Уравнения и неравенства с параметрами в школьном курсе алгебры.

Оглавление
Введение
Глава 1. Психолого- педагогические основы обучения математике.
1.1 Педагогические основы
1.2 Психологические основы
Глава 2. Основные разделы, изучаемые в курсе алгебры
Глава 3. Уравнения и неравенства с параметрами
3.1 Первоначальные сведения
3.2 Решение линейных уравнений с параметрами
3.3 Решение линейных неравенств с параметрами
3.4 Квадратные уравнения и неравенства с параметрами
3.5 Свойства квадратичной функции в задачах с параметрами
3.6 Тригонометрия и параметры
3.7 Иррациональные и рациональные уравнения
3.7.1 Иррациональные уравнения
3.7.2 Рациональные уравнения
3.8 Показательные и логарифмические уравнения с параметрами
3.9 Производная и ее применение в задачах
3.9.1 Графическое решение
3.10 Нестандартные задачи с параметрами
3.10.1 Уравнения и неравенства с параметрами при наличии условий
3.11 Задачи с использованием параметра
Глава 4. Методика преподавания темы «Уравнения и неравенства с параметрами в школьном курсе алгебры»
4.1. Первоначальные сведения.
4.2 Решение линейных уравнений, содержащих параметр
4.3 Решение линейных неравенств с параметром
4.4 Квадратные уравнения с параметром
4.5 Свойства квадратичной функции в задачах с параметрами.
4.6. Тригонометрия и параметр.
4.7 Иррациональные и рациональные уравнения
4.8 Показательные и логарифмические уравнения с параметром
4.9. Производная и ее применение.
4.10. Нестандартные задачи.
4.11 Планирование
Заключение
Литература

Ответ:
Задача 6. (ЦТ) При каких значениях параметра корни квадратного трехчлена положительны?
Ответ:
Задача 7. (ЦТ) При каких значениях параметра график квадратного трехчлена имеет общие точки с положительной полуосью Ox?
Ответ:
Задача 8 (ЦТ) При каких значениях параметра корни квадратного уравнения отрицательны?
Ответ:
Задача 9. (ЦТ) При каких значениях параметра оба корня уравнения больше 3?
Ответ:
Задача 10. (ЦТ) При каких значениях параметра b корни уравнения удовлетворяют условию ?
Ответ: b=-15,5.
Задача 11. В уравнении найдите значение параметра p, если известно, что сумма квадратов его корней равна 14.
Ответ: p=1.
Задача 12. При каких значениях параметра a разность между корнями уравнения равна 3?
Ответ:
Задача 13. При каких значениях параметра p один из корней уравнения в 8 раз больше другого?
Ответ: p=-6; p=3.
Задача 14. При каком положительном значении параметра c один из корней уравнения равен квадрату другого?
Ответ:
Задача 15. (ЦТ) При каких значениях параметра a графики функций и имеют только одну общую точку?
Ответ:
Задача 16. (ЦТ) Найдите число корней уравнения в зависимости от значений параметра a.
Ответ: если нет решений,
если 2 корня.
если : 4 корня.
если : 3 корня.
если : 2 корня.
Задача 17. При каком значении параметра a уравнения и имеют общий корень?
Ответ: a=-6.
Задача 18. При каком значении параметра a любое значение x, удовлетворяющее неравенству по модулю не превосходит двух?
Ответ:
Задача 19. При каком значении параметра a корни уравнения принадлежат отрезку [0;1]?
Ответ: a=0.
Задача 20. При каком значении параметра a один из корней уравнения больше 3, а другой меньше 3?
Ответ: нет решений.
Задача 21. При каких значениях параметра a корни и уравнения удовлетворяют неравенству ?
Ответ:
Задача 22. При каких значениях параметра a корни уравнения
принадлежит интервалу (2;5)?
Ответ:
Задача 23. При каких значениях параметра a один из корней уравнения меньше 1, а другой больше 2?
Ответ:
Задача 24. При каком значении параметра a уравнение имеет три различных корня, образующих геометрическую прогрессию? Найдите эти корни.
Ответ:
Задача 25. Найдите все значения параметра a, при которых ровно один корень уравнения удовлетворяет неравенству
Ответ: a=0; a>1.
Задача 26. Найдите все значения p и q, для которых числа p+2q и 4p+7q являются корнями уравнения
Ответ:
Задача 27. (ЕГЭ) Найдите число корней уравнения в зависимости от значений параметра a.
Ответ: 3 корня.
Задача 28. (ЕГЭ) Найдите число корней уравнения в зависимости от значений параметра a.
Ответ: 3 корня.
Задача 29. (ЕГЭ) Найдите число корней уравнения в зависимости от значений параметра a.
Ответ: 3 корня.
Задача 30 (ЦТ) Квадратный трехчлен удовлетворяет условиям: Что можно сказать о знаках параметров a,b,c.
Ответ: b<0, c>0, о знаке a ничего утверждать нельзя.
Задача 31 (ЦТ) Вершина параболы, задаваемой уравнением, где a<0, b<0, и лежит
строго в I четверти;
строго во II четверти;
строго в III четверти;
строго в IV четверти;
возможно. на координатной оси.
Ответ: 3.
Задача 32. (ЦТ) Укажите все значения параметра . при которых графики функций и имеют только две общие точки. Ответ:
Задача 33. (ЦТ) Укажите все значения параметра a, при которых графики функций и имеют одну общую точку.
Ответ:
Задача 34. (ЦТ) Укажите все значения параметра a, при которых графики функций и имеют одну общую точку.
Ответ:
Задача 35. При каких значениях параметра a система
имеет бесконечное множество решений?
Ответ: .
Задача 36. (ЦТ) Найдите наименьшее целое неотрицательное значение параметра a. при котором система неравенств
не имеет решений.
Ответ: a=2.
Задача 37. (ЦТ) Найдите наибольшее целое значение параметра a, при котором система неравенств
не имеет решений.
Ответ: a=4.
Задача 38. (ЦТ) Найдите наибольшее целое значение параметра a, при котором система неравенств
не имеет решений.
Ответ: a=-4.
В зависимости от значений параметра a решить уравнения
Задача 39.
Ответ: если : четыре корня
если : два корня
Задача 40.
Ответ: если : решений нет;
если : ;
если :
Задача 41. В зависимости от значений параметра a определить количество корней уравнения
Ответ: если : корней нет.
если : 2 корня.
если : 4 корня.
если : 3 корня.
если : 2 корня.
При каких значениях параметра a уравнениея имеют общий корень? Найдите этот корень.
Задача 42. и .
Ответ: a=-2; x=1.
Задача 43. и
Ответ:
Задача 44. При каких значениях параметра a уравнение
имеет корень ?
Ответ:
Задача 45. При каких значениях параметра a уравнение
имеет 5 действительных корней?
Определите все a, при которых эти корни образуют арифметическую прогрессию. Запишите эту прогрессию для целого значения a.
Ответ:
или
Задача 46. При каком значении параметра a уравнение
имеет 3 различных корня. образующих геометрическую прогрессию? Найдите эти корни.
Ответ: a=-8:
Найдите решения неравенств в зависимости от параметра a.
Задача 47.
Ответ:
Задача 48.
Ответ: если
если
если
Задача 49.
Ответ: если : решений нет.
если :
если :
Задача 50. При каких значениях параметра a неравенство
выполняется при всех x таких, что ?
Ответ: .
При каких значениях параметра a системы имеют решения?
Задача 51.
Ответ:
Задача 52.
Ответ:
Задача 53.
Ответ:
Задача 54.
Ответ:
При каких значениях параметра a системы имеют ровно одно решение?
Задача 55.
Ответ:
Задача 56.
Ответ:
Задача 57. Ответ:
Задача 58.
Ответ:
В зависимости от параметра a решите системы неравенств.
Задача 59.
Ответ: если : решений нет,
если :
если :
если :
если :
Задача 60.
Ответ: если :
если : решений нет,
если :
если : ,
если : ,
если : решений нет,
если : .
Задача 61. Найдите все значения параметра a, при которых система уравнений
не имеет решений.
Ответ:
Задача 62. При каких значениях параметра a функция

определена для всех действительных значений x?
Ответ:
Задача 63. При каких значениях параметра a для любого b найдется хотя бы одно c, такое, что система уравнений
имеет хотя бы одно решение?
Ответ:
Задача 64. Множество M состоит из точек плоскости, координаты которых удовлетворяют системе неравенств

Определите, при каких значениях параметра a множество M содержит отрезок [-2;-1] оси Ox.
Ответ:
Глава 4. Методика преподавания темы «Уравнения и неравенства с параметрами в школьном курсе алгебры»
4.1. Первоначальные сведения.
Необходимо на первом же занятии дать определение параметра. Привести виды уравнений и неравенств, которые содержат параметр. Продемонстрировать приемы решения задач с параметрами и решить ряд простых уравнений с параметрами.
Цель: Дать начальное представление о параметре и помочь привыкнуть к понятию параметр.
4.2 Решение линейных уравнений, содержащих параметр
Нужно рассмотреть общие подходы к решению линейных уравнений, которые содержат параметр. Решить эти уравнения. Решить уравнения, которые приводятся к линейным. Разобрать в чем состоит алгоритм решения линейных уравнений с параметром. Дать геометрическую интерпретацию. Решить систему уравнений.
Цель: Научить решать линейные уравнения в общем виде, определять количество корней уравнения как функции параметра.
4.3 Решение линейных неравенств с параметром
Ввести понятие линейного неравенства. Привести алгоритм решения неравенств. Решить типовые линейные неравенства и простые неравенства с параметрами. Научить исследовать решение задачи.
Цель: Отработать приемы решения типовых неравенств и сводящихся к ним. Изучить методы решения линейных неравенств.
4.4 Квадратные уравнения с параметром
Квадратное уравнение: исследование количества корней в зависимости от дискриминанта. Применение теоремы Виета. Исследование трехчлена и рассмотрение алгоритма решения уравнения. Два способа решения: аналитический и графический.
Цель: Научить решать квадратные уравнения с параметрами.
4.5 Свойства квадратичной функции в задачах с параметрами.
Рассмотреть область значений функции и область ее определения. Описать монотонность функции. Указать, как найти координаты вершины параболы.
Цель: Познакомить с многообразием задач с параметрами.
4.6. Тригонометрия и параметр.
Применение основных свойств тригонометрических функций в задачах с параметрами. Необходимо рассмотреть тригонометрические уравнения, содержащие параметр, так как именно тригонометрические уравнения дают наиболее полную, для обучаемого, картину числа решений. Тригонометрические неравенства, содержащие параметр и область значений тригонометрических функций нужно разобрать на конкретных примерах.
Цель: Научить использовать свойства тригонометрических функций при решении тригонометрических уравнений и неравенств с параметрами.
4.7 Иррациональные и рациональные уравнения
Исследовать иррациональные и дробно-рациональные уравнения, содержащие параметры. Этот раздел также необходим при рассмотрении темы, так как имеет большое практическое значение. Решение многих физических задач представимо через иррациональные и рациональные функции.
4.8 Показательные и логарифмические уравнения с параметром
Рассмотреть свойства степеней и показательной функции. Решение показательных уравнений и неравенств, содержащих параметры. Разобрать свойства логарифмов и логарифмической функции. Решить ряд логарифмических уравнений и неравенств с параметрами.Цель: Научить решать показательные и логарифмические уравнения и неравенства с параметрами
4.9. Производная и ее применение.
Этот раздел является одним из наиболее важных разделов в теме параметры. Необходимо дать определение производной, привести основные формулы и правила дифференцирования различных функций. Научить определять критические точки функции, исследовать на монотонность. Необходимо рассмотреть нахождение наибольшего и наименьшего значения функции, ввести понятие точек перегиба. И, наконец, привести полную схему исследования функции и построения ее графика. Показать, на примере квадратного трехчлена, как параметры влияют на решение задачи.
Цель: Познакомить учащихся с типом задач с параметрами на применение методов дифференциального исчисления.
4.10. Нестандартные задачи.
Целью рассмотрения нестандартных задач является всесторонне овладение темой решения задач с параметрами. Следует решить ряд типовых примеров из работы )
4.11 Планирование
(34 урока)
№ урока Тема 1 Основные понятия уравнений с параметрами 2 Основные понятия неравенств с параметрами 3-4 Уравнения с параметрами (первой степени) 5-6 Неравенства с параметрами (первой степени) 7-11 Уравнения с параметрами (второй степени) 12-14 Неравенства с параметрами (второй степени) 15-16 Свойства квадратичной функции 17-18 Графические приемы при решении 19-20 Тригонометрия и параметр 21-23 Иррациональные уравнения 24-25 Рациональные уравнения с параметрами 26-28 Параметр и количество решений уравнений, неравенств и их систем 29-30 Уравнения и неравенства с параметрами с различными условиями 31-32 Нестандартные задачи 33 Итоговая контрольная работа по курсу 34 Подведение итогов
Заключение
Решение уравнений и неравенств с параметрами развивает логическое мышление и математическую подготовку у школьников. Овладение методами решения задач с параметрами способствует умению решать и другие задачи. После получения первоначальных сведений о теме «Уравнения и неравенства с параметрами в школьном курсе алгебры» ученики должны заинтересоваться предложенной к их вниманию теме. Они должны почувствовать важность этой темы, так как многие физические и практические задачи, возникающие в повседневной жизни, содержат параметры. Нахождение решений при различных значениях параметров является важным направлением во многих областях физики, экономики. Двигаясь при рассмотрении материала от простого к сложному не надо забывать о том, что сложные вопросы нужно суметь изложить просто, обязательно решив на уроке типовые задачи.
Особое внимание при рассмотрении уделить методу интервалов и графическому методу ввиду их высокой наглядности и понятности. Ученики должны быть уверенными при освоении квадратичных уравнений и неравенств, поскольку этот раздел будет иметь для них большое значение при продолжении обучения в вузе, где многочлены занимают особое место в курсе алгебры. Раздел показательные и логарифмические уравнения не должен вызвать проблем с освоением материала. Здесь необходимо лишь тонкое понимание свойств показательной и логарифмической функции. И здесь очень велика роль учителя, который должен терпеливо, без нажима добиться запоминания основных формул преобразования логарифмов. после чего ученики научатся видеть решение задачи.
Исследование функций особо важно для обучаемых, поскольку создает базис для дальнейшего освоения смежных тем по математике, физике и в дальнейшем по экономике.

Литература
Азаров, А. И. Экзамен по математике. Задачи с параметрами. Функциональные методы решения / А. И. Азаров, В. С. Федосенко, С. А. Барвенов — Мн.: Полымя, 2001. — 250 с.
Азаров, А.И. Методы решения алгебраических уравнений, неравенств, систем. Пособие для учащихся учреждений, обеспечивающих получение общего среднего образования. / А. И. Азаров, С. А. Барвенов — Мн.: Аверсэв, 2004.—312 с.
Азаров, А. И., Функциональный и графический методы решения экзаменационных задач. Пособие для учащихся учреждений, обеспечивающих получение общего среднего образования./ А. И. Азаров, С. А. Барвенов — Мн.: Аверсэв, 2004. — 180 с.
Азаров, А.И. Математика. Тематические тесты для подготовки к централизованному тестированию и экзамену./ А. И. Азаров, В. И Булатов., В. С. Романчик, А. С. Шибут — Мн.: Аверсэв, 2006. — 150 с.
Галицкий, М. Л. Сборник задач по алгебре для 8—9 классов. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики/ М.Л. Галицкий, А. М. Гольдман, Л. И. Звавич — Москва: Просвещение, 1992. — 230 с.
Супрун, В. П. Нестандартные методы решения задач. Пособие для учащихся общеобразовательных учреждений. / В. П. Супрун. — Мн.: Аверсэв, 2003. — 183 с.
Супрун, В. П. Математика для старшеклассников. Задачи повышенной сложности. Пособие для учащихся общеобразовательных школ, гимназий, лицеев. / В. П. Супрун.— Мн.: Аверсэв, 2002. — 94 с.
Далингер В. А. “Геометрия помогает алгебре” Издательство “Школа - Пресс”. Москва 1996 г.
Далингер В. А. “Все для обеспечения успеха на выпускных и вступительных экзаменах по математике”. Издательство Омского педуниверситета. Омск 1995 г.
Окунев А. А. “Графическое решение уравнений с параметрами”. Издательство “Школа - Пресс”. Москва 1986 г.
Ястрибинецкий Г. А. “Уравнений и неравенства, содержащие параметры”.Издательство “Просвещение”. Москва 1972 г.
Г. Корн и Т.Корн “Справочник по математике”. Издательство “Наука” физико–математическая литература. Москва 1977 г.
Амелькин В. В. и Рабцевич В. Л. “Задачи с параметрами” . Издательство“Асар”. Минск 1996 г.
Ковалева Г.И. и др. Математика. Тренировочные тематические задания повышенной сложности.
Севрюков П.Ф. и др. Школа решения задач с параметрами.
Локоть В.В. Задачи с параметрами (Линейные и квадратные уравнения и неравенства, системы.).
Локоть В.В. Задачи с параметрами (Иррациональные уравнения, неравенства, системы, задачи с модулем )
Арнаутова И.Н. и др. Математика (из серии экзамен на пять)
Локоть В.В. Задачи с параметрами (Применение свойств функций, преобразование неравенств )
Виленкин Н.Я. Алгебра 8 – учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики.
Виленкин Н.Я. Алгебра 9 – учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики
Виленкин Н.Я. Алгебра 10 – учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики
Виленкин Н.Я. Алгебра 11 – учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики
Психологические проблемы неуспеваемости школьников. Под ред. Менчинской Н.А., М., 1971
Ушинский К.Д. Человек как предмет воспитания. Собрание сочинений, т.8, М.-Л., 1950
Славина Л.С. Индивидуальный подход к неуспевающим и недисциплинированным ученикам, М., 1958
Сборник задач по математике для поступающих во втузы: Учебное пособие/В.К.Егерев, Б.А.Кордемский, В.В.Зайцев и др.; Под ред. М.И.Сканави.-М.: ООО «Гамма-С.А.», АО «Столетие», 1999.
Гусак А.А. Пособие к решению задач по высшей математике. Мн., БГУ. 1973.
Задачи с параметрами. Учебное пособие для факультета довузовской подготовки СГАУ/Самарский государственный аэрокосмический университет. Сост. Е.А. Ефимов, Л.В.Коломиец, Самара, 2006, 64 с.
Курош А.Г. Курс высшей алгебры- М., Наука, 1975.
Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре, изд.3, Наука, 1966.
Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре, изд.3, Наука, 1967.
Гантмахер Ф.Р. Теория матриц, изд.3, Наука, 1967.
Фаддеев Д.К. и Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры, Физматгиз, 1960.
Фаддеев Д.К. и Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре, изд.8, Физматгиз, 1964.

) Курош А.Г. Курс высшей алгебры- М., Наука, 1975.
) Курош А.Г. Курс высшей алгебры- М., Наука, 1975.
) Курош А.Г. Курс высшей алгебры- М., Наука, 1975.
) Сборник задач по математике для поступающих во втузы: Учебное пособие/В.К.Егерев, Б.А.Кордемский, В.В.Зайцев и др.; Под ред. М.И.Сканави.-М.: ООО «Гамма-С.А.», АО «Столетие», 1999.
) Сборник задач по математике для поступающих во втузы: Учебное пособие/В.К.Егерев, Б.А.Кордемский, В.В.Зайцев и др.; Под ред. М.И.Сканави.-М.: ООО «Гамма-С.А.», АО «Столетие», 1999.
) Сборник задач по математике для поступающих во втузы: Учебное пособие/В.К.Егерев, Б.А.Кордемский, В.В.Зайцев и др.; Под ред. М.И.Сканави.-М.: ООО «Гамма-С.А.», АО «Столетие», 1999.
) Сборник задач по математике для поступающих во втузы: Учебное пособие/В.К.Егерев, Б.А.Кордемский, В.В.Зайцев и др.; Под ред. М.И.Сканави.-М.: ООО «Гамма-С.А.», АО «Столетие», 1999.
) Сборник задач по математике для поступающих во втузы: Учебное пособие/В.К.Егерев, Б.А.Кордемский, В.В.Зайцев и др.; Под ред. М.И.Сканави.-М.: ООО «Гамма-С.А.», АО «Столетие», 1999.
) Сборник задач по математике для поступающих во втузы: Учебное пособие/В.К.Егерев, Б.А.Кордемский, В.В.Зайцев и др.; Под ред. М.И.Сканави.-М.: ООО «Гамма-С.А.», АО «Столетие», 1999.
) Гусак А.А. Пособие к решению задач по высшей математике. Мн., БГУ. 1973.
) Гусак А.А. Пособие к решению задач по высшей математике. Мн., БГУ. 1973.
) Задачи с параметрами. Учебное пособие для факультета довузовской подготовки СГАУ/Самарский государственный аэрокосмический университет. Сост. Е.А. Ефимов, Л.В.Коломиец, Самара, 2006, 64 с.
) Задачи с параметрами. Учебное пособие для факультета довузовской подготовки СГАУ/Самарский государственный аэрокосмический университет. Сост. Е.А. Ефимов, Л.В.Коломиец, Самара, 2006, 64 с.
2