное отслеживание выхода новых версий индивидуальным пользователем (в данном случае это версии 5.3, 5.3.1, 5.3.2, 6.0) вообще невозможно - оно под силу только коллективам, и поэтому начинающий пользователь должен выбрать одну из версий (именно ту, по которой он найдет подходящее учебное руководство) и постараться как-то освоить ее в нужном для себя направлении.
    MATLAB - система программирования высокого уровня, работающая как интерпретатор и включающая большой набор инструкций (команд) для выполнения самых разнообразных вычислений, задания структур данных и графического представления информации. Команды эти разбиты на тематические группы, расположенные в различных директориях системы. Команды с большим возможным объемом вычислений написаны на С, но много и таких команд, которые представлены в терминах этих С-программ.
    Имеются большие возможности для вывода двумерной и трехмерной графики и средства управления ею. Пользователь может без особых затруднений добавлять свои команды и писать программы в терминах уже существующих команд; несколько сложнее делать это на Фортране и С. Можно обмениваться данными с программами на этих языках, а из них обращаться к системе. Имеются удобные способы управления счетом.

Список использованной литературы.
Горский Д.П., Ивин А.А., Никифоров А.Л. Краткий словарь по логике М., 1991.
Дьяконов В.П. Справочник по системе символьной математики.- М.:Ск пресс, 1998.
Ивлев Ю.В. Логика: учебник. – М.: издательство Московского университета, 1992.
Кириллов В.В., Старченко А.А. Логика., М., Высшая школа., 1982.
Кобзарь В.И. Основы логических знаний., Санкт-Петербург, 1999.
Рычков В. и др. Компьютер для студента. Самоучитель. Санкт-Петербург, Питер, 2001.
http://elib.ispu.ru/library/lessons/pekunov/index.html
http://matclub.ru/Maple7/Glava%201/Index1.htm
http://matclub.ru/Book_Mat/
http://matlab.exponenta.ru/index.php
http://elib.ispu.ru/library/lessons/pekunov/index.html
http://matclub.ru/Maple7/Glava%201/Index1.htm
http://matclub.ru/Book_Mat/
http://matlab.exponenta.ru/index.php
8