Системы уравнений

Содержание
Введение
§1. Из истории решения систем уравнений
§2. Определения
§3. Некоторые способы решения систем уравнений
§3.1. Метод подстановки
§3.2. Метод новой неизвестной
§3.3. Графический метод
§3.4. Решение систем линейных уравнений
§3.4.1. Метод Гаусса (метод исключения)
§3.4.2. Метод Крамера
§3.5. Решение систем симметрических уравнений
§4. Примеры
Заключение
Список литературы

В данном случае все необходимые замены уже сделаны, поэтому по формулам Виета и являются корнями уравнения , т.е. 1, -3.
Ответ: (-3, 1), (1, -3).
Решить систему уравнений .
Первое уравнение эквивалентно и задает параболу с осью Ox и вершиной в точке (-2, 0). Второе уравнение эквивалентно и задает единичную окружность с центром в точке (-1, 0). Как видно из рисунка, парабола и окружность касаются в точке (-2, 0). Значит, система имеет единственное решение (-2, 0), которое найдено точно.
Ответ: (-2, 0).
Решить графически систему уравнений
Первое уравнение системы задает единичную сферу с центром в начале координат в трехмерном пространстве. Координатная плоскость пересекает ее по окружности . Пересечение координатных плоскостей и - это ось Oz, которая пересекает окружность в двух точках (0, 0, -1) и (0, 0, 1). Таким, образом, система имеет два решения (0, 0, -1) и (0, 0, 1).
Ответ: (0, 0, -1) и (0, 0, 1).
Решить графически систему уравнений
Графики функций представлены на рисунке ниже. Как видно из рисунка, для того, чтобы найти точки пересечения, нужно взять достаточно мелкий масштаб при построении графиков функций. Это дает три точки пересечения (1/2, 1/4), (1/4, 1/2) как точные решения системы и (0,35, 0,35) как приближенное.
Ответ: (1/2, 1/4), (1/4, 1/2), (0,35, 0,35).
Решить графически систему
Первое уравнение системы задает конус в трехмерном пространстве с вершиной в начале координат и углом между образующей конуса и его осью . Плоскость пересекает этот конус по окружности , таким образом, система имеет бесконечное число решений. Этот пример демонстрирует одно из наиболее простых конических сечений.
Ответ: окружность , лежащая в плоскости .
Конические сечения как пример графического решения системы.
Рассмотрим конические сечения на примере сечения конуса из предыдущего примера плоскостью . Это сечение задается системой уравнений Возможны следующие варианты (см. [3]):
если плоскость проходит через начало координат, то получается вырожденное сечение – точка начала координат;
если секущая плоскость пересекает все образующие конуса в точках одной его полости, получаем эллипс;
если секущая плоскость параллельна одной из касательных плоскостей конуса, получаем параболу;
если секущая плоскость пересекает обе полости конуса, получаем гиперболу.
Таким образом, у системы может быть либо нулевое решение, либо бесконечно много решений, которые задают эллипс, гиперболу или параболу.
Решить систему уравнений
Решим систему методом исключения:
Ответ: (-1/2, 1).
Решить систему уравнений из предыдущего примера методом Крамера.
Матрица системы , вектор правых частей . Решаем по правилу Крамера:
Ответ: (-1/2, 1).
Решить систему уравнений методом Гаусса
Запишем таблицу коэффициентов матрицы системы и выполним преобразования строк этой таблицы по методу Гаусса (ведущие элементы подчеркнуты):
Последняя таблица соответствует системе
,
которая эквивалентна исходной системе. Значит, – решение исходной системы.
Решить систему уравний из предыдущего примера методом Крамера.
Матрица системы и вектор правых частней равны
.
Решим систему методом Крамера:
Решить систему уравнений
Запишем таблицу коэффициентов матрицы системы и выполним преобразования строк этой таблицы по методу Гаусса (ведущие элементы подчеркнуты):
Последняя матрица соответствует системе
,
решением которой является множество чисел при произвольном .
Ответ: .
Решить методом подстановки систему уравнений
Метод подстановки показывает, что система несовместна:

Ответ: система несовместна.
Решить методом Гаусса систему уравнений из предыдущего примера.
Метод Гаусса:
,
поскольку есть нулевая слева ненулевая справа строка, то система несовместна.
Ответ: система несовместна.
Решить систему
Продемонстрируем вариант метода Гаусса, в записи которого не используются матрицы.
.
Более подробно:
(1) С помощью второго уравнения зануляем коэффициенты при в первом и третьем уравнении, то есть из первого уравнения системы вычитаем второе, умноженное на 5; к третьему уравнению системы добавляем второе.
(2) С помощью третьего уравнения зануляем коэффициенты при в первом и третьем уравнении, то есть к первому уравнению системы добавляем третье, умноженное на -7; ко второму уравнению системы добавляем третье, умноженное на 2.
(3) Делим уравнения на соответствующие коэффициенты: первое уравнение делим на -19, второе на 1, третье на -1.
(4) С помощью первого уравнения зануляем коэффициенты при во втором и третьем уравнении, то есть ко второму уравнению системы добавляем первое, умноженное на -9; к третьему уравнению системы добавляем первое, умноженное на 6.
Ответ: (-16/19, 49/19, -20/19).
Решить систему методом Крамера
Запись системы в матричном виде: , матрица системы , столбец правых частей , расширенная матрица системы .
Считаем определители для метода Крамера:
Отсюда
Ответ: (1, -1, 4).
Решить систему из предыдущего примера методом Гаусса.
Выполняем элементарные преобразования строк расширенной матрицы системы:
Итак, исходная система эквивалентна системе . Отсюда .
Ответ: (1, -1, 4).
Решить систему
Данная система является системой симметрических уравнений, поэтому будем делать подстановку , , . Для этого используем равенство . Далее имеем
Отсюда
Таким образом, по формулам Виета являются корнями уравнения , котрые равны 0, 0 и .
Ответ: .
Заключение
Приведенные примеры иллюстрируют трудности, которые возникают при использовании различных методов решения систем уравнений. Также показано, как изменяется применение метода при увеличении числа переменных. Примеры подбирались таким образом, чтобы охватить наиболее широкий круг систем, к решению которых можно применять рассматренные методы.
Список литературы
Винберг Э.Б., Начала алгебры, из-во «УРСС», Москва, 1998г.
Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И., Сборник задач по алгебре, 7 – 9 классы, из-во «Просвещение», Москва, 2005г.
Гильберт Д., Кон-Фоссен С., Наглядная геометрия, Объединенное научно-техническое из-во, Ленинград, 1936г.
Глейзер Г.И., История математики в школе, из-во «Просвещение», Москва, 1964г.
История метматики с древнейших времен и до начала XIX столетия, т.1-3, под редакцией Юшкевича А.П., из-во «Наука», Москва, 1970г.
Кострикин А.И., Введение в алгебру, ч.2, из-во «Физ.-мат. лит-ра», Москва, 200г.
Сканави М.И. и др., Элементарная математика, из-во «Наука», Москва, 1974г.
Энциклопедия элементарной математики, под ред. Александрова П.С. и др., Государственное из-во технико-теоретической литературы, Ленинград, 1951г.
2