Исследования движения механизма

Условие задачи
Тонкостенный цилиндр 1 массой m = 4 кг и радиуса R = 0,3 м может катиться без проскальзывания и без отрыва по вращаемуся вокруг неподвижной горизонтальной оси О тонкостенному однородному цилиндру 2 радиуса r = 0,1 м и массой m2 = 2,5 кг как показано на рисунке. В цилиндре 2 закреплен однородный тонкий прямолинейный стержень BD массой m3 = 2 кг, проходящий через ось цилиндра 2 и перпендикулярно к ней. К цилиндру 2 приложен постоянный вращающий момент М = 6,25 Нм.
В начальный момент времени система находилась в покое, отрезок ОА был вертикален, причем точка А располагалась ниже точки О, стержень BD занимал горизонтальное положение. Для описывания механической системы требуется:
1. Составить уравнение Лагранжа 2-го рода.
2. Определить движение системы численными методами с помощью ЭВМ при указанных начальных условиях.
3. Исследовать движения описанного механизма. Установить, возможно ли при движении механической системы с другими начальными условиями сохранение неизменным положения точки А. Если такое движение возможно, то необходимо выписать соответствующие начальные условия и описать положение точки А.

Если момент сил чуть больше предельного значения, стержень доходит до вертикального положения и «опрокидывает» систему – движение становится апериодическим.
Теперь рассмотрим вариант с другими начальными условиями.
Рис.4 Движение системы при M=4 и φ0=π/3
Видно, что, во-первых смещается положение равновесия, а также увеличивается предельное значение «опрокидывающего» момента. Однако, при больших значениях момента движение все равно становится апериодическим.
Если же задать системе начальную скорость, то качественных изменений не происходит. При малой скорости движение остается периодическим, при ее увеличении – переходит в апериодическое (рис.5 и 6). От знака скорости характер движения не зависит – движение периодическое и скорость будет полпериода действовать против момента сил, а полпериода – «по» моменту.
Рис.5 Движение системы при M=4 и (dφ/dt)0=1
Рис.6 Движение системы при M=4 и (dφ/dt)0=2
Теперь перейдем к вопросу о движении центра большого цилиндра – т.А. Т.к. цилиндр движется без проскальзывания, то любое движение малого цилиндра приведет к движению (вращению) большого. При этом мгновенная ось вращения проходит не через точку А, таким образом точка А не может сохранять сове положение в пространстве при движении системы.

Итоги и выводы
Рассмотрена задача о движении системы вложенных цилиндров. Показано, что при заданных параметрах задачи движение системы является апериодическим, но при уменьшении действующего момента сил движение может стать периодическим – колебательным. Изменение начальных условий качественно не меняет поведение системы (точнее изменений начальных условий нельзя создать в системе некий другой тип движения). Также показано, что движение с сохранением положения сои большого цилиндра в системе невозможно.

Список литературы
Обносов, Качанов, Шатов. Материалы для семестровых и курсовых работ
А.А. Яблонский, В.М. Никифорова, «Курс теоретической механики», СПб, Лань, 2001, 740 с.
Н.И. Кошкин, М.Г. Ширкевич, «Справочник по элементарной физике», М, Наука, 1972, 255 с.
И.В.Савельев «Курс общей физики т.1 Механика», М, Физматлит, 1998, 337 с.
Г.Л. Коткин, В.Г. Сербо «Сборник задач по классической механике», Ижевск, РХД, 2001, 352 с.
r
О
М
А
R
2
1
D
B